隨著各類(lèi)語(yǔ)言庫(kù)和框架的不斷增加，機(jī)器學(xué)習(xí)變得越來(lái)越受歡迎。人們?cè)诟鱾€(gè)領(lǐng)域更容易找到人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)的應(yīng)用。然而，依賴庫(kù)和框架來(lái)使用人工智能可能不會(huì)使人們成為該領(lǐng)域的專(zhuān)家。雖然編碼框架的支持增加了可用性，但要在人工智能行業(yè)取得成功，我們必須深入理解代碼背后的邏輯。

如果我們放棄了人工智能框架的支持，那么理解數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)并編寫(xiě)逐行邏輯將變得至關(guān)重要，以揭示機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中復(fù)雜的隱藏模式。具體而言，我們需要學(xué)習(xí)概率、統(tǒng)計(jì)、線性代數(shù)、微積分和圖形。本文將深入探討數(shù)學(xué)知識(shí)的需求，并準(zhǔn)確地了解數(shù)學(xué)在機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

掌握數(shù)學(xué)知識(shí)可以助您充分發(fā)揮機(jī)器學(xué)習(xí)的潛力，并在各領(lǐng)域構(gòu)建出色應(yīng)用。數(shù)學(xué)在機(jī)器學(xué)習(xí)中扮演著至關(guān)重要的角色，例如：

• 基于算法背后的數(shù)學(xué)原理，可以為給定數(shù)據(jù)集選擇最優(yōu)算法。
• 通過(guò)了解正則化的數(shù)學(xué)機(jī)制，可以有效防止過(guò)擬合或高方差問(wèn)題。
• 借助圖論知識(shí)，能夠深入分析數(shù)據(jù)特征間的復(fù)雜關(guān)聯(lián)。
• 運(yùn)用優(yōu)化理論，可以設(shè)計(jì)合適的成本函數(shù)，提高模型性能。

數(shù)學(xué)為我們成為機(jī)器學(xué)習(xí)專(zhuān)家提供了強(qiáng)有力的理論支撐。那么，究竟需要掌握多少數(shù)學(xué)知識(shí)呢？讓我們一探究竟，并結(jié)合實(shí)例來(lái)學(xué)習(xí)如何應(yīng)用這些數(shù)學(xué)概念。

機(jī)器學(xué)習(xí)需要什么水平的數(shù)學(xué)

這個(gè)問(wèn)題的答案因人而異。如果是從事機(jī)器學(xué)習(xí)研究的人，通常需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因?yàn)樯钊胙芯啃枰詈竦臄?shù)學(xué)知識(shí)。然而，對(duì)于只是希望開(kāi)發(fā)人工智能應(yīng)用程序的人來(lái)說(shuō)，可能并不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)。

在本文中，我們將詳細(xì)討論對(duì)于想要開(kāi)始機(jī)器學(xué)習(xí)之旅或希望提高在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域?qū)嵙Φ娜怂璧淖畹蛿?shù)學(xué)深度水平。

機(jī)器學(xué)習(xí)需要哪些數(shù)學(xué)

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，這五個(gè)數(shù)學(xué)主題非常常用：

1. 線性代數(shù)
2. 可能性
3. 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
4. 微積分
5. 圖表

我們將了解我們需要了解的有關(guān)這些主題的內(nèi)容以及它們將在機(jī)器學(xué)習(xí)中使用的地方。

線性代數(shù)

線性代數(shù)是機(jī)器學(xué)習(xí)中最常用的數(shù)學(xué)工具，無(wú)論傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)還是最新深度學(xué)習(xí)模型，都離不開(kāi)線性代數(shù)的理論支撐。線性代數(shù)知識(shí)在各種機(jī)器學(xué)習(xí)算法中有著廣泛應(yīng)用，例如線性回歸、支持向量機(jī)、K近鄰、隨機(jī)森林等。

• 向量表示：在機(jī)器學(xué)習(xí)中，每個(gè)數(shù)據(jù)樣本可以用特征向量來(lái)表示。如果一個(gè)樣本有n個(gè)特征，那么它對(duì)應(yīng)的就是n維向量。鑒于數(shù)據(jù)處理無(wú)處不在，我們需要時(shí)常處理這些n維向量，因此掌握向量的性質(zhì)(如點(diǎn)積、向量加減等)至關(guān)重要。
• 距離計(jì)算：機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)中常需計(jì)算不同特征向量之間的距離，以衡量它們的相似性。因此，能夠計(jì)算兩個(gè)n維向量間距離的知識(shí)尤為關(guān)鍵。這直接應(yīng)用于K-means聚類(lèi)和K近鄰算法等。

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• 投影到超平面：在支持向量機(jī)(SVM)中，我們需要找到樣本向量到分離超平面的距離。這就需要將樣本向量投影到超平面上，因此掌握向量投影和超平面的概念至關(guān)重要。
• 矩陣運(yùn)算：當(dāng)特征維數(shù)很高且需要學(xué)習(xí)大量參數(shù)時(shí)，矩陣運(yùn)算就顯得尤為重要。以深度學(xué)習(xí)為例，模型可能有數(shù)十億個(gè)參數(shù)，通過(guò)矩陣的形式存儲(chǔ)為權(quán)重和偏置，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。如果沒(méi)有矩陣概念，訓(xùn)練模型和存儲(chǔ)學(xué)習(xí)內(nèi)容將是一件極其艱巨的任務(wù)。

表示權(quán)重向量矩陣

• 矩陣運(yùn)算：矩陣的基本運(yùn)算如乘法、加法、減法和轉(zhuǎn)置在機(jī)器學(xué)習(xí)中無(wú)處不在。我們通常將輸入數(shù)據(jù)表示為矩陣形式，經(jīng)過(guò)與權(quán)重矩陣相乘、加上偏置矩陣等運(yùn)算，得到最終的預(yù)測(cè)輸出。因此，這些數(shù)學(xué)計(jì)算的知識(shí)對(duì)于觀察輸入特征到最終預(yù)測(cè)輸出的轉(zhuǎn)換至關(guān)重要。

Y_pred = (權(quán)重).T * X_輸入 + 偏差

• 正交性：將整個(gè)數(shù)據(jù)集看作一個(gè)矩陣，行對(duì)應(yīng)樣本，列對(duì)應(yīng)特征。檢查一個(gè)特征是否與其他特征線性無(wú)關(guān)的方法是檢測(cè)該矩陣的正交性。如果所有列向量?jī)蓛烧唬敲催@個(gè)矩陣就是正交的。這一概念在主成分分析(PCA)和支持向量機(jī)(SVM)等算法中有重要應(yīng)用。
• 特征值與特征向量：對(duì)于高維數(shù)據(jù)集，我們需要降維技術(shù)將其可視化，如PCA算法。它利用了矩陣特征值和特征向量的概念，找到最重要的那些特征，舍棄那些冗余無(wú)用的特征。要徹底理解這些方法，我們必須掌握矩陣特征值分解的知識(shí)。
• 奇異值分解(SVD)：隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，矩陣也變得越來(lái)越大。SVD為我們提供了一種直接從矩陣中提取核心信息的方法，將其分解為三個(gè)矩陣的乘積形式。SVD在諸如圖像壓縮、t-SNE等需處理高維數(shù)據(jù)的任務(wù)中有著廣泛應(yīng)用。掌握這些矩陣分解方法對(duì)于理解輸入到輸出的轉(zhuǎn)換過(guò)程至關(guān)重要。

概率和概率分布函數(shù)

概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性的數(shù)學(xué)工具，在計(jì)算機(jī)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)等諸多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。理解概率對(duì)于掌握機(jī)器學(xué)習(xí)算法的工作原理至關(guān)重要。以下是一些需要掌握的關(guān)鍵概念：

1. 基本概率： 基本概率描述了某個(gè)事件發(fā)生的可能性大小。在分類(lèi)問(wèn)題中，模型的輸出通常為每個(gè)類(lèi)別的概率值，表示該類(lèi)別出現(xiàn)的可能程度。常見(jiàn)的基本概率計(jì)算方法包括加法法則、乘法法則等。
2. 條件概率和貝葉斯定理： 條件概率是指一個(gè)事件在另一個(gè)事件已發(fā)生的前提下發(fā)生的概率。貝葉斯定理描述了如何根據(jù)證據(jù)更新事先概率的計(jì)算過(guò)程。貝葉斯方法在機(jī)器學(xué)習(xí)中被廣泛使用，如樸素貝葉斯分類(lèi)器。

貝葉斯定理術(shù)語(yǔ)

• 隨機(jī)變量： 隨機(jī)變量是用于描述隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，經(jīng)常需要對(duì)模型參數(shù)賦予隨機(jī)初值。
• 概率分布： 概率分布刻畫(huà)了隨機(jī)變量可能取值及其概率。對(duì)于分類(lèi)問(wèn)題，我們通常使用概率分布函數(shù)(PDF)來(lái)評(píng)估預(yù)測(cè)與真實(shí)標(biāo)簽的契合程度。

機(jī)器學(xué)習(xí)中的分類(lèi)問(wèn)題

• 連續(xù)分布和離散分布： 有些情況下，事件的可能結(jié)果是連續(xù)的，需要使用連續(xù)概率分布;有些則是離散的，需要使用離散概率分布。

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• 常見(jiàn)概率分布： 高斯分布(正態(tài)分布)、均勻分布、伯努利分布等是一些常見(jiàn)的概率分布類(lèi)型。不同的機(jī)器學(xué)習(xí)算法對(duì)數(shù)據(jù)分布往往有所偏好，如線性回歸適用于高斯分布的數(shù)據(jù)。
• 最大似然估計(jì)(MLE)： 許多機(jī)器學(xué)習(xí)模型(如邏輯回歸)中的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是基于最大似然估計(jì)的思想推導(dǎo)出來(lái)的。

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統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)際上是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，旨在從數(shù)據(jù)中估計(jì)出某些摘要信息。這種摘要可以是簡(jiǎn)單的平均值計(jì)算，也可以是更復(fù)雜的隱含模式發(fā)現(xiàn)。舉例來(lái)說(shuō)，假設(shè)我們有10個(gè)同事的薪資數(shù)據(jù)，然后要你預(yù)測(cè)第11個(gè)人的薪資水平，你很可能會(huì)選擇計(jì)算這10個(gè)人的平均工資作為預(yù)測(cè)值。這種平均數(shù)雖然可能與真實(shí)值存在偏差，但機(jī)器學(xué)習(xí)的目標(biāo)正是盡可能縮小這種預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的差距。因此，機(jī)器學(xué)習(xí)可以被視為統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支應(yīng)用。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用的數(shù)據(jù)匯總技術(shù)主要包括：

• 均值： 即一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，均值可應(yīng)用于特征歸一化、計(jì)算R2值等場(chǎng)景?？蓞⒖枷嚓P(guān)博文了解均值在回歸模型歸一化和評(píng)估指標(biāo)中的使用。
• 中位數(shù)： 指將數(shù)據(jù)升序或降序排列后的中間值。當(dāng)需要將數(shù)據(jù)劃分為等間隔或四分位數(shù)范圍時(shí)，中位數(shù)很有用。例如數(shù)據(jù)可視化中的箱線圖就利用了中位數(shù)。
• 眾數(shù)： 即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。它反映了數(shù)據(jù)集中占主導(dǎo)地位的樣本信息，對(duì)于分類(lèi)問(wèn)題，如果發(fā)現(xiàn)某類(lèi)別數(shù)據(jù)占多數(shù)，模型可能會(huì)偏向預(yù)測(cè)該類(lèi)別。

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微積分

微積分是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中最基礎(chǔ)也是最重要的數(shù)學(xué)分支之一。它在訓(xùn)練和優(yōu)化機(jī)器學(xué)習(xí)模型的過(guò)程中扮演著關(guān)鍵角色，幾乎所有優(yōu)化算法都離不開(kāi)微積分理論。例如在廣泛使用的梯度下降算法中，我們就需要依賴于目標(biāo)函數(shù)(成本函數(shù))的導(dǎo)數(shù)來(lái)確定模型參數(shù)調(diào)整的方向(增大或減小)。接下來(lái)我們列舉一些機(jī)器學(xué)習(xí)中需要用到的微積分相關(guān)概念：

• 函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)：函數(shù)是機(jī)器學(xué)習(xí)的核心概念，無(wú)論是監(jiān)督學(xué)習(xí)還是無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)，都需要在輸入數(shù)據(jù)和目標(biāo)值之間建立映射函數(shù)關(guān)系。比如在線性回歸和多項(xiàng)式回歸中，我們?cè)噲D擬合能最佳描述數(shù)據(jù)的線性函數(shù)或多項(xiàng)式函數(shù)。

1 階： θ1*X  +  θ0 

2 階： θ2*X^2  +  θ1*X  +  θ0

• 傅立葉級(jí)數(shù)： 傅立葉級(jí)數(shù)是周期函數(shù)在正弦和余弦函數(shù)方面的展開(kāi)。我們可以在數(shù)據(jù)分析和繪制安德魯斯曲線中找到它的直接用途。
• 連續(xù)函數(shù)與離散函數(shù)：在機(jī)器學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。然而只有連續(xù)函數(shù)才是可微的，離散函數(shù)是不可微的。因此了解函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)對(duì)于選擇合適的激活函數(shù)等至關(guān)重要。
• 微分基礎(chǔ)：函數(shù)的可微性對(duì)于機(jī)器學(xué)習(xí)至關(guān)重要，因?yàn)槲覀冃枰鶕?jù)成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)確定調(diào)整模型參數(shù)的方向。雖然現(xiàn)有工具可以自動(dòng)計(jì)算導(dǎo)數(shù)，但深入理解微分原理能幫助設(shè)計(jì)或調(diào)試復(fù)雜算法。
• 復(fù)合函數(shù)與鏈?zhǔn)椒▌t：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向傳播時(shí)，需要應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t更新網(wǎng)絡(luò)中的所有參數(shù)，原因是輸出層的成本函數(shù)實(shí)際上是網(wǎng)絡(luò)層之間的復(fù)合函數(shù)，唯一求導(dǎo)方式就是使用鏈?zhǔn)椒▌t。
• 偏導(dǎo)數(shù)：機(jī)器學(xué)習(xí)模型往往需要學(xué)習(xí)多個(gè)參數(shù)，為評(píng)估單個(gè)參數(shù)對(duì)整體成本函數(shù)的影響，我們需要計(jì)算成本函數(shù)對(duì)該參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，即在其他參數(shù)保持不變的條件下關(guān)于該參數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
• 傅里葉級(jí)數(shù)：傅里葉級(jí)數(shù)是將周期函數(shù)展開(kāi)成三角函數(shù)(正弦和余弦)無(wú)限級(jí)數(shù)的方法。它在數(shù)據(jù)分析和繪制安德魯斯曲線等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。

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• 矩陣微分：深度學(xué)習(xí)模型中往往包含數(shù)十億個(gè)參數(shù)，單獨(dú)計(jì)算每個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)將是一個(gè)巨大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。因此我們采用矩陣微分的方法，以層為單位對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行批量求導(dǎo)，大大提高了計(jì)算效率。

圖形

圖形是機(jī)器學(xué)習(xí)中不可或缺的重要工具。在訓(xùn)練模型的過(guò)程中，我們經(jīng)常需要繪制曲線圖來(lái)觀察損失函數(shù)(成本函數(shù))隨著訓(xùn)練迭代的進(jìn)行是否穩(wěn)步下降。此外，各種圖形表示也被用于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化分析，從而幫助提取有價(jià)值的信息?？偟膩?lái)說(shuō)，圖形貫穿了機(jī)器學(xué)習(xí)工作流程的方方面面。接下來(lái)我們列舉一些機(jī)器學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的與圖形相關(guān)的主題：

• 線性函數(shù)和方程： 當(dāng)我們學(xué)習(xí) ML 時(shí)，有關(guān)線性方程和函數(shù)的知識(shí)至關(guān)重要，因?yàn)榇蠖鄶?shù)算法都會(huì)討論斜率/梯度以及 θ1*X + θ0 等方程，其中我們需要知道 θ1 和 θ0 的值。
• 線性函數(shù)與方程：線性模型是機(jī)器學(xué)習(xí)中最基礎(chǔ)也是最常用的模型形式之一。了解線性函數(shù)和方程(如θ1*X + θ0)對(duì)于理解諸如線性回歸等算法的原理至關(guān)重要，因?yàn)槲覀冃枰蠼猞?和θ0等參數(shù)的值。

• 非線性函數(shù)與離散函數(shù)圖像：在很多情況下，線性模型無(wú)法很好地?cái)M合數(shù)據(jù)分布，這時(shí)我們就需要使用非線性函數(shù)(如多項(xiàng)式函數(shù))或分段函數(shù)。繪制這些復(fù)雜函數(shù)的圖像有助于評(píng)估模型擬合的精度，即預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的擬合程度。
• 拋物線方程：均方誤差(MSE)等常用的成本函數(shù)具有拋物線型的曲線形狀，這一特性使得求解函數(shù)的最小值(全局最優(yōu)解)變得更加簡(jiǎn)單。拋物線函數(shù)的另一個(gè)有利特征是它只存在一個(gè)最小值點(diǎn)，從而避免了導(dǎo)致優(yōu)化陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)。

MSE = Σ (Y' - Y)^2, # Y' = Y 的預(yù)測(cè)值，Y 是 Y 的實(shí)際值

• 高階多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)：在對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)分布進(jìn)行建模時(shí)，我們常需要使用高階多項(xiàng)式或指數(shù)函數(shù)。比如邏輯回歸算法中就用到了Sigmoid指數(shù)函數(shù)。要透徹理解這些模型，對(duì)相關(guān)函數(shù)圖像的把握是必需的。
• 激活函數(shù)圖像：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等深度學(xué)習(xí)模型中，激活函數(shù)如Tanh、Sigmoid、ReLU等扮演著至關(guān)重要的角色。不同的激活函數(shù)具有不同的曲線形狀，對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)學(xué)特性，如有界性、中心對(duì)稱性等。透過(guò)圖像可以直觀地判斷一個(gè)激活函數(shù)是否滿足特定應(yīng)用場(chǎng)景的需求。

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寫(xiě)在最后

本文總結(jié)了幾個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)初學(xué)者必須掌握的數(shù)學(xué)主題，包括微積分、函數(shù)、方程、圖形分析等。微積分在機(jī)器學(xué)習(xí)算法的優(yōu)化過(guò)程中扮演核心角色;函數(shù)和方程是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的基礎(chǔ);圖形知識(shí)則是進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化分析和模型診斷的利器。

掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)有助于初學(xué)者進(jìn)階成為高級(jí)機(jī)器學(xué)習(xí)工程師。高級(jí)工程師不僅能熟練運(yùn)用現(xiàn)有算法，更能深入洞見(jiàn)算法內(nèi)在機(jī)制，并根據(jù)實(shí)際需求對(duì)算法加以改造和創(chuàng)新。這種能力使他們?cè)跈C(jī)器學(xué)習(xí)的理論研究和工程實(shí)踐領(lǐng)域都能取得卓越成就。

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是通向機(jī)器學(xué)習(xí)之路的必由之路。初學(xué)者應(yīng)該從一開(kāi)始就重視對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，并努力將這些知識(shí)內(nèi)化為自己的工具和能力，才能在機(jī)器學(xué)習(xí)的廣闊天地中成為出類(lèi)拔萃的人才。希望這篇文章能給讀者一些有益的啟發(fā)。