在實(shí)現(xiàn)算法的時(shí)候，通常會(huì)從兩方面考慮算法的復(fù)雜度，即時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。顧名思義，時(shí)間復(fù)雜度用于度量算法的計(jì)算工作量，空間復(fù)雜度用于度量算法占用的內(nèi)存空間。

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本文將從時(shí)間復(fù)雜度的概念出發(fā)，結(jié)合實(shí)際代碼示例分析算法的時(shí)間復(fù)雜度。

漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度

時(shí)間復(fù)雜度是算法運(yùn)算所消耗的時(shí)間，因?yàn)椴煌笮〉妮斎霐?shù)據(jù)，算法處理所要消耗的時(shí)間是不同的，因此評(píng)估一個(gè)算運(yùn)行時(shí)間是比較困難的，所以通常關(guān)注的是時(shí)間頻度，即算法運(yùn)行計(jì)算操作的次數(shù)，記為T(mén)(n)，其中n稱(chēng)為問(wèn)題的規(guī)模。

同樣，因?yàn)閚是一個(gè)變量，n發(fā)生變化時(shí)，時(shí)間頻度T(n) 也在發(fā)生變化，我們稱(chēng)時(shí)間復(fù)雜度的極限情形稱(chēng)為算法的漸近時(shí)間復(fù)雜度，記為O(n)，不包含函數(shù)的低階和首項(xiàng)系數(shù)。

我們以如下 例子來(lái)解釋一下：

如上例子中，我們根據(jù)代碼上執(zhí)行的平均時(shí)間假設(shè)，計(jì)算 run_time(n) 函數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度，如下：

上述時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算公式T(n) ，是我們對(duì)函數(shù) run_time(n) 進(jìn)行的時(shí)間復(fù)雜度的估算。當(dāng)n 值非常大的時(shí)候，T(n)函數(shù)中常數(shù)項(xiàng) time0 以及n的系數(shù) (time1+time2+time3+time4) 對(duì)n的影響也可以忽略不計(jì)了，因此這里函數(shù)run_time(n) 的時(shí)間復(fù)雜度我們可以表示為 O(n)。

因?yàn)槲覀冇?jì)算的是極限狀態(tài)下(如，n非常大)的時(shí)間復(fù)雜度，因此其中存在以下兩種特性：

• 低階項(xiàng)相對(duì)于高階項(xiàng)產(chǎn)生的影響很小，可以忽略不計(jì)。
• 最高項(xiàng)系數(shù)對(duì)最高項(xiàng)的影響也很小，可以忽略不計(jì)。

根據(jù)上述兩種特性，時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算方法：

1.只取最高階項(xiàng)，去掉低階項(xiàng)。

2.去掉最高項(xiàng)的系數(shù)。

3.針對(duì)常數(shù)階，取時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。

我們通過(guò)下面例子理解一下常見(jiàn)的時(shí)間復(fù)雜度，如下：

時(shí)間復(fù)雜度：常數(shù)階 O(1)

時(shí)間復(fù)雜度：線性階 O(n)

時(shí)間復(fù)雜度：線性階 O(n)

時(shí)間復(fù)雜度：平方階 O(n^2)

時(shí)間復(fù)雜度：平方階 O(n^2)

時(shí)間復(fù)雜度：平方階 O(n^2)

時(shí)間復(fù)雜度：立方階 O(n^3)

時(shí)間復(fù)雜度：對(duì)數(shù)階 O(logn)

隨著問(wèn)題規(guī)模n的不斷增大，上述時(shí)間復(fù)雜度不斷增大，算法的執(zhí)行效率越低，時(shí)間復(fù)雜度排序如下：

練習(xí)一下

如下count_sort 函數(shù)實(shí)現(xiàn)了計(jì)數(shù)排序，列表中的數(shù)范圍都在0到100之間，列表長(zhǎng)度大約為100萬(wàn)。

如上count_sort 函數(shù)的 空間復(fù)雜度為 O(n)，公式如下：