分析和處理季節(jié)性是時(shí)間序列分析中的一個(gè)關(guān)鍵工作，在本文中我們將描述三種類型的季節(jié)性以及常見(jiàn)的8種建模方法。

什么是季節(jié)性?

季節(jié)性是構(gòu)成時(shí)間序列的關(guān)鍵因素之一，是指在一段時(shí)間內(nèi)以相似強(qiáng)度重復(fù)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。

季節(jié)變化可以由各種因素引起，例如天氣、日歷或經(jīng)濟(jì)條件。各種應(yīng)用程序中都有這樣的例子。由于假期和旅游的緣故，夏天的機(jī)票更貴。另一個(gè)例子是消費(fèi)者支出，由于因?yàn)?2月的假期而增加。

季節(jié)性是指某些時(shí)期的平均值與其他時(shí)期的平均值不同。這個(gè)問(wèn)題導(dǎo)致該系列是非平穩(wěn)的。這就是為什么在建立模型時(shí)分析季節(jié)性是很重要的。

3種模式

在時(shí)間序列中可以出現(xiàn)三種類型的季節(jié)模式。季節(jié)性可以是確定性的，也可以是隨機(jī)的。在隨機(jī)方面，季節(jié)模式可能是平穩(wěn)的，也可能不是。

這些季節(jié)性并不是相互排斥的。時(shí)間序列可以同時(shí)具有確定性和隨機(jī)季節(jié)性成分。

1、確定的季節(jié)性

具有確定性季節(jié)性的時(shí)間序列具有恒定的季節(jié)模式。它總是以一種可預(yù)測(cè)的方式出現(xiàn)，無(wú)論是在強(qiáng)度上還是在周期性上:

相似強(qiáng)度:在同一季節(jié)期間，季節(jié)+模式的水平保持不變;

不變周期性:波峰和波谷的位置不改變。也就是說(shuō)季節(jié)模式每次重復(fù)之間的時(shí)間是恒定的。

比如說(shuō)下面這個(gè)就是一個(gè)具有確定性季節(jié)性的合成月時(shí)間序列:

import numpy as np
 
 period = 12
 size = 120
 beta1 = 0.3
 beta2 = 0.6
 sin1 = np.asarray([np.sin(2 * np.pi * i / 12) for i in np.arange(1, size + 1)])
 cos1 = np.asarray([np.cos(2 * np.pi * i / 12) for i in np.arange(1, size + 1)])
 
 xt = np.cumsum(np.random.normal(scale=0.1, size=size))
 
 series_det = xt + beta1*sin1 + beta2*cos1 + np.random.normal(scale=0.1, size=size)

我們也可以用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)模擬季節(jié)性。傅里葉級(jí)數(shù)是不同周期的正弦和余弦波。如果季節(jié)性是確定性的，那么用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)描述是非常準(zhǔn)確的。

2、隨機(jī)平穩(wěn)的季節(jié)性

beta1 = np.linspace(-.6, .3, num=size)
 beta2 = np.linspace(.6, -.3, num=size)
 sin1 = np.asarray([np.sin(2 * np.pi * i / 12) for i in np.arange(1, size + 1)])
 cos1 = np.asarray([np.cos(2 * np.pi * i / 12) for i in np.arange(1, size + 1)])
 
 xt = np.cumsum(np.random.normal(scale=0.1, size=size))
 
 # synthetic series with stochastic seasonality
 series_stoc = xt + beta1*sin1 + beta2*cos1 + np.random.normal(scale=0.1, size=size)

在連續(xù)的季節(jié)周期(如一年)中隨機(jī)平穩(wěn)的季節(jié)性演變。雖然強(qiáng)度難以預(yù)測(cè)，但周期性大致保持不變。

有了確定性的季節(jié)性，給定月份的預(yù)測(cè)不會(huì)隨年份而改變。對(duì)于隨機(jī)平穩(wěn)季節(jié)性，最佳猜測(cè)取決于前一年同月的值。

3、隨機(jī)非平穩(wěn)季節(jié)性

季節(jié)模式會(huì)在幾個(gè)季節(jié)期間發(fā)生顯著變化，這種季節(jié)性的周期性也隨著時(shí)間的推移而變化。這意味著波峰和波谷的位置不同。

這種季節(jié)性模式的例子出現(xiàn)在不同的領(lǐng)域。這些數(shù)據(jù)包括消費(fèi)系列或工業(yè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)。當(dāng)時(shí)間序列具有綜合季節(jié)性時(shí)，變化很難預(yù)測(cè)。

季節(jié)性時(shí)間序列的測(cè)試

可視化時(shí)間序列是一種檢查季節(jié)模式的簡(jiǎn)單方法。但是可視化并不能系統(tǒng)的說(shuō)明季節(jié)性的模式，所以就需要更系統(tǒng)的方法來(lái)描述時(shí)間序列的而季節(jié)性。

1、測(cè)量季節(jié)強(qiáng)度

我們可以根據(jù)以下方法量化季節(jié)模式的強(qiáng)度:

import pandas as pd
 from statsmodels.tsa.api import STL
 
 def seasonal_strength(series: pd.Series) -> float:
    # time series decomposition
    series_decomp = STL(series, period=period).fit()
     
    # variance of residuals + seasonality
    resid_seas_var = (series_decomp.resid + series_decomp.seasonal).var()
    # variance of residuals
    resid_var = series_decomp.resid.var()
 
    # seasonal strength
    result = 1 - (resid_var / resid_seas_var)
 
    return result

這個(gè)函數(shù)估計(jì)季節(jié)性的強(qiáng)度，不管它是確定性的還是隨機(jī)的。

# strong seasonality in the deterministic series
 seasonal_strength(series_det)
 # 0.93
 
 # strong seasonality in the stochastic series
 seasonal_strength(series_stoc)
 # 0.91

如果該值高于0.64[2]，則需要應(yīng)用季節(jié)性差異過(guò)濾器。另一種檢測(cè)季節(jié)性的方法是QS測(cè)試，它在季節(jié)性滯后時(shí)檢查自相關(guān)性。

2、檢測(cè)非平穩(wěn)季節(jié)性

有一些統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是用來(lái)檢驗(yàn)季節(jié)模式是否是非平穩(wěn)的。

一個(gè)常見(jiàn)的例子是Canova-Hansen (CH)測(cè)試。其假設(shè)如下:

• H0(零假設(shè)):季節(jié)模式平穩(wěn)(無(wú)季節(jié)單位根);
• H1:該系列包含一個(gè)季節(jié)性單位根

OCSB測(cè)試和HEGY測(cè)試是CH的兩種替代方法。這些方法都可以在Python的pmdarima 庫(kù)中找到。

from pmdarima.arima import nsdiffs
 
 period = 12 # monthly data
 
 nsdiffs(x=series_det, m=period, test='ch')
 nsdiffs(x=series_det, m=period, test='ocsb')
 
 nsdiffs(x=series_stoc, m=period, test='ch')
 nsdiffs(x=series_stoc, m=period, test='ocsb')

函數(shù)nsdiffs返回使序列平穩(wěn)所需的季節(jié)差步數(shù)。

3、相關(guān)性檢測(cè)

還有其他專為季節(jié)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的檢測(cè)。例如，季節(jié)性肯德?tīng)枡z驗(yàn)是一種非參數(shù)檢驗(yàn)，用于檢查季節(jié)性時(shí)間序列的單調(diào)趨勢(shì)。

檢測(cè)季節(jié)性模式

季節(jié)性指的是在一段時(shí)間內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的模式。這是一個(gè)重要的變化來(lái)源，對(duì)建模很重要。

有很多種種處理季節(jié)性的方法，其中一些方法在建模之前去掉了季節(jié)成分。經(jīng)季節(jié)調(diào)整的數(shù)據(jù)(時(shí)間序列減去季節(jié)成分)強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)期影響，如趨勢(shì)或商業(yè)周期。而另外一些方法增加了額外的變量來(lái)捕捉季節(jié)性的周期性。

在討論不同的方法之前，先創(chuàng)建一個(gè)時(shí)間序列并描述它的季節(jié)模式，我們還繼續(xù)使用上面的代碼

period = 12 # monthly series
 size = 120
 
 beta1 = np.linspace(-.6, .3, num=size)
 beta2 = np.linspace(.6, -.3, num=size)
 sin1 = np.asarray([np.sin(2 * np.pi * i / 12) for i in np.arange(1, size + 1)])
 cos1 = np.asarray([np.cos(2 * np.pi * i / 12) for i in np.arange(1, size + 1)])
 
 xt = np.cumsum(np.random.normal(scale=0.1, size=size))
 
 yt = xt + beta1 * sin1 + beta2 * cos1 + np.random.normal(scale=0.1, size=size)
 
 yt = pd.Series(yt)

然后通過(guò)強(qiáng)度來(lái)描述季節(jié)模式:

seasonal_strength(yt, period=12)
 # 0.90

結(jié)果為0.90，表明季節(jié)性確實(shí)很強(qiáng)。該時(shí)間序列的自相關(guān)圖如下圖所示:

再使用我們上面介紹的Canova-Hansen檢驗(yàn)來(lái)查看季節(jié)性單位根:

from pmdarima.arima import nsdiffs
 
 nsdiffs(x=yt, m=period, test='ch')
 # 0

結(jié)果為0，表示不存在季節(jié)單位根。也就是說(shuō)季節(jié)模式是平穩(wěn)的。

那么，我們?cè)撊绾螒?yīng)對(duì)像這樣的季節(jié)性模式呢?

季節(jié)性建模

1、虛擬變量

季節(jié)性虛擬變量是一組二元變量。它們表示一個(gè)觀測(cè)值是否屬于一個(gè)給定的時(shí)期(例如一月)。

下面是一個(gè)如何創(chuàng)建這些變量的例子:

from sktime.transformations.series.date import DateTimeFeatures
 from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
 
 monthly_feats = DateTimeFeatures(ts_freq='M',
                                  keep_original_columns=False,
                                  feature_scope='efficient')
 
 datetime_feats = monthly_feats.fit_transform(yt)
 datetime_feats = datetime_feats.drop('year', axis=1)
 
 encoder = OneHotEncoder(drop='first', sparse=False)
 encoded_feats = encoder.fit_transform(datetime_feats)
 
 encoded_feats_df = pd.DataFrame(encoded_feats,
                                columns=encoder.get_feature_names_out(),
                                dtype=int)

這段代碼產(chǎn)生如下數(shù)據(jù)。

在每個(gè)觀察中獲得有關(guān)季度和月份的信息(左側(cè)表)。該信息存儲(chǔ)在datetime_feats對(duì)象中。然后使用one-hot編碼來(lái)創(chuàng)建虛擬變量(右側(cè)表)。

如果季節(jié)性是確定的，那么季節(jié)虛擬變量是非常有效。因?yàn)榇_定的季節(jié)性種季節(jié)模式是固定的，也就是強(qiáng)度和周期性基本不變。并且我們還可以通過(guò)檢驗(yàn)季節(jié)虛擬變量的系數(shù)來(lái)分析季節(jié)效應(yīng)及其變化，這有利于模型的可解釋性。

但是季節(jié)性虛擬變量的缺點(diǎn)也很明顯，它假設(shè)不同的時(shí)期是獨(dú)立的。比如1月份的觀測(cè)結(jié)果與12月份的觀測(cè)結(jié)果相關(guān)。虛擬變量對(duì)這種相關(guān)性視而不見(jiàn)。所以如果季節(jié)模式發(fā)生變化，虛擬變量就會(huì)產(chǎn)生很多問(wèn)題。

2、傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)是基于正弦和余弦波的周期性和確定性的變量。與季節(jié)性虛擬變量相反，這些三角函數(shù)將季節(jié)性建模為周期性模式，并且這種結(jié)構(gòu)更能反映現(xiàn)實(shí)。

sktime中包含了很好的方法:

from sktime.transformations.series.fourier import FourierFeatures
 
 fourier = FourierFeatures(sp_list=[12],
                          fourier_terms_list=[4],
                          keep_original_columns=False)
 
 fourier_feats = fourier.fit_transform(yt)

這里需要指定兩個(gè)主要參數(shù):

• sp_list:將季節(jié)期間作為一個(gè)列表(例如，12個(gè)月的數(shù)據(jù))
• fourier_terms_list:項(xiàng)的個(gè)數(shù)，指要包含的正弦和余弦級(jí)數(shù)的個(gè)數(shù)。這些都會(huì)影響到表示的平滑度。

傅里葉級(jí)數(shù)是可以添加到模型中的解釋變量。并且可以將這些特性與滯后特性結(jié)合起來(lái)。

3、徑向基函數(shù)

徑向基函數(shù)(RBF)是傅里葉級(jí)數(shù)的替代方法。它他用過(guò)創(chuàng)建重復(fù)的鐘形曲線來(lái)模擬重復(fù)的圖案。

在scikit-lego包中有一個(gè)RepeatingBasisFunction方法:

from sklego.preprocessing import RepeatingBasisFunction
 
 rbf_encoder = RepeatingBasisFunction(n_periods=4,
                                      column='month_of_year',
                                      input_range=(1, 12),
                                      remainder='drop',
                                      width=0.25)
 
 rbf_features = rbf_encoder.fit_transform(datetime_feats)
 rbf_features_df = pd.DataFrame(rbf_features,
                                columns=[f'RBF{i}'
                                        for i in range(rbf_features.shape[1])])

該方法最重要的三個(gè)參數(shù)如下:

• n_periods:要包含的基函數(shù)的個(gè)數(shù)
• input_range:列的輸入范圍。例如，在上面的例子中，我們使用(1,12)，這是月份的范圍;
• width:徑向基函數(shù)的寬度，主要的作用是控制其平滑度

與傅里葉級(jí)數(shù)一樣，RBF變量可以用作模型中的解釋變量。

4、季節(jié)性自回歸

自回歸是大多數(shù)預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)。這個(gè)想法是使用最近的過(guò)去觀察(滯后)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的值。這個(gè)概念可以擴(kuò)展到季節(jié)性模型。季節(jié)性自回歸模型包括同一季節(jié)的過(guò)去值作為預(yù)測(cè)因子。

SARIMA是一種流行的方法，它應(yīng)用了這個(gè)想法:

import pmdarima as pm
 model = pm.auto_arima(yt, m=12, trace=True)
 
 model.summary()
 # Best model: ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12]

利用季節(jié)滯后作為解釋變量是模擬季節(jié)性的有效方法。但是在使用這種方法時(shí)，應(yīng)該處理季節(jié)性單位根。因?yàn)榉瞧椒€(wěn)的數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生很多問(wèn)題。

5、添加額外變量

季節(jié)性虛擬變量或傅立葉級(jí)數(shù)等方法都可以捕捉到周期性模式。但是這些方法都是替代性的方法。

我們也可以通過(guò)添加額外變量的方式對(duì)季節(jié)性進(jìn)行建模，例如溫度或每個(gè)月的工作日數(shù)等外生變量來(lái)模擬季節(jié)性。

6、季節(jié)性差分

通過(guò)在建模之前從數(shù)據(jù)中刪除季節(jié)性來(lái)處理季節(jié)性。這種方法叫做季節(jié)差分。

季節(jié)差異是取同一季節(jié)連續(xù)觀測(cè)值之間的差異的過(guò)程。這種操作對(duì)于去除季節(jié)性單位根部特別有用。

可以使用diff方法進(jìn)行季節(jié)差異:

from sklearn.model_selection import train_test_split
 from sktime.forecasting.compose import make_reduction
 from sklearn.linear_model import RidgeCV
 
 train, test = train_test_split(yt, test_size=12, shuffle=False)
 
 train_sdiff = train.diff(periods=12)[12:]
 
 forecaster = make_reduction(estimator=RidgeCV(),
                            strategy='recursive',
                            window_length=3)
 
 forecaster.fit(train_sdiff)
 diff_pred = forecaster.predict(fh=list(range(1, 13)))

我們?cè)诓罘中蛄猩辖⒘薘idge回歸模型。通過(guò)還原差值運(yùn)算，可以得到原始尺度上的預(yù)報(bào)。

7、時(shí)間序列分解

還可以使用時(shí)間序列分解方法(如STL)去除季節(jié)性。

差分和分解的區(qū)別是什么?

差分和分解都用于從時(shí)間序列中去除季節(jié)性。但是轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)的建模方式不同。

當(dāng)應(yīng)用差分時(shí)，模型使用差分?jǐn)?shù)據(jù)。所以需要還原差分操作以獲得原始尺度上的預(yù)測(cè)。

而使用基于分解的方法，需要兩組預(yù)測(cè)。一個(gè)是季節(jié)性部分，另一個(gè)是季節(jié)性調(diào)整后的數(shù)據(jù)。最后的預(yù)測(cè)是各部分預(yù)測(cè)的總和。

下面是一個(gè)基于分解的方法如何工作的例子:

from statsmodels.tsa.api import STL
 from sktime.forecasting.naive import NaiveForecaster
 
 # fitting the seasonal decomposition method
 series_decomp = STL(yt, period=period).fit()
 
 # adjusting the data
 seas_adj = yt - series_decomp.seasonal
 
 # forecasting the non-seasonal part
 forecaster = make_reduction(estimator=RidgeCV(),
                            strategy='recursive',
                            window_length=3)
 
 forecaster.fit(seas_adj)
 
 seas_adj_pred = forecaster.predict(fh=list(range(1, 13)))
 
 # forecasting the seasonal part
 seas_forecaster = NaiveForecaster(strategy='last', sp=12)
 seas_forecaster.fit(series_decomp.seasonal)
 seas_preds = seas_forecaster.predict(fh=list(range(1, 13)))
 
 # combining the forecasts
 preds = seas_adj_pred + seas_preds

在這個(gè)例子中，我們建立了一個(gè)Ridge 回歸模型來(lái)預(yù)測(cè)經(jīng)季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)。然后將兩個(gè)預(yù)測(cè)加在一起。

8、動(dòng)態(tài)線性模型(DLM)

回歸模型的參數(shù)通常是靜態(tài)的。它們不隨時(shí)間變化，或者是時(shí)不變的。DLM是線性回歸的一種特殊情況。其主要特點(diǎn)是參數(shù)隨時(shí)間而變化，而不是靜態(tài)的。

dlm假定季節(jié)性時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)隨季節(jié)而變化。因此合理的方法是建立具有時(shí)變參數(shù)的模型。隨季節(jié)變化的參數(shù)。

參考文獻(xiàn)[4]中的書(shū)的第15章提供了這種方法的一個(gè)簡(jiǎn)潔的R示例。他們使用時(shí)變的MARSS(多元自回歸狀態(tài)空間)方法來(lái)模擬季節(jié)性變化。

總結(jié)

時(shí)間序列建模并不是一項(xiàng)簡(jiǎn)單的任務(wù)，它需要考慮多個(gè)因素和技術(shù)。季節(jié)性的存在可以對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測(cè)產(chǎn)生重要影響。識(shí)別和理解季節(jié)性模式有助于揭示數(shù)據(jù)的周期性變化、制定季節(jié)性調(diào)整策略以及進(jìn)行更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。時(shí)間序列建模往往需要結(jié)合經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)域知識(shí)，同時(shí)靈活運(yùn)用不同的技術(shù)和方法，以獲得準(zhǔn)確、可靠的模型和預(yù)測(cè)結(jié)果。