最近這段時間系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)了 BP 算法后寫下了這篇學(xué)習(xí)筆記，因為能力有限，若有明顯錯誤，還請指正。

  什么是梯度下降和鏈式求導(dǎo)法則

假設(shè)我們有一個函數(shù) J(w)，如下圖所示。

梯度下降示意圖

現(xiàn)在，我們要求當(dāng) w 等于什么的時候，J(w) 能夠取到最小值。從圖中我們知道最小值在初始位置的左邊，也就意味著如果想要使 J(w) 最小，w的值需要減小。而初始位置的切線的斜率a > 0（也即該位置對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)大于0），w = w – a 就能夠讓 w 的值減小，循環(huán)求導(dǎo)更新w直到 J(w) 取得最小值。如果函數(shù)J(w)包含多個變量，那么就要分別對不同變量求偏導(dǎo)來更新不同變量的值。

所謂的鏈式求導(dǎo)法則，就是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

鏈式求導(dǎo)法則

放個例題，會更加明白一點：

鏈式求導(dǎo)的例子

  神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由三部分組成，分別是最左邊的輸入層，隱藏層（實際應(yīng)用中遠遠不止一層）和最右邊的輸出層。層與層之間用線連接在一起，每條連接線都有一個對應(yīng)的權(quán)重值 w，除了輸入層，一般來說每個神經(jīng)元還有對應(yīng)的偏置 b。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖

除了輸入層的神經(jīng)元，每個神經(jīng)元都會有加權(quán)求和得到的輸入值 z 和將 z 通過 Sigmoid 函數(shù)（也即是激活函數(shù)）非線性轉(zhuǎn)化后的輸出值 a，他們之間的計算公式如下

神經(jīng)元輸出值 a 的計算公式

其中，公式里面的變量l和j表示的是第 l 層的第 j 個神經(jīng)元，ij 則表示從第 i 個神經(jīng)元到第 j 個神經(jīng)元之間的連線，w 表示的是權(quán)重，b 表示的是偏置，后面這些符號的含義大體上與這里描述的相似，所以不會再說明。下面的 Gif 動圖可以更加清楚每個神經(jīng)元輸入輸出值的計算方式（注意，這里的動圖并沒有加上偏置，但使用中都會加上）

動圖顯示計算神經(jīng)元輸出值

使用激活函數(shù)的原因是因為線性模型（無法處理線性不可分的情況）的表達能力不夠，所以這里通常需要加入 Sigmoid 函數(shù)來加入非線性因素得到神經(jīng)元的輸出值。

關(guān)于為什么線性函數(shù)模型表達能力不夠，可以點擊這里查看知乎上面的討論。

sigmoid 函數(shù)

可以看到 Sigmoid 函數(shù)的值域為 (0,1) ，若對于多分類任務(wù)，輸出層的每個神經(jīng)元可以表示是該分類的概率。當(dāng)然還存在其他的激活函數(shù)，他們的用途和優(yōu)缺點也都各異。

  BP 算法執(zhí)行的流程（前向傳遞和逆向更新）

在手工設(shè)定了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)，每層的神經(jīng)元的個數(shù)，學(xué)習(xí)率 η（下面會提到）后，BP 算法會先隨機初始化每條連接線權(quán)重和偏置，然后對于訓(xùn)練集中的每個輸入 x 和輸出 y，BP 算法都會先執(zhí)行前向傳輸?shù)玫筋A(yù)測值，然后根據(jù)真實值與預(yù)測值之間的誤差執(zhí)行逆向反饋更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每條連接線的權(quán)重和每層的偏好。在沒有到達停止條件的情況下重復(fù)上述過程。

其中，停止條件可以是下面這三條

● 權(quán)重的更新低于某個閾值的時候

● 預(yù)測的錯誤率低于某個閾值

● 達到預(yù)設(shè)一定的迭代次數(shù)

譬如說，手寫數(shù)字識別中，一張手寫數(shù)字1的圖片儲存了28*28 = 784個像素點，每個像素點儲存著灰度值(值域為[0,255])，那么就意味著有784個神經(jīng)元作為輸入層，而輸出層有10個神經(jīng)元代表數(shù)字0~9，每個神經(jīng)元取值為0~1，代表著這張圖片是這個數(shù)字的概率。

每輸入一張圖片（也就是實例），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會執(zhí)行前向傳輸一層一層的計算到輸出層神經(jīng)元的值，根據(jù)哪個輸出神經(jīng)元的值最大來預(yù)測輸入圖片所代表的手寫數(shù)字。

然后根據(jù)輸出神經(jīng)元的值，計算出預(yù)測值與真實值之間的誤差，再逆向反饋更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每條連接線的權(quán)重和每個神經(jīng)元的偏好。

前向傳輸（Feed-Forward）

從輸入層=>隱藏層=>輸出層，一層一層的計算所有神經(jīng)元輸出值的過程。

逆向反饋（Back Propagation）

因為輸出層的值與真實的值會存在誤差，我們可以用均方誤差來衡量預(yù)測值和真實值之間的誤差。

均方誤差

逆向反饋的目標就是讓E函數(shù)的值盡可能的小，而每個神經(jīng)元的輸出值是由該點的連接線對應(yīng)的權(quán)重值和該層對應(yīng)的偏好所決定的，因此，要讓誤差函數(shù)達到最小，我們就要調(diào)整w和b值， 使得誤差函數(shù)的值最小。

權(quán)重和偏置的更新公式

對目標函數(shù) E 求 w 和 b 的偏導(dǎo)可以得到 w 和 b 的更新量，下面拿求 w 偏導(dǎo)來做推導(dǎo)。

其中 η 為學(xué)習(xí)率，取值通常為 0.1 ~ 0.3,可以理解為每次梯度所邁的步伐。注意到 w_hj 的值先影響到第 j 個輸出層神經(jīng)元的輸入值a，再影響到輸出值y，根據(jù)鏈式求導(dǎo)法則有：

使用鏈式法則展開對權(quán)重求偏導(dǎo)

根據(jù)神經(jīng)元輸出值 a 的定義有：

對函數(shù) z 求 w 的偏導(dǎo)

Sigmoid 求導(dǎo)數(shù)的式子如下，從式子中可以發(fā)現(xiàn)其在計算機中實現(xiàn)也是非常的方便：

Sigmoid 函數(shù)求導(dǎo)

所以

則權(quán)重 w 的更新量為：

類似可得 b 的更新量為：

但這兩個公式只能夠更新輸出層與前一層連接線的權(quán)重和輸出層的偏置，原因是因為 δ 值依賴了真實值y這個變量，但是我們只知道輸出層的真實值而不知道每層隱藏層的真實值，導(dǎo)致無法計算每層隱藏層的 δ 值，所以我們希望能夠利用 l+1 層的 δ 值來計算 l 層的 δ 值，而恰恰通過一些列數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換后可以做到，這也就是逆向反饋名字的由來，公式如下:

從式子中我們可以看到，我們只需要知道下一層的權(quán)重和神經(jīng)元輸出層的值就可以計算出上一層的 δ 值，我們只要通過不斷的利用上面這個式子就可以更新隱藏層的全部權(quán)重和偏置了。

在推導(dǎo)之前請先觀察下面這張圖：

l 和 l+1 層的神經(jīng)元

首先我們看到 l 層的第 i 個神經(jīng)元與 l+1 層的所有神經(jīng)元都有連接，那么我們可以將 δ 展開成如下的式子：

也即是說我們可以將 E 看做是 l+1 層所有神經(jīng)元輸入值的 z 函數(shù)，而上面式子的 n 表示的是 l+1 層神經(jīng)元的數(shù)量，再進行化簡后就可以得到上面所說的式子。

在這里的推導(dǎo)過程只解釋了關(guān)鍵的部分，如果要查看更加詳細的推導(dǎo)內(nèi)容，可以點擊此處下載我在學(xué)習(xí)過程中參考的一篇 pdf 文檔，里面的推導(dǎo)過程非常詳細。另外也參考了周志華所寫的機器學(xué)習(xí)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)部分的內(nèi)容和 neural networks and deep learning 的內(nèi)容。

  Python 源碼解析

源碼來自于 Michael Nielsen 大神的深度學(xué)習(xí)在線教程，但他的內(nèi)容都是英文的，我結(jié)合了自己的理解和上面的理論知識對源碼進行了注釋。>>點擊此處查看整理的代碼和數(shù)字識別實例<<

使用 Python 實現(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代碼行數(shù)并不多，僅包含一個 Network 類，首先來看看該類的構(gòu)造方法。

def __init__(self, sizes): 
        """ 
        :param sizes: list類型，儲存每層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元數(shù)目 
                      譬如說：sizes = [2, 3, 2] 表示輸入層有兩個神經(jīng)元、 
                      隱藏層有3個神經(jīng)元以及輸出層有2個神經(jīng)元 
        """ 
        # 有幾層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)  
        self.num_layers = len(sizes) 
        self.sizes = sizes 
        # 除去輸入層，隨機產(chǎn)生每層中 y 個神經(jīng)元的 biase 值（0 - 1） 
        self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]] 
        # 隨機產(chǎn)生每條連接線的 weight 值（0 - 1） 
        self.weights = [np.random.randn(y, x) 
                        for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])] 

向前傳輸（FreedForward）的代碼。

def feedforward(self, a): 
    """ 
    前向傳輸計算每個神經(jīng)元的值 
    :param a: 輸入值 
    :return: 計算后每個神經(jīng)元的值 
    """ 
    for b, w in zip(self.biases, self.weights): 
        # 加權(quán)求和以及加上 biase 
        a = sigmoid(np.dot(w, a)+b) 
    return a 

源碼里使用的是隨機梯度下降（Stochastic Gradient Descent，簡稱 SGD），原理與梯度下降相似，不同的是隨機梯度下降算法每次迭代只取數(shù)據(jù)集中一部分的樣本來更新 w 和 b 的值，速度比梯度下降快，但是，它不一定會收斂到局部極小值，可能會在局部極小值附近徘徊。

def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta, 
        test_data=None): 
    """ 
    隨機梯度下降 
    :param training_data: 輸入的訓(xùn)練集 
    :param epochs: 迭代次數(shù) 
    :param mini_batch_size: 小樣本數(shù)量 
    :param eta: 學(xué)習(xí)率  
    :param test_data: 測試數(shù)據(jù)集 
    """ 
    if test_data: n_test = len(test_data) 
    n = len(training_data) 
    for j in xrange(epochs): 
        # 攪亂訓(xùn)練集，讓其排序順序發(fā)生變化 
        random.shuffle(training_data) 
        # 按照小樣本數(shù)量劃分訓(xùn)練集 
        mini_batches = [ 
            training_data[k:k+mini_batch_size] 
            for k in xrange(0, n, mini_batch_size)] 
        for mini_batch in mini_batches: 
            # 根據(jù)每個小樣本來更新 w 和 b，代碼在下一段 
            self.update_mini_batch(mini_batch, eta) 
        # 輸出測試每輪結(jié)束后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準確度 
        if test_data: 
            print "Epoch {0}: {1} / {2}".format( 
                j, self.evaluate(test_data), n_test) 
        else: 
            print "Epoch {0} complete".format(j) 

根據(jù) backprop 方法得到的偏導(dǎo)數(shù)更新 w 和 b 的值。

def update_mini_batch(self, mini_batch, eta): 
    """ 
    更新 w 和 b 的值 
    :param mini_batch: 一部分的樣本 
    :param eta: 學(xué)習(xí)率 
    """ 
    # 根據(jù) biases 和 weights 的行列數(shù)創(chuàng)建對應(yīng)的全部元素值為 0 的空矩陣 
    nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases] 
    nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights] 
    for x, y in mini_batch: 
        # 根據(jù)樣本中的每一個輸入 x 的其輸出 y，計算 w 和 b 的偏導(dǎo)數(shù) 
        delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y) 
        # 累加儲存偏導(dǎo)值 delta_nabla_b 和 delta_nabla_w  
        nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)] 
        nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)] 
    # 更新根據(jù)累加的偏導(dǎo)值更新 w 和 b，這里因為用了小樣本， 
    # 所以 eta 要除于小樣本的長度 
    self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw 
                    for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)] 
    self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb 
                   for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)] 

下面這塊代碼是源碼最核心的部分，也即 BP 算法的實現(xiàn)，包含了前向傳輸和逆向反饋，前向傳輸在 Network 里有單獨一個方法（上面提到的 feedforward 方法），那個方法是用于驗證訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的精確度的，在下面有提到該方法。

def backprop(self, x, y): 
    """ 
    :param x: 
    :param y: 
    :return: 
    """ 
    nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases] 
    nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights] 
    # 前向傳輸 
    activation = x 
    # 儲存每層的神經(jīng)元的值的矩陣，下面循環(huán)會 append 每層的神經(jīng)元的值 
    activations = [x]  
    # 儲存每個未經(jīng)過 sigmoid 計算的神經(jīng)元的值 
    zs = []  
    for b, w in zip(self.biases, self.weights): 
        z = np.dot(w, activation)+b 
        zs.append(z) 
        activation = sigmoid(z) 
        activations.append(activation) 
    # 求 δ 的值 
    delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \ 
        sigmoid_prime(zs[-1]) 
    nabla_b[-1] = delta 
    # 乘于前一層的輸出值 
    nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose()) 
    for l in xrange(2, self.num_layers): 
        # 從倒數(shù)第 **l** 層開始更新，**-l** 是 python 中特有的語法表示從倒數(shù)第 l 層開始計算 
        # 下面這里利用 **l+1** 層的 δ 值來計算 **l** 的 δ 值 
        z = zs[-l] 
        sp = sigmoid_prime(z) 
        delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp 
        nabla_b[-l] = delta 
        nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose()) 
    return (nabla_b, nabla_w) 

接下來則是 evaluate 的實現(xiàn)，調(diào)用 feedforward 方法計算訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層神經(jīng)元值（也即預(yù)測值），然后比對正確值和預(yù)測值得到精確率。

def evaluate(self, test_data): 
    # 獲得預(yù)測結(jié)果 
    test_results = [(np.argmax(self.feedforward(x)), y) 
                    for (x, y) in test_data] 
    # 返回正確識別的個數(shù) 
    return sum(int(x == y) for (x, y) in test_results) 

最后，我們可以利用這個源碼來訓(xùn)練一個手寫數(shù)字識別的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并輸出評估的結(jié)果，代碼如下：

import mnist_loader 
import network 
 
training_data, validation_data, test_data = mnist_loader.load_data_wrapper() 
net = network.Network([784, 30, 10]) 
net.SGD(training_data, 30, 10, 3.0, test_data = test_data) 
# 輸出結(jié)果 
# Epoch 0: 9038 / 10000 
# Epoch 1: 9178 / 10000 
# Epoch 2: 9231 / 10000 
# ... 
# Epoch 27: 9483 / 10000 
# Epoch 28: 9485 / 10000 
# Epoch 29: 9477 / 10000 

可以看到，在經(jīng)過 30 輪的迭代后，識別手寫神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的精確度在 95% 左右，當(dāng)然，設(shè)置不同的迭代次數(shù)，學(xué)習(xí)率以取樣數(shù)對精度都會有影響，如何調(diào)參也是一門技術(shù)活，這個坑就后期再填吧。

  總結(jié)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點：

網(wǎng)絡(luò)實質(zhì)上實現(xiàn)了一個從輸入到輸出的映射功能，而數(shù)學(xué)理論已證明它具有實現(xiàn)任何復(fù)雜非線性映射的功能。這使得它特別適合于求解內(nèi)部機制復(fù)雜的問題。

網(wǎng)絡(luò)能通過學(xué)習(xí)帶正確答案的實例集自動提取“合理的”求解規(guī)則，即具有自學(xué)習(xí)能力。

網(wǎng)絡(luò)具有一定的推廣、概括能力。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的缺點：

對初始權(quán)重非常敏感，極易收斂于局部極小。

容易 Over Fitting 和 Over Training。

如何選擇隱藏層數(shù)和神經(jīng)元個數(shù)沒有一個科學(xué)的指導(dǎo)流程，有時候感覺就是靠猜。

應(yīng)用領(lǐng)域：

常見的有圖像分類，自動駕駛，自然語言處理等。

  TODO

但其實想要訓(xùn)練好一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還面臨著很多的坑（譬如下面四條）：

1. 如何選擇超參數(shù)的值，譬如說神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)和每層的神經(jīng)元數(shù)量以及學(xué)習(xí)率；

2. 既然對初始化權(quán)重敏感，那該如何避免和修正；

3. Sigmoid 激活函數(shù)在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中會面臨梯度消失問題該如何解決；

4. 避免 Overfitting 的 L1 和 L2正則化是什么。

  參考

[1] 周志華 機器學(xué)習(xí)

[2] 斯坦福大學(xué)機器學(xué)習(xí)在線課程

[3] Parallel Distributed Processing (1986, by David E. Rumelhart, James L. McClelland), Chapter 8 Learning Internal Representations by Error Propagation

[4] How the backpropagation algorithm works

[5] Backpropagation Algorithm

[6] 鏈式求導(dǎo)法則，臺灣中華科技大學(xué)數(shù)位課程，Youtube 視頻，需要翻墻，順便安利一下他們的數(shù)學(xué)相關(guān)的視頻，因為做的都非常淺顯易懂