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經(jīng)常在各種文章或資料中看到正則化，比如說，一般的目標函數(shù)都包含下面兩項

其中，誤差/損失函數(shù)鼓勵我們的模型盡量去擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，使得最后的模型會有比較少的 bias。而正則化項則鼓勵更加簡單的模型。因為當(dāng)模型簡單之后，有限數(shù)據(jù)擬合出來結(jié)果的隨機性比較小，不容易過擬合，使得最后模型的預(yù)測更加穩(wěn)定。

但一直沒有一篇好的文章理清到底什么是正則化？

說到正則化，得先從過擬合問題開始談起。

1)  The Problem of Overfitting(過擬合問題)

擬合問題舉例-線性回歸之房價問題：

a) 欠擬合(underfit, 也稱High-bias，圖片來源：斯坦福大學(xué)機器學(xué)習(xí)第七課“正則化”)

b) 合適的擬合：

c) 過擬合(overfit,也稱High variance)

什么是過擬合(Overfitting): 

如果我們有非常多的特征，那么所學(xué)的Hypothesis有可能對訓(xùn)練集擬合的非常好(

)，但是對于新數(shù)據(jù)預(yù)測的很差。 

過擬合例子2-邏輯回歸：

與上一個例子相似，依次是欠擬合，合適的擬合以及過擬合：

a) 欠擬合

b) 合適的擬合

c) 過擬合

如何解決過擬合問題：

首先，過擬合問題往往源自過多的特征，例如房價問題，如果我們定義了如下的特征：

那么對于訓(xùn)練集，擬合的會非常完美：

所以針對過擬合問題，通常會考慮兩種途徑來解決：

a) 減少特征的數(shù)量：

-人工的選擇保留哪些特征；

-模型選擇算法

b) 正則化

-保留所有的特征，但是降低參數(shù)的量/值；

-正則化的好處是當(dāng)特征很多時，每一個特征都會對預(yù)測y貢獻一份合適的力量；

所以說，使用正則化的目的就是為了是為了防止過擬合。

如上圖所示，紅色這條想象力過于豐富上下橫跳的曲線就是過擬合情形。結(jié)合上圖和正則化的英文，直譯應(yīng)該叫規(guī)則化。

什么是規(guī)則？比如明星再紅也不能違法，這就是規(guī)則，一個限制。同理，規(guī)劃化就是給需要訓(xùn)練的目標函數(shù)加上一些規(guī)則（限制），讓它們不要自我膨脹，不要過于上下無規(guī)則的橫跳，不能無法無天。

L1正則化和L2正則化

機器學(xué)習(xí)中幾乎都可以看到損失函數(shù)后面會添加一個額外項，常用的額外項一般有兩種，一般英文稱作ℓ1-norm和ℓ2-norm，中文稱作L1正則化和L2正則化，或者L1范數(shù)和L2范數(shù)。

L1正則化和L2正則化可以看做是損失函數(shù)的懲罰項。所謂『懲罰』是指對損失函數(shù)中的某些參數(shù)做一些限制。

對于線性回歸模型，使用L1正則化的模型建叫做Lasso回歸，使用L2正則化的模型叫做Ridge回歸（嶺回歸）。

下圖是Python中Lasso回歸的損失函數(shù)，式中加號后面一項α||w||1即為L1正則化項。

下圖是Python中Ridge回歸的損失函數(shù)，式中加號后面一項

即為L2正則化項。

一般回歸分析中回歸w表示特征的系數(shù)，從上式可以看到正則化項是對系數(shù)做了處理（限制）。L1正則化和L2正則化的說明如下：

L1正則化是指權(quán)值向量w中各個元素的絕對值之和，通常表示為

L2正則化是指權(quán)值向量w中各個元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回歸的L2正則化項有平方符號），通常表示為

一般都會在正則化項之前添加一個系數(shù)，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。這個系數(shù)需要用戶指定。

那添加L1和L2正則化有什么用？

L1正則化可以產(chǎn)生稀疏權(quán)值矩陣，即產(chǎn)生一個稀疏模型，可以用于特征選擇

L2正則化可以防止模型過擬合（overfitting）。當(dāng)然，一定程度上，L1也可以防止過擬合

稀疏模型與特征選擇

上面提到L1正則化有助于生成一個稀疏權(quán)值矩陣，進而可以用于特征選擇。為什么要生成一個稀疏矩陣？

稀疏矩陣指的是很多元素為0，只有少數(shù)元素是非零值的矩陣，即得到的線性回歸模型的大部分系數(shù)都是0. 通常機器學(xué)習(xí)中特征數(shù)量很多，例如文本處理時，如果將一個詞組（term）作為一個特征，那么特征數(shù)量會達到上萬個（bigram）。

在預(yù)測或分類時，那么多特征顯然難以選擇，但是如果代入這些特征得到的模型是一個稀疏模型，表示只有少數(shù)特征對這個模型有貢獻，絕大部分特征是沒有貢獻的，或者貢獻微?。ㄒ驗樗鼈兦懊娴南禂?shù)是0或者是很小的值，即使去掉對模型也沒有什么影響），此時我們就可以只關(guān)注系數(shù)是非零值的特征。這就是稀疏模型與特征選擇的關(guān)系。

L1正則化和特征選擇

假設(shè)有如下帶L1正則化的損失函數(shù)：

其中J0是原始的損失函數(shù)，加號后面的一項是L1正則化項，α是正則化系數(shù)。注意到L1正則化是權(quán)值的絕對值之和，J是帶有絕對值符號的函數(shù)，因此J是不完全可微的。

機器學(xué)習(xí)的任務(wù)就是要通過一些方法（比如梯度下降）求出損失函數(shù)的最小值。當(dāng)我們在原始損失函數(shù)J0后添加L1正則化項時，相當(dāng)于對J0做了一個約束。令L=α∑w|w|，則J=J0+L，此時我們的任務(wù)變成在L約束下求出J0取最小值的解。

考慮二維的情況，即只有兩個權(quán)值w1和w2，此時L=|w1|+|w2|對于梯度下降法，求解J0的過程可以畫出等值線，同時L1正則化的函數(shù)L也可以在w1w2的二維平面上畫出來。

如下圖：

圖中等值線是J0的等值線，黑色方形是L函數(shù)的圖形。

在圖中，當(dāng)J0等值線與LL圖形首次相交的地方就是最優(yōu)解。上圖中J0與L在L的一個頂點處相交，這個頂點就是最優(yōu)解。注意到這個頂點的值是(w1,w2)=(0,w)?？梢灾庇^想象，因為L函數(shù)有很多『突出的角』（二維情況下四個，多維情況下更多），J0與這些角接觸的機率會遠大于與L其它部位接觸的機率，而在這些角上，會有很多權(quán)值等于0，這就是為什么L1正則化可以產(chǎn)生稀疏模型，進而可以用于特征選擇。

而正則化前面的系數(shù)α，可以控制L圖形的大小。α越小，L的圖形越大（上圖中的黑色方框）；α越大，L的圖形就越小，可以小到黑色方框只超出原點范圍一點點，這是最優(yōu)點的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

類似，假設(shè)有如下帶L2正則化的損失函數(shù)：

同樣可以畫出他們在二維平面上的圖形，如下：

二維平面下L2正則化的函數(shù)圖形是個圓，與方形相比，被磨去了棱角。因此J0與L相交時使得w1或w2等于零的機率小了許多，這就是為什么L2正則化不具有稀疏性的原因。

PRML一書對這兩個圖是這么解釋的

上圖中的模型是線性回歸，有兩個特征，要優(yōu)化的參數(shù)分別是w1和w2，左圖的正則化是L2，右圖是L1。藍色線就是優(yōu)化過程中遇到的等高線，一圈代表一個目標函數(shù)值，圓心就是樣本觀測值（假設(shè)一個樣本），半徑就是誤差值，受限條件就是紅色邊界（就是正則化那部分），二者相交處，才是最優(yōu)參數(shù)。

可見右邊的最優(yōu)參數(shù)只可能在坐標軸上，所以就會出現(xiàn)0權(quán)重參數(shù)，使得模型稀疏。

L2正則化和過擬合

擬合過程中通常都傾向于讓權(quán)值盡可能小，最后構(gòu)造一個所有參數(shù)都比較小的模型。因為一般認為參數(shù)值小的模型比較簡單，能適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)集，也在一定程度上避免了過擬合現(xiàn)象。

可以設(shè)想一下對于一個線性回歸方程，若參數(shù)很大，那么只要數(shù)據(jù)偏移一點點，就會對結(jié)果造成很大的影響；但如果參數(shù)足夠小，數(shù)據(jù)偏移得多一點也不會對結(jié)果造成什么影響，專業(yè)一點的說法是『抗擾動能力強』。

那為什么L2正則化可以獲得值很小的參數(shù)？

以線性回歸中的梯度下降法為例。假設(shè)要求的參數(shù)為θ，hθ(x)是我們的假設(shè)函數(shù)，那么線性回歸的代價函數(shù)如下：

那么在梯度下降法中，最終用于迭代計算參數(shù)θ的迭代式為：

其中α是learning rate. 上式是沒有添加L2正則化項的迭代公式，如果在原始代價函數(shù)之后添加L2正則化，則迭代公式會變成下面的樣子：

其中λ就是正則化參數(shù)。從上式可以看到，與未添加L2正則化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以一個小于1的因子，從而使得θj不斷減小，因此總得來看，θ是不斷減小的。

最開始也提到L1正則化一定程度上也可以防止過擬合。之前做了解釋，當(dāng)L1的正則化系數(shù)很小時，得到的最優(yōu)解會很小，可以達到和L2正則化類似的效果。

最后再補充一個角度：正則化其實就是對模型的參數(shù)設(shè)定一個先驗，這是貝葉斯學(xué)派的觀點。L1正則是laplace先驗，l2是高斯先驗，分別由參數(shù)sigma確定。在數(shù)據(jù)少的時候，先驗知識可以防止過擬合。

舉兩個最簡單的例子。

1 拋硬幣，推斷正面朝上的概率。如果只能拋5次，很可能5次全正面朝上，這樣你就得出錯誤的結(jié)論：正面朝上的概率是1--------過擬合！如果你在模型里加正面朝上概率是0.5的先驗，結(jié)果就不會那么離譜。這其實就是正則。

2. 最小二乘回歸問題：加L2范數(shù)正則等價于加了高斯分布的先驗，加L1范數(shù)正則相當(dāng)于加拉普拉斯分布先驗。