一、基礎(chǔ)理論

1. 歐氏距離

想象你在北京，想要知道離上海有多遠(yuǎn)，則可以直接計(jì)算這個(gè)城市（兩點(diǎn)）間直線的距離，這就是歐氏距離。

在二維平面上，在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn)A(x1, y1)和B(x2, y2)，歐氏距離為：

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歐氏距離衡量的是兩點(diǎn)間的真實(shí)物理距離，關(guān)注的是位置的絕對(duì)差異。

2. 曼哈頓距離

想象你在曼哈頓，你想從一個(gè)街區(qū)走到另外一個(gè)街區(qū)。你不能走直線，只能沿著街道走，橫著走一條街，再豎著走一條街，所行走的路徑長(zhǎng)度就是曼哈頓距離。

在二維平面上，在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn)A(x1, y1)和B(x2, y2)，曼哈頓距離就是：

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曼哈頓距離考慮的是在各個(gè)維度上的絕對(duì)差值之和，適用于那些移動(dòng)只能沿坐標(biāo)軸進(jìn)行的情況。

3. 切比雪夫距離

想象你在一個(gè)方格化的城市里，每個(gè)路口都嚴(yán)格地按照東西南北四個(gè)方向排列，就像一個(gè)巨大的棋盤。

你現(xiàn)在在一個(gè)交叉口，想要去往另一個(gè)交叉口，你可以是直行、左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、走對(duì)角線（盡管現(xiàn)實(shí)中不能這么走），但每次只能走一個(gè)街區(qū)。

在所有可能的路線中，街區(qū)數(shù)最大的路線所對(duì)應(yīng)的距離就是切比雪夫距離。

假如在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn)A(x1, y1)和B(x2, y2)，切比雪夫距離的公式為：

4. 閔可夫斯基距離

假設(shè)我們要比較兩個(gè)點(diǎn)A和B，在n維空間中的坐標(biāo)分別為

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則閔可夫斯基距離的計(jì)算公式是：

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參數(shù)??取不同的值時(shí)，則就變成了不同的距離：

• 當(dāng)??=1時(shí)，為曼哈頓距離。
• 當(dāng)??=2時(shí)，為歐式距離。
• 當(dāng)??趨近于無(wú)窮大時(shí)，為切比雪夫距離。

5. 余弦相似度

余弦相似度是一種衡量?jī)蓚€(gè)向量方向相似性的方法。

想象在三維空間有兩個(gè)向量，一個(gè)指向東，另一個(gè)指向東北，這兩個(gè)向量指向角度的接近程度就是余弦相似度。

如果兩個(gè)向量指向完全相同的方向，相似度為1（即它們的夾角為0度）；如果指向完全相反，相似度為-1（180度）；如果它們垂直，則相似度為0。

余弦相似度的計(jì)算公式：

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兩個(gè)向量的點(diǎn)積除以它們各自的長(zhǎng)度（模）的乘積。

6. 值差異度量

在討論距離計(jì)算時(shí)，特征是要直接比較大小的。

對(duì)于連續(xù)數(shù)值可以直接進(jìn)行大小比較，如高度、溫度、成績(jī)等。

而對(duì)于離散特征，又有可以直接比較大小，如教育程度（小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)）、服裝尺碼（S、M、L、XL）等；還有不可以直接比較大小的，如顏色（紅、綠、藍(lán)）、國(guó)籍（中國(guó)、美國(guó)、日本）等。

對(duì)于不可以直接比較大小的離散特征（離散無(wú)序），可以使用值差異度量（Value Difference Metric，VDM）。

VDM的核心思想是離散無(wú)序的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為可以量化的差異度量，以進(jìn)行比較和分析。具體步驟為：

（1）權(quán)重分配

A. 頻率倒數(shù)法：

• 計(jì)算頻率：對(duì)于每個(gè)無(wú)序特征，統(tǒng)計(jì)每個(gè)特征值在整個(gè)數(shù)據(jù)集中出現(xiàn)的次數(shù)，并計(jì)算出頻率（出現(xiàn)次數(shù)/總樣本數(shù)）。
• 計(jì)算權(quán)重：使用頻率的倒數(shù)或其變形來(lái)作為權(quán)重。這是因?yàn)?，頻率較高的屬性值（即較為常見(jiàn)的值）往往提供較少的區(qū)分信息，因此給予較小的權(quán)重；反之，頻率較低的屬性值（罕見(jiàn)值）提供較多區(qū)分信息，應(yīng)給予較高權(quán)重。計(jì)算公式如 wi=1/fi+?，其中 fi 是特征值i的頻率，? 是一個(gè)很小的正數(shù)（如1e-6），用于防止頻率為0時(shí)，導(dǎo)致分母為0無(wú)法計(jì)算的問(wèn)題。

B. 信息熵或信息增益。

對(duì)于兩個(gè)具體的值 va 和 vb，它們之間的值差異 D(va,vb) 可以直接根據(jù)它們的權(quán)重 wa 和 wb 計(jì)算。如果 va=vb，則差異為0；如果 va不等于vb，差異通常定義為 ∣wa?wb∣。

如果一個(gè)樣本由多個(gè)無(wú)序特征組成，比如對(duì)象=(特征1,特征2,...,特征??) ，那么可以對(duì)每個(gè)特征應(yīng)用上述差異計(jì)算方法，然后將所有特征的差異值相加或取平均），以獲得兩個(gè)樣本之間的總距離或相似度得分。

假設(shè)有一家電商平臺(tái)想通過(guò)分析顧客的購(gòu)物記錄，來(lái)發(fā)現(xiàn)不同的消費(fèi)群體。顧客數(shù)據(jù)包含以下幾個(gè)無(wú)序特征：

（1）性別：男、女。

（2）地區(qū)：北京、上海、廣州、深圳、其他。

（3）商品類別偏好：電子產(chǎn)品、家居用品、服飾、圖書、食品。

VDM計(jì)算的過(guò)程為：

（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理與權(quán)重計(jì)算

A. 統(tǒng)計(jì)頻率

• 性別：男（52%），女（48%）
• 地區(qū)：北京（25%），上海（29%），廣州（18%），深圳（15%），其他（13%）
• 商品類別偏好：電子產(chǎn)品（30%），家居用品（22%），服飾（25%），圖書（10%），食品（13%）

B. 計(jì)算權(quán)重

• 假設(shè)采用頻率倒數(shù)法，加入一個(gè)微小常數(shù) ?=0.001 。

性別：男（1/0.52 + 0.001）= 1.93, 女（1/0.48 + 0.001）= 2.08。

地區(qū)：北京（1/0.25 + 0.001）= 4.04, 上海（1/0.29 + 0.001）= 3.45, 廣州（1/0.18 + 0.001）= 5.59, 深圳（1/0.15 + 0.001）= 6.69, 其他（1/0.13 + 0.001）= 7.69。

商品類別偏好：電子產(chǎn)品（1/0.30 + 0.001）= 3.34, 家居用品（1/0.22 + 0.001）= 4.57, 服飾（1/0.25 + 0.001）= 4.04, 圖書（1/0.10 + 0.001）= 10.01, 食品（1/0.13 + 0.001）= 7.69。

（2）應(yīng)用VDM：利用上面計(jì)算的權(quán)重計(jì)算兩個(gè)顧客間的距離，以進(jìn)行聚類。

• 假設(shè)有兩位顧客A和B，A的屬性為（男，上海，電子產(chǎn)品），B的屬性為（女，北京，圖書）。
• 使用VDM計(jì)算差異：性別差異 = |1.93 - 2.08| = 0.15；地區(qū)差異 = |4.04 - 3.45| = 0.59；商品類別偏好差異 = |3.34 - 10.01| = 6.67。
• 合并差異：總距離 = 0.15 + 0.59 + 6.67 = 7.41。

二、聚類算法

聚類算法是一種無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，其主要目的是將一組未標(biāo)記的數(shù)據(jù)集分割成多個(gè)子集，稱為簇（Clusters）。也就是聚類算法并不依賴于預(yù)先定義的類別標(biāo)簽，而是通過(guò)分析數(shù)據(jù)本身的特征和結(jié)構(gòu)，自動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的隱藏模式或群組。

聚類算法的基本思想是基于相似性度量（如歐氏距離、余弦相似性等）來(lái)量化數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相似度，并利用這些度量來(lái)優(yōu)化某個(gè)目標(biāo)函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的分組。

聚類算法可以根據(jù)不同的原則和策略進(jìn)行分類，主要有：

（1）劃分聚類（Partitioning Clustering）：將數(shù)據(jù)集劃分為預(yù)先指定數(shù)量的簇，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)只能屬于一個(gè)簇。最典型的例子是K-means算法。

（2）層次聚類（Hierarchical Clustering）:可以進(jìn)一步細(xì)分為凝聚型（Agglomerative）和分裂型（Divisive）。凝聚型算法從每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為一個(gè)獨(dú)立的簇開(kāi)始，然后逐步合并最相似的簇，直到滿足某個(gè)終止條件；而分裂型則相反，開(kāi)始時(shí)將所有數(shù)據(jù)視為一個(gè)簇，然后逐漸分裂。常見(jiàn)的算法有AGNES（Agglomerative Nesting）、DIANA（Divisive Analysis）、BIRCH等。

（3）基于密度的聚類（Density-Based Clustering）：基于數(shù)據(jù)點(diǎn)的鄰域密度來(lái)確定簇，能夠處理形狀不規(guī)則的簇和含有噪聲的數(shù)據(jù)。DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是最知名的算法之一，它通過(guò)設(shè)置鄰域半徑和最小點(diǎn)數(shù)來(lái)識(shí)別高密度區(qū)域。OPTICS、DENCLUE也是基于密度的算法。

（4）基于網(wǎng)格的聚類（Grid-Based Clustering）：將數(shù)據(jù)空間劃分為多個(gè)單元或網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格層次上進(jìn)行聚類。STING（Statistical Information Grid-based Clustering）、WaveCluster、CLIQUE（Clustering in Quest）是典型代表，它們適合處理大規(guī)?？臻g數(shù)據(jù)庫(kù)。

（5）基于模型的聚類（Model-Based Clustering）：假設(shè)數(shù)據(jù)由某些數(shù)學(xué)模型（如高斯分布）生成，并嘗試找到最佳的模型參數(shù)來(lái)描述數(shù)據(jù)。高斯混合模型（GMM, Gaussian Mixture Model）是最常見(jiàn)的例子，它通過(guò)最大似然估計(jì)來(lái)擬合數(shù)據(jù)到多個(gè)高斯分布上。

三、K-means算法

K-means算法是一種將數(shù)據(jù)集劃分為K個(gè)互不相交的子集（簇），使得同一簇內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)彼此相似，而不同簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)相異。

K-means（均值）算法的基本操作過(guò)程為：

1. 初始設(shè)置

（1）數(shù)據(jù)集：假設(shè)我們有一個(gè)二維數(shù)據(jù)集，包含以下五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)：{X(1, 2), Y(2, 1), Z(4, 8), W(5, 9), V(6, 7)}。

（2）初始化質(zhì)心：隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為初始聚類中心（質(zhì)心）：C1(2, 3), C2(6, 7)。

2. 執(zhí)行步驟

步驟1: 數(shù)據(jù)點(diǎn)分配

• 對(duì)于數(shù)據(jù)集中的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算到C1和C2的距離。

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• 將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分配給距離最近的質(zhì)心所在的簇。
  假設(shè)結(jié)果為：

C1簇: {X(1, 2), Y(2, 1)}

C2簇: {Z(4, 8), W(5, 9), V(6, 7)}

步驟2: 更新質(zhì)心

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步驟3: 迭代與收斂判斷

• 重復(fù)步驟1和步驟2，直到質(zhì)心的移動(dòng)距離小于某個(gè)預(yù)設(shè)的閾值或達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)。這一步確保算法收斂于一個(gè)穩(wěn)定的聚類結(jié)果。

需要注意的是：

（1）初始質(zhì)心選擇：K-means算法對(duì)初始質(zhì)心的選擇敏感，不同的初始質(zhì)心可能導(dǎo)致不同的聚類結(jié)果。

（2）簇形狀：K-means假設(shè)簇為凸形狀，可能不適合處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布，如密度不均或存在異常點(diǎn)的情況。

（3）K值選擇：選擇合適的K值是關(guān)鍵，常用方法有肘部法則（Elbow Method）和輪廓系數(shù)法等。