圖1：理解物理現(xiàn)象的途徑有很多，其中原因α產(chǎn)生結(jié)果β。(a) 不受控制的觀(guān)察會(huì)導(dǎo)致原因和結(jié)果之間的松散聯(lián)系。(b) 結(jié)合已知物理定律的精心設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)可以得到簡(jiǎn)單的因果關(guān)系，但為復(fù)雜現(xiàn)象設(shè)計(jì)這樣的實(shí)驗(yàn)可能極具挑戰(zhàn)性。(c) 通用的機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）模型（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）通過(guò)優(yōu)化許多參數(shù)來(lái)擬合復(fù)雜數(shù)據(jù)，但解析這些黑箱（例如，數(shù)百萬(wàn)個(gè)）參數(shù)的意義是非常困難的。(d) 包含一些限制或簡(jiǎn)化操作（白色）的機(jī)器學(xué)習(xí)模型使得識(shí)別復(fù)雜現(xiàn)象的因果鏈的某些方面成為可能，從而指導(dǎo)模型構(gòu)建或進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)。  

物理理論和機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）模型都依賴(lài)于其在未見(jiàn)情境下預(yù)測(cè)結(jié)果的能力。然而，對(duì)于前者的要求要高得多。要成為被接受的知識(shí)，理論必須符合已知的物理定律——而且，至關(guān)重要的是，必須是可解釋的。

一個(gè)可解釋的理論能夠解釋現(xiàn)象為何發(fā)生，而不僅僅是預(yù)測(cè)其形式。擁有這樣的解釋可以指導(dǎo)新理論的范圍，使其能夠在新的背景下應(yīng)用，同時(shí)也將其與先前的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)并納入其中。

迄今為止，研究人員在使ML模型（或任何自動(dòng)化優(yōu)化過(guò)程）產(chǎn)生符合這些標(biāo)準(zhǔn)的新理論方面仍然存在很大困難。

芝加哥大學(xué)的喬納森·科倫和文琴佐·維泰利及其同事現(xiàn)在展示了成功地利用ML的方式——不是作為研究人員的替代者，而是作為指導(dǎo)者，幫助構(gòu)建復(fù)雜系統(tǒng)的模型[1]。在他們方法的演示中，研究人員發(fā)現(xiàn)了一個(gè)先前被忽視的項(xiàng)，推進(jìn)了對(duì)流體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的更全面理解。

為了建立新模型，物理學(xué)家通常在受控實(shí)驗(yàn)中觀(guān)察現(xiàn)象（圖1a），并嘗試用方程將系統(tǒng)的參數(shù)相互關(guān)聯(lián)（圖1b）。然后，通過(guò)直覺(jué)和試錯(cuò)的組合，物理學(xué)家們修改實(shí)驗(yàn)、理論或兩者同時(shí)修改，直到找到一組描述數(shù)據(jù)的方程。

先前的知識(shí)——例如，系統(tǒng)應(yīng)該沒(méi)有歷史依賴(lài)，溫度是均勻的，或忽略重力——大大縮小了可能的解決方案和所需實(shí)驗(yàn)探索的范圍。這種范圍的大幅度縮小通常是必要的，因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)人類(lèi)很難處理超過(guò)屈指可數(shù)幾個(gè)維度的問(wèn)題。

相比之下，ML模型在給定（非常）高維空間進(jìn)行探索時(shí)能找到更準(zhǔn)確且更具普遍性的解決方案[2]。這些模型優(yōu)化大量可調(diào)參數(shù)，直到其預(yù)測(cè)與數(shù)據(jù)匹配。不幸的是，通用ML模型找到的解決方案通常過(guò)于復(fù)雜且方法依賴(lài)性強(qiáng)，難以提取“為什么”[3]。

因此，應(yīng)用這些方法的研究人員往往局限于不能令人滿(mǎn)意的說(shuō)法，即他們的數(shù)據(jù)包含預(yù)測(cè)信息[4]。然而，這些信息是什么以及為什么具有預(yù)測(cè)性，仍然隱藏在眾多雜亂變量的黑箱中（圖1c）。

識(shí)別數(shù)據(jù)中預(yù)測(cè)信息所在的技術(shù)正在出現(xiàn)[5]，但在科學(xué)過(guò)程中很少使用。復(fù)雜ML模型的替代方案是使用算法直接搜索可能方程的庫(kù)來(lái)描述系統(tǒng)[6]。

然而，這種策略隨著系統(tǒng)復(fù)雜性的增加而效果不佳，使其在現(xiàn)在科研關(guān)注的現(xiàn)象中難以應(yīng)用。將ML融入一般發(fā)現(xiàn)過(guò)程中需要平衡：方法應(yīng)具有足夠的自由度以發(fā)揮其潛力，同時(shí)結(jié)果所在的領(lǐng)域也應(yīng)受到限制，以便結(jié)果可解釋。

科倫、維泰利及其同事正是通過(guò)一系列ML算法實(shí)現(xiàn)了這一點(diǎn)[1]。他們的工作集中在流體力學(xué)中的一個(gè)范例問(wèn)題上：微流體通道中水滴的單排隊(duì)列，懸浮在另一種流體中，這使它們相互作用并形成傳播的沖擊前沿。該系統(tǒng)以前通過(guò)一個(gè)描述流體密度變化的偏微分方程建模。

但這個(gè)方程（稱(chēng)為伯格斯方程），未能捕捉系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵方面。為了揭示缺失的物理學(xué)，研究人員首先訓(xùn)練一個(gè)ML模型來(lái)預(yù)測(cè)一維水滴密度場(chǎng)ρ的時(shí)間演變——換句話(huà)說(shuō)，他們讓算法找到一個(gè)函數(shù)M，使初始密度ρ0隨時(shí)間演進(jìn)：M[t,ρ0]=ρ(t)。

為了使他們的模型具有可解釋性，研究人員將其構(gòu)建為三個(gè)連續(xù)操作的組合。

首先，一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) N 將密度轉(zhuǎn)換為一個(gè)新的1D場(chǎng)，他們稱(chēng)之為 φ0=N[ρ0]。雖然這個(gè)“潛在”場(chǎng)沒(méi)有容易解釋的物理意義，它僅包含有關(guān)初始密度場(chǎng)的信息。

其次，將這個(gè)場(chǎng)輸入到一個(gè)稱(chēng)為 F 的函數(shù)中，該函數(shù)使其隨時(shí)間推進(jìn)——換句話(huà)說(shuō)，F(xiàn)(φ0,t)=φ(t)。研究人員將 F 的形式限制為一組線(xiàn)性操作。

最后，這個(gè)場(chǎng)通過(guò)另一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換回密度，基本上是第一個(gè)步驟的逆過(guò)程。（從數(shù)學(xué)上講，整個(gè)過(guò)程可以描述為 M[t,ρ0]=N?1[F(t,N[ρ0])]=ρ(t) ，如圖1d上方所示）。通過(guò)同時(shí)優(yōu)化這三個(gè)步驟以匹配實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究人員發(fā)現(xiàn)比伯格斯方程更好的預(yù)測(cè)結(jié)果。 

隨后，研究人員利用一種算法來(lái)尋找數(shù)值函數(shù)的簡(jiǎn)化分析逼近[6]。對(duì)于一個(gè)在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)上訓(xùn)練的典型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這一步驟通常會(huì)失?。▓D1c）。

但值得注意的是，它產(chǎn)生了一個(gè)包含五個(gè)項(xiàng)的線(xiàn)性偏微分方程，作為 F 的良好替代。盡管這個(gè)方程作用于（不可解釋的）潛在變量 φ0，但 F 作為時(shí)間傳播者的角色使得每一項(xiàng)的意義在高層次上是可以理解的。

具體來(lái)說(shuō)，研究人員將其中一個(gè)微分項(xiàng)與色散相關(guān)聯(lián)——即流體波速的頻率依賴(lài)性。這樣的色散項(xiàng)在伯格斯方程中并不存在，但團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)其加入能更準(zhǔn)確地描述水滴密度場(chǎng)中出現(xiàn)的沖擊前沿動(dòng)力學(xué)。

最后，團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了一個(gè)相互作用水滴的模型，發(fā)現(xiàn)這個(gè)新增的色散項(xiàng)是非對(duì)稱(chēng)流體動(dòng)力學(xué)相互作用的直接結(jié)果。

這項(xiàng)工作提供了一個(gè)令人興奮的機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）應(yīng)用，它在科學(xué)探索中充當(dāng)了羅盤(pán)，這需要一種根本不同于標(biāo)準(zhǔn)ML實(shí)踐的方法，后者主要通過(guò)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性來(lái)評(píng)判模型。然而，對(duì)于科學(xué)探索來(lái)說(shuō)，“最佳”模型是那些能夠提供物理洞察（即“為什么”）的模型，即使它們可能不是最準(zhǔn)確的。

事實(shí)上，團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)添加關(guān)鍵的色散項(xiàng)實(shí)際使預(yù)測(cè)誤差略微增加，相比之下，其他ML模型在相同問(wèn)題上的應(yīng)用誤差較低；然而，這一色散項(xiàng)清楚地捕捉了沖擊前沿附近缺失的物理現(xiàn)象。正是通過(guò)連續(xù)模型的閉環(huán)并識(shí)別這一色散項(xiàng)的來(lái)源，科倫、維泰利及其同事才能鞏固他們的結(jié)論。

這一工作流程與賓夕法尼亞大學(xué)近期使用ML作為實(shí)驗(yàn)指南的工作相呼應(yīng)[7]，在這些工作中，訓(xùn)練預(yù)測(cè)顆粒材料堵塞的最簡(jiǎn)單和“最弱”（最不具預(yù)測(cè)性）的模型提供了最深刻的見(jiàn)解，并提升實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了他們的解釋。   

計(jì)算能力的提升極大地加快了科學(xué)數(shù)據(jù)分析，但我們對(duì)這些數(shù)據(jù)的探索通常仍完全由人類(lèi)驅(qū)動(dòng)。隨著物理學(xué)家研究日益復(fù)雜的涌現(xiàn)現(xiàn)象，潛在物理模型的維度、以及所需實(shí)驗(yàn)探索的復(fù)雜性迅速增長(zhǎng)。

雖然標(biāo)準(zhǔn)分析工具允許我們識(shí)別可靠的趨勢(shì)，但在（必然）雜亂的數(shù)據(jù)中追蹤高度非線(xiàn)性、歷史依賴(lài)和多尺度效應(yīng)可能不切實(shí)際，除非有一個(gè)能夠同時(shí)處理100維數(shù)據(jù)的指南。研究這些現(xiàn)象，可能需要對(duì)學(xué)科內(nèi)容和ML工具的熟練掌握，這既可以作為實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)，也可以作為理論指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

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2. J. W. Rocks and P. Mehta, “Memorizing without overfitting: Bias, variance, and interpolation in overparameterized models,”Phys. Rev. Res. 4, 013201 (2022).
3. C. Rudin et al., “Interpretable machine learning: Fundamental principles and 10 grand challenges,”Statist. Surv. 16, 1 (2022).
4. S. Dillavou et al., “Beyond quality and quantity: Spatial distribution of contact encodes frictional strength,”Phys. Rev. E 106, 033001 (2022).
5. K. A. Murphy and D. S. Bassett, “Information decomposition in complex systems via machine learning,”Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 121, 13 (2024).
6. S. L. Brunton et al., “Discovering governing equations from data by sparse identification of nonlinear dynamical systems,”Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 113, 3932 (2016).
7. J. M. Hanlan et al., “Cornerstones are the key stones: Using interpretable machine learning to probe the clogging process in 2D granular hoppers,”arXiv:2407.05491.

本文轉(zhuǎn)載自??清熙??，作者： 薩姆 ????