整數(shù)拆分

力扣題目鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break

給定一個(gè)正整數(shù) n，將其拆分為至少兩個(gè)正整數(shù)的和，并使這些整數(shù)的乘積最大化。返回你可以獲得的最大乘積。

示例 1:

• 輸入: 2
• 輸出: 1
• 解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

• 輸入: 10
• 輸出: 36
• 解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

說(shuō)明: 你可以假設(shè) n 不小于 2 且不大于 58。

思路

看到這道題目，都會(huì)想拆成兩個(gè)呢，還是三個(gè)呢，還是四個(gè)....

我們來(lái)看一下如何使用動(dòng)規(guī)來(lái)解決。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

動(dòng)規(guī)五部曲，分析如下：

確定dp數(shù)組(dp table)以及下標(biāo)的含義

dp[i]：分拆數(shù)字i，可以得到的最大乘積為dp[i]。

dp[i]的定義講貫徹整個(gè)解題過(guò)程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥!

確定遞推公式

可以想 dp[i]最大乘積是怎么得到的呢?

其實(shí)可以從1遍歷j，然后有兩種渠道得到dp[i].

一個(gè)是j * (i - j) 直接相乘。

一個(gè)是j * dp[i - j]，相當(dāng)于是拆分(i - j)，對(duì)這個(gè)拆分不理解的話，可以回想dp數(shù)組的定義。

那有同學(xué)問(wèn)了，j怎么就不拆分呢?

j是從1開(kāi)始遍歷，拆分j的情況，在遍歷j的過(guò)程中其實(shí)都計(jì)算過(guò)了。那么從1遍歷j，比較(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。遞推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以這么理解，j * (i - j) 是單純的把整數(shù)拆分為兩個(gè)數(shù)相乘，而j * dp[i - j]是拆分成兩個(gè)以及兩個(gè)以上的個(gè)數(shù)相乘。

如果定義dp[i - j] * dp[j] 也是默認(rèn)將一個(gè)數(shù)強(qiáng)制拆成4份以及4份以上了。

所以遞推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的時(shí)候，為什么還要比較dp[i]呢?

因?yàn)樵谶f推公式推導(dǎo)的過(guò)程中，每次計(jì)算dp[i]，取最大的而已。

dp的初始化

不少同學(xué)應(yīng)該疑惑，dp[0] dp[1]應(yīng)該初始化多少呢?

有的題解里會(huì)給出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解釋比較牽強(qiáng)，主要還是因?yàn)檫@么初始化可以把題目過(guò)了。

嚴(yán)格從dp[i]的定義來(lái)說(shuō)，dp[0] dp[1] 就不應(yīng)該初始化，也就是沒(méi)有意義的數(shù)值。

拆分0和拆分1的最大乘積是多少?

這是無(wú)解的。

這里我只初始化dp[2] = 1，從dp[i]的定義來(lái)說(shuō)，拆分?jǐn)?shù)字2，得到的最大乘積是1，這個(gè)沒(méi)有任何異議!

確定遍歷順序

確定遍歷順序，先來(lái)看看遞歸公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的狀態(tài)，所以遍歷i一定是從前向后遍歷，先有dp[i - j]再有dp[i]。

枚舉j的時(shí)候，是從1開(kāi)始的。i是從3開(kāi)始，這樣dp[i - j]就是dp[2]正好可以通過(guò)我們初始化的數(shù)值求出來(lái)。

所以遍歷順序?yàn)椋?/p>

for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
    } 
} 

舉例推導(dǎo)dp數(shù)組

舉例當(dāng)n為10 的時(shí)候，dp數(shù)組里的數(shù)值，如下：

整數(shù)拆分

以上動(dòng)規(guī)五部曲分析完畢，C++代碼如下：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        vector<int> dp(n + 1); 
        dp[2] = 1; 
        for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
            } 
        } 
        return dp[n]; 
    } 
}; 

• 時(shí)間復(fù)雜度：
• 空間復(fù)雜度：

貪心

本題也可以用貪心，每次拆成n個(gè)3，如果剩下是4，則保留4，然后相乘，但是這個(gè)結(jié)論需要數(shù)學(xué)證明其合理性!

我沒(méi)有證明，而是直接用了結(jié)論。感興趣的同學(xué)可以自己再去研究研究數(shù)學(xué)證明哈。

給出我的C++代碼如下：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        if (n == 2) return 1; 
        if (n == 3) return 2; 
        if (n == 4) return 4; 
        int result = 1; 
        while (n > 4) { 
            result *= 3; 
            n -= 3; 
        } 
        result *= n; 
        return result; 
    } 
}; 

時(shí)間復(fù)雜度：

空間復(fù)雜度：

總結(jié)

本題掌握其動(dòng)規(guī)的方法，就可以了，貪心的解法確實(shí)簡(jiǎn)單，但需要有數(shù)學(xué)證明，如果能自圓其說(shuō)也是可以的。

其實(shí)這道題目的遞推公式并不好想，而且初始化的地方也很有講究，我在寫(xiě)本題的時(shí)候一開(kāi)始寫(xiě)的代碼是這樣的：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        if (n <= 3) return 1 * (n - 1); 
        vector<int> dp(n + 1, 0); 
        dp[1] = 1; 
        dp[2] = 2; 
        dp[3] = 3; 
        for (int i = 4; i <= n ; i++) { 
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]); 
            } 
        } 
        return dp[n]; 
    } 
}; 

這個(gè)代碼也是可以過(guò)的!

在解釋遞推公式的時(shí)候，也可以解釋通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘積 * 拆解j的最大乘積?？雌饋?lái)沒(méi)毛病!

但是在解釋初始化的時(shí)候，就發(fā)現(xiàn)自相矛盾了，dp[1]為什么一定是1呢?根據(jù)dp[i]的定義，dp[2]也不應(yīng)該是2啊。

但如果遞歸公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要這么初始化。遞推公式?jīng)]毛病，但初始化解釋不通!

雖然代碼在初始位置有一個(gè)判斷if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保證n<=3 結(jié)果是正確的，但代碼后面又要給dp[1]賦值1 和 dp[2] 賦值 2，這其實(shí)就是自相矛盾的代碼，違背了dp[i]的定義!

我舉這個(gè)例子，其實(shí)就說(shuō)做題的嚴(yán)謹(jǐn)性，上面這個(gè)代碼也可以AC，大體上一看好像也沒(méi)有毛病，遞推公式也說(shuō)得過(guò)去，但是僅僅是恰巧過(guò)了而已。

其他語(yǔ)言版本

Java

class Solution { 
    public int integerBreak(int n) { 
        //dp[i]為正整數(shù)i拆分結(jié)果的最大乘積 
        int[] dp = new int[n+1]; 
        dp[2] = 1; 
        for (int i = 3; i <= n; ++i) { 
            for (int j = 1; j < i - 1; ++j) { 
                //j*(i-j)代表把i拆分為j和i-j兩個(gè)數(shù)相乘 
                //j*dp[i-j]代表把i拆分成j和繼續(xù)把(i-j)這個(gè)數(shù)拆分，取(i-j)拆分結(jié)果中的最大乘積與j相乘 
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j])); 
            } 
        } 
        return dp[n]; 
    } 
} 

Python

class Solution: 
    def integerBreak(self, n: int) -> int: 
        dp = [0] * (n + 1) 
        dp[2] = 1 
        for i in range(3, n + 1): 
            # 假設(shè)對(duì)正整數(shù) i 拆分出的第一個(gè)正整數(shù)是 j（1 <= j < i），則有以下兩種方案： 
            # 1) 將 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多個(gè)正整數(shù)，此時(shí)的乘積是 j * (i-j) 
            # 2) 將 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 繼續(xù)拆分成多個(gè)正整數(shù)，此時(shí)的乘積是 j * dp[i-j] 
            for j in range(1, i - 1): 
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j])) 
        return dp[n] 

Go

func integerBreak(n int) int { 
    /** 
    動(dòng)態(tài)五部曲 
    1.確定dp下標(biāo)及其含義 
    2.確定遞推公式 
    3.確定dp初始化 
    4.確定遍歷順序 
    5.打印dp 
    **/ 
    dp:=make([]int,n+1) 
    dp[1]=1 
    dp[2]=1 
    for i:=3;i<n+1;i++{ 
        for j:=1;j<i-1;j++{ 
// i可以差分為i-j和j。由于需要最大值，故需要通過(guò)j遍歷所有存在的值，取其中最大的值作為當(dāng)前i的最大值，在求最大值的時(shí)候，一個(gè)是j與i-j相乘，一個(gè)是j與dp[i-j]. 
            dp[i]=max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j])) 
        } 
    } 
    return dp[n] 
} 
func max(a,b int) int{ 
    if a>b{ 
        return a 
    } 
    return b 
} 

Javascript

var integerBreak = function(n) { 
    let dp = new Array(n + 1).fill(0) 
    dp[2] = 1 
 
    for(let i = 3; i <= n; i++) { 
        for(let j = 1; j < i; j++) { 
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j) 
        } 
    } 
    return dp[n] 
};