神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NNs)可以在不知道用顯式算法執(zhí)行工作的情況下被設(shè)計(jì)和訓(xùn)練于特定的任務(wù)，很多人都對(duì)此表示驚嘆。例如，著名的手寫體數(shù)字識(shí)別教程很容易執(zhí)行，但其背后的邏輯還是隱藏在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)下，僅能通過(guò)層次化結(jié)構(gòu)、權(quán)值和激活函數(shù)略知一二。

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本文通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)透明原則來(lái)揭示其“黑盒知識(shí)”，為此來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)布爾異或函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。首先，利用已知異或?qū)傩赃^(guò)程構(gòu)造了一個(gè)自底向上的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即清晰包含已知的代數(shù)關(guān)系。在第二步中使用TensorFlow Keras從簡(jiǎn)易圖形化編程工具到異或邏輯運(yùn)算訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

***比較兩種方法。將Keras神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分解為布爾組件，發(fā)現(xiàn)邏輯設(shè)置與***步中構(gòu)造的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同。被訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)現(xiàn)了使用不同布爾函數(shù)的另一種異或運(yùn)算表示方法。

這另一種異或公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域不是未知的，但至少很新奇。這或許表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以創(chuàng)造新的知識(shí)。但要提取它，必須能夠?qū)⑸窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)置和參數(shù)轉(zhuǎn)化為顯式規(guī)則。

自底向上構(gòu)造異或運(yùn)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(XOR NN)

異或運(yùn)算是由映射定義的布爾函數(shù)，

XOR (0,0) = XOR (1,1) = 0 
XOR (1,0) = XOR (0,1) = 1 

為異或運(yùn)算構(gòu)造一個(gè)已知的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或谷歌標(biāo)識(shí)列

XOR (x,y) = AND ( NAND (x,y) , OR (x,y) ) 

這很有幫助，因?yàn)椴僮鞣鸄ND、NAND(而非AND)和OR是眾所周知的，并且都可以用簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示，其中有2個(gè)輸入和1個(gè)輸出結(jié)點(diǎn)、偏移量和sigmoid激活函數(shù)。

布爾函數(shù)操作符的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在此基礎(chǔ)上可通過(guò)連接NAND、AND和OR的NNs來(lái)構(gòu)造異或運(yùn)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。所以異或變成了一個(gè)三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

異或運(yùn)算的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

輸送可能的輸入配置并檢查輸出(本文使用Excel工作表)。分別得到有效的(0,0)、(1,1)的0.0072以及(0,1)、(1,0)的0.9924。

可以用以下異或運(yùn)算的表示來(lái)建構(gòu)其他的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

XOR (x,y) = OR ( AND ( NOT(x) , y ) , AND ( x , NOT(y) ) ) 
XOR (x,y) = NAND ( NAND ( x , NAND ( x,y) ) , NAND ( y , NAND ( x,y) ) ) 

然而這些標(biāo)識(shí)列導(dǎo)致了更復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。

此外，由于異或運(yùn)算不能通過(guò)線性可分(且激活函數(shù)嚴(yán)格單調(diào))，因此，不可能建立兩層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

但也許還有其他方法可以構(gòu)建異或運(yùn)算的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)呢?下一節(jié)將通過(guò)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)尋找另一種解決方案。

使用TensorFlow Keras構(gòu)建異或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

Keras是一個(gè)功能強(qiáng)大且易于使用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)庫(kù)。上一節(jié)中建立了一個(gè)三層的2-2-1模型，并與之前建構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了比較。

使用梯度下降優(yōu)化器與學(xué)習(xí)率1和均方誤差損失函數(shù)的誤差反向傳播，這是建構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)方法。

以下是Python的代碼片段：

# Generate NN for XOR operation 
# input layer: <NODES> nodes, one for each bit (0 = false and +1 = true) 
# output layer: 1 node for result (0 = false and +1 = true) 
# Use sigmoid activation function, gradient descent optimizer and mean squared error loss function 
# Last update: 28.05.2019 
  
import tensorflow as tf 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
  
# Define model 
nodes = 2 
model = tf.keras.Sequential() 
model.add(tf.keras.layers.Dense(nodes, input_dim=2, activation=tf.nn.sigmoid)) 
model.add(tf.keras.layers.Dense(1, activation=tf.nn.sigmoid)) 
model.compile(optimizer=tf.train.GradientDescentOptimizer(1), loss=tf.keras.losses.mean_squared_error, metrics=['binary_accuracy']) 
model.summary() 
  
# Generate train & test data 
epochs = 10000 
data_in = np.array([[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]]) 
data_out = np.array([0,1,1,0]) 
  
# Train model 
history = model.fit(data_in, data_out, epochsepochs=epochs, verbose=0) 
  
# Analysis of training history 
for key in history.history.keys(): 
    plt.scatter(range(epochs), history.history[key], s=1) 
    plt.ylabel(key) 
    plt.xlabel('epochs') 
    plt.show() 
  
# Predict with model 
result = model.predict(data_in) 
  
# Print results 
def printarray(arr): 
    return np.array2string(arr).replace('\n','') 
  
print() 
print('input', printarray(data_in)) 
print('output (calculation)', printarray(data_out)) 
print('output (prediction) ', printarray(result)) 
print('output (pred. norm.)', printarray(np.round(result))) 
  
# Get weights of model 
print() 
print(model.get_weights()) 

異或運(yùn)算的好處是可以訓(xùn)練整個(gè)參數(shù)空間，因?yàn)橹挥兴姆N可能的配置可以教。然而，需要一些在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中傳遞數(shù)據(jù)集的過(guò)程來(lái)驅(qū)動(dòng)模型達(dá)到零損耗和100%精準(zhǔn)，即輸出趨向于一個(gè)分別是(0,1)、(1,0)和(0,0)、(1,1)的零。

異或運(yùn)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Loss和epochs對(duì)比

異或運(yùn)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Accuracy 和epochs對(duì)比

然而，訓(xùn)練期也可能陷入停滯，無(wú)法銜接。接著精準(zhǔn)度停止在75%甚至50%，即一個(gè)或兩個(gè)二元元組的映射是不正確的。在這種情況下就要重新構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，直到得到合適的解決方案。

分析和結(jié)論

現(xiàn)在驗(yàn)證Keras神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是否與建構(gòu)的具有相似結(jié)構(gòu)。通過(guò)返回權(quán)值(參見代碼片段的末尾)，得到了權(quán)值和偏差值。

Python的腳本輸出

使用這些參數(shù)來(lái)重建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(再次使用Excel)。由三個(gè)操作符組成。

基于Keras訓(xùn)練的異或運(yùn)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

通過(guò)輸入所有可能的配置，可以識(shí)別與H1、H2和O操作符關(guān)聯(lián)的布爾函數(shù)。

Keras在異或運(yùn)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的布爾函數(shù)

有趣的是，本以為Keras 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與所建構(gòu)的邏輯是一樣的，但它卻創(chuàng)建了另一種解決方案。使用OR，AND和(相對(duì)沒(méi)人知道的)INH，而非操作符NAND, OR 和AND，即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)找到的公式。

XOR (x,y) = INH ( OR (x,y), AND (x,y) ) 

這表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以獲得以前沒(méi)有的知識(shí)!當(dāng)然“新知識(shí)”是相對(duì)的，并且取決于知道的程度。也就是說(shuō)，若一個(gè)人知道異或運(yùn)算的所有表示形式，Keras 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)有其他價(jià)值。

此外，對(duì)于更復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將權(quán)值轉(zhuǎn)換為顯式算法或公式并不容易。但也許這種專業(yè)知識(shí)是未來(lái)人工智能專家必須具備的能力。