在之前對序列模型中的??HMM(隱馬爾可夫模型)??進(jìn)行掌握以后，有必要對另外一個序列模型CRF進(jìn)行掌握，因為這兩個模型都是自然語言處理序列模型中的核心模型。在之前介紹的概率有向圖模型，如HMM，即貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，相對應(yīng)的概率無向圖模型就稱為馬爾可夫網(wǎng)絡(luò)或者馬爾可夫隨機(jī)場(MRF)，本篇文章所介紹的CRF就是馬爾可夫隨機(jī)場的一種。

1.馬爾可夫隨機(jī)場

馬爾可夫隨機(jī)場也叫馬爾可夫網(wǎng)絡(luò)，同時也是一種無向圖模型。在概率圖模型的基礎(chǔ)上，針對無向圖模型，首先需要對無向圖模型的基礎(chǔ)概念進(jìn)行一定程度上的掌握。

1.1. MRF相關(guān)概念

無向圖模型MRF所特有的一些概念如下：

• 團(tuán)：圖中的節(jié)點子集，并且其中任意兩個節(jié)點之間都有邊連接;
• 極大團(tuán)：為一個團(tuán)，并且加入任何一個其他的節(jié)點都不能再形成團(tuán)，例如下圖中，該圖中的團(tuán)一共有{1,2}，{1,3}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{1,3}，{1,2,3}，{2,3,4};其中極大團(tuán)為{1,2,3}，{2,3,4}，{3,5}，{3,6};

• 勢函數(shù)(也稱因子Factor)：定義在變量子集上的非負(fù)實函數(shù)，用于定義概率分布函數(shù)。在馬爾可夫隨機(jī)場中，多個變量之間的聯(lián)合概率分布可以基于團(tuán)分解為多個勢函數(shù)的乘積，每個勢函數(shù)僅僅與一個團(tuán)相關(guān)。
• 特征函數(shù)：通常情況下都是一些實數(shù)值函數(shù)，它是用來刻畫數(shù)據(jù)的一些可能成立的經(jīng)驗特性。例如下式就是一個特征函數(shù)：

1.2. Hammersley-Clifford定理

在對于勢函數(shù)與團(tuán)相關(guān)理論掌握的基礎(chǔ)上，由此引申出隨機(jī)場的基礎(chǔ)定理，即Hammersley-Clifford定理。該定理的具體定義為：對于具有N個變量的馬爾可夫隨機(jī)場，已知變量為 ),這些變量中所有團(tuán)所構(gòu)成的集合為T，同時與團(tuán) 對應(yīng)的變量集合記作 ，則其對應(yīng)的聯(lián)合概率為：

上式中， 就是與團(tuán)S所對應(yīng)的勢函數(shù)，其作用為對團(tuán) 中的變量關(guān)系進(jìn)行建模。 為規(guī)范化因子，其難以計算，在普遍情況下，無需計算出 的精確值。在針對于團(tuán) 不是極大團(tuán)的情況時，由于非極大團(tuán)必定屬于某個極大團(tuán)的性質(zhì)，所以還是可以用極大團(tuán)進(jìn)行計算來替代非極大團(tuán)的聯(lián)合概率，即:

上式中的 就是所有極大團(tuán)的集合。Hammersley-Clifford定理是隨機(jī)場的基礎(chǔ)定理，其為馬爾可夫隨機(jī)場被表達(dá)為正概率分布的充分必要條件。針對于1.1中的示例圖，其聯(lián)合概率就為：

1.3. 分離集與馬爾科夫性

在對各種馬爾可夫性進(jìn)行掌握前，首先需要理解分離集的概念。分離集的定義為：設(shè)A、B、C都是馬爾可夫隨機(jī)場中的節(jié)點集合，如果從集合A中的節(jié)點到集合C中的節(jié)點都必須要經(jīng)過集合B中的節(jié)點，那么就可以稱集合A和集合C被集合B給分離，其中集合B就為分離集。如下圖所示：

有了分離集合的概念，對下面幾種馬爾可夫性的理解就相對簡單了，馬爾可夫性的定義為：當(dāng)一個隨機(jī)過程在給定當(dāng)前狀態(tài)及所有過去狀態(tài)情況下，其未來狀態(tài)的條件概率分布僅依賴于當(dāng)前狀態(tài)，即只要給定了當(dāng)前狀態(tài)，未來狀態(tài)是與過去狀態(tài)無關(guān)的，也是條件獨(dú)立的，該隨機(jī)過程也就具有了馬爾可夫性。同理，在馬爾可夫隨機(jī)場中，馬爾可夫性可解釋為當(dāng)前狀態(tài)看作為無向圖中的一個節(jié)點，過去狀態(tài)就是與當(dāng)前狀態(tài)節(jié)點有邊連接的其他節(jié)點。針對于馬爾可夫性和下圖，又有：

• 全局馬爾可夫性：節(jié)點集合A，C是無向圖中被節(jié)點集合B分開的任意結(jié)點集合，則在給定隨機(jī)變量Y_B的條件下，隨機(jī)變量Y_A和Y_C條件獨(dú)立。如上圖中節(jié)點1,2就與節(jié)點6,7條件獨(dú)立。
• 局部馬爾可夫性：設(shè)X是無向圖中任意一個結(jié)點，T是與X有邊相連的所有結(jié)點，無向圖中其他剩余結(jié)點為S，則給定隨機(jī)變量Y_T的條件下，隨機(jī)變量Y_X和Y_S條件獨(dú)立。如上圖的節(jié)點2，與2連接的節(jié)點為1和5，即給定節(jié)點1和5的情況下，那么節(jié)點2就與剩下的節(jié)點3，4，6，7條件獨(dú)立。
• 成對馬爾可夫性：設(shè)無向圖中V和C是任意兩個沒有邊直接連接的結(jié)點，圖中其他結(jié)點的集合記做S，則給定隨機(jī)變量Y_S的條件下，隨機(jī)變量Y_V和Y_C條件獨(dú)立。如上圖中2和6兩個節(jié)點之間沒有邊直接連接，那么剩余其他節(jié)點為1，3，4，5，7，給定這些節(jié)點的情況下，節(jié)點2和節(jié)點6條件獨(dú)立。

綜上可知，這三種馬爾可夫性相互之間是關(guān)聯(lián)等價的，通過全局馬爾可夫性可以得到局部馬爾可夫性，通過局部馬爾可夫性也可得到成對馬爾可夫性，通過成對馬爾科夫性又可以推出全局馬爾可夫性。因此只要滿足三種性質(zhì)的一種的無向圖就稱為馬爾可夫隨機(jī)場(MRF)。

2.條件隨機(jī)場——CRF

通過上述闡述，讀者們可以對馬爾可夫隨機(jī)場，即馬爾可夫無向圖有了基本的掌握與理解。在此基礎(chǔ)上，本文就引出條件隨機(jī)場CRF。

2.1.CRF

由上述可知，CRF模型是無向圖模型的一種，但是其與馬爾可夫隨機(jī)場(MRF)有所不同，主要區(qū)別在于MRF模型是生成模型，而CRF模型是判別式模型，其是對條件分布進(jìn)行建模。兩者之間也存在關(guān)聯(lián)，即CRF是有條件的馬爾可夫隨機(jī)場，也就是在給定隨機(jī)變量的條件下的馬爾可夫隨機(jī)場。

CRF的基本定義為：設(shè)X和Y是隨機(jī)變量， 是給定X條件下Y的條件概率分布。若隨機(jī)變量Y構(gòu)成一個無向圖的馬爾可夫隨機(jī)場，則稱條件概率分布 為CRF。對應(yīng)于馬爾可夫性可理解為，如果隨機(jī)變量Y構(gòu)成一個無向圖，且圖中每一個變量Y,都滿足馬爾可夫性(至少滿足全局馬爾可夫性、局部馬爾可夫性、成對馬爾可夫性中一種)，則稱 為CRF。其中X為輸入變量，即需要標(biāo)注的觀測序列，Y為輸出變量，表示狀態(tài)或標(biāo)記序列。在自然語言處理領(lǐng)域中，普遍的輸入變量X和輸出變量Y具有相同圖結(jié)構(gòu)。

2.2.CRF線性鏈

在實際應(yīng)用中，對于CRF的使用最多的情況是線性鏈CRF，線性鏈的結(jié)構(gòu)如下所示：

一般地，當(dāng)X和Y具有相同圖結(jié)構(gòu)時，線性鏈結(jié)構(gòu)就變?yōu)槿缦滤荆?/p>

在上圖中，X就為觀測序列，Y就為狀態(tài)序列。同時在給定隨機(jī)變量序列X的條件下，如果隨機(jī)變量序列Y相對于序列X的條件概率分布P(YIX)構(gòu)成條件隨機(jī)場，那么可得隨機(jī)變量Y也滿足馬爾可夫性。公式表達(dá)為：

即Y當(dāng)前狀態(tài)只與相連接的前后兩個狀態(tài)有關(guān)，而與其他狀態(tài)相互獨(dú)立，為線性連接的關(guān)系。此時稱P(YIX)為條件隨機(jī)場，相應(yīng)的，X為輸入或者觀測序列，Y為輸出或者狀態(tài)序列。

2.3. CRF相關(guān)計算

當(dāng)選定好勢函數(shù)后，這里選取指數(shù)函數(shù)，通過引入特征函數(shù)，可以得到條件概率為：

其中，t_k和 s_k分別為特征函數(shù)，t_k定義為邊上的特征函數(shù)，也叫轉(zhuǎn)移特征，它依賴于當(dāng)前節(jié)點和前一個節(jié)點; s_k定義為結(jié)點上的特征函數(shù)，也叫狀態(tài)特征，只依賴于當(dāng)前結(jié)點。一般情況下，t_k和s_k的取值為1或者0，即滿足特征條件時為1，不滿足則為0。λ_k和μ_k分別為t_k和s_k所對應(yīng)的權(quán)值。Z(x)為規(guī)范化因子，來保證P(YIX)為概率分布。

對于上述公式的理解，通過一個簡單例子可以更好地去掌握。例如設(shè)輸入觀測序列X X₃為（X₁，X₂，X₃）對應(yīng)的狀態(tài)序列Y為（Y₁，Y₂，Y₃），其中Y₁，Y₂，Y₃ 的取值為1或者2。對于第一條連接邊，設(shè)特征和權(quán)值為：

對應(yīng)的特征函數(shù)為：

根據(jù)上式，同時給定相對應(yīng)的權(quán)重 可寫出:

由此可計算狀態(tài)為 的非規(guī)范化條件概率為(不需要除以規(guī)范化因子Z) 。

3.CRF模型解決的三種問題類型

相較于之前的HMM模型，CRF模型同樣需要解決三種問題，分別為概率計算問題、預(yù)測問題和學(xué)習(xí)問題。

• 概率計算問題：針對于概率計算問題，通常情況給定的已知信息是CRF模型的條件概率分布P(YIX)、觀測序列X和狀態(tài)序列Y，求解目標(biāo)為某一條件概率以及相對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望。求解的方法基本就是前向后向計算方法。
• 預(yù)測問題：針對于預(yù)測問題，通常情況給定的已知信息是CRF模型的條件概率分布P(YIX)、觀測序列X，求解目標(biāo)為使得條件概率最大的狀態(tài)序列Y，即求解觀測序列所對應(yīng)的狀態(tài)。求解方法基本是函數(shù)計算。
• 學(xué)習(xí)問題：學(xué)習(xí)問題也叫模型訓(xùn)練求解參數(shù)問題，通過給定的數(shù)據(jù)集(觀測序列和狀態(tài)序列等)來求解CRF模型所需要的參數(shù)，通常用到的方法就是模型訓(xùn)練常用的尺度迭代方法(如梯度下降算法等)。

4.總結(jié)

相較于HMM模型，CRF模型計算的過程更為復(fù)雜，但是對于整體把握CRF模型的影響并不大，只需要在思路上明白CRF模型和HMM模型在實際應(yīng)用中所需要解決的三種問題即可，針對于特定問題中給定的已知條件來實現(xiàn)求解目標(biāo)。

在自然語言處理領(lǐng)域，對于概率統(tǒng)計模型的掌握其實也就是對于HMM模型和CRF模型的掌握。雖然，HMM和CRF模型流行于在自然語言處理領(lǐng)域使用深度學(xué)習(xí)技術(shù)之前，但是還是那句話，目前針對于自然語言處理領(lǐng)域深度學(xué)習(xí)技術(shù)的瓶頸問題，不妨換個思維，考慮下概率統(tǒng)計模型來處理，也許能取得不錯的效果。

作者介紹

稀飯，51CTO社區(qū)編輯，曾任職某電商人工智能研發(fā)中心大數(shù)據(jù)技術(shù)部門，做推薦算法。目前攻讀智能網(wǎng)絡(luò)與大數(shù)據(jù)方向的研究生，主要擅長領(lǐng)域有推薦算法、NLP、CV，使用代碼語言有Java、Python、Scala。