線性回歸定義：

    在上一個主題中，也是一個與回歸相關(guān)的，不過上一節(jié)更側(cè)重于梯度這個概念，這一節(jié)更側(cè)重于回歸本身與偏差和方差的概念。

    回歸最簡單的定義是，給出一個點集D，用一個函數(shù)去擬合這個點集，并且使得點集與擬合函數(shù)間的誤差最小。

       上圖所示，給出一個點集(x,y), 需要用一個函數(shù)去擬合這個點集，藍(lán)色的點是點集中的點，而紅色的曲線是函數(shù)的曲線，***張圖是一個最簡單的模型，對應(yīng)的函數(shù)為y = f(x) = ax + b，這個就是一個線性函數(shù)，

    第二張圖是二次曲線，對應(yīng)的函數(shù)是y = f(x) = ax^2 + b。

    第三張圖我也不知道是什么函數(shù)，瞎畫的。

    第四張圖可以認(rèn)為是一個N次曲線，N = M - 1，M是點集中點的個數(shù)，有一個定理是，對于給定的M個點，我們可以用一個M - 1次的函數(shù)去***的經(jīng)過這個點集。

    真正的線性回歸，不僅會考慮使得曲線與給定點集的擬合程度***，還會考慮模型最簡單，這個話題我們將在本章后面的偏差、方差的權(quán)衡中深入的說，另外這個話題還可以參考我之前的一篇文章：貝葉斯、概率分布與機(jī)器學(xué)習(xí)，里面對模型復(fù)雜度的問題也進(jìn)行了一些討論。

    線性回歸(linear regression)，并非是指的線性函數(shù)，也就是

 （為了方便起見，以后向量我就不在上面加箭頭了）

    x0,x1…表示一個點不同的維度，比如說上一節(jié)中提到的，房子的價錢是由包括面積、房間的個數(shù)、房屋的朝向等等因素去決定的。而是用廣義的線性函數(shù)：

     wj是系數(shù)，w就是這個系數(shù)組成的向量，它影響著不同維度的Φj(x)在回歸函數(shù)中的影響度，比如說對于房屋的售價來說，房間朝向的w一定比房間面積的w更小。Φ(x)是可以換成不同的函數(shù)，不一定要求Φ(x)=x，這樣的模型我們認(rèn)為是廣義線性模型。

最小二乘法與***似然：

    這個話題在此處有一個很詳細(xì)的討論，我這里主要談?wù)勥@個問題的理解。最小二乘法是線性回歸中一個最簡單的方法，它的推導(dǎo)有一個假設(shè)，就是回歸函數(shù)的估計值與真實值間的誤差假設(shè)是一個高斯分布。這個用公式來表示是下面的樣子： ，y(x,w)就是給定了w系數(shù)向量下的回歸函數(shù)的估計值，而t就是真實值了，ε表示誤差。我們可以接下來推出下面的式子：

     這是一個簡單的條件概率表達(dá)式，表示在給定了x，w，β的情況下，得到真實值t的概率，由于ε服從高斯分布，則從估計值到真實值間的概率也是高斯分布的，看起來像下面的樣子：

         貝葉斯、概率分布與機(jī)器學(xué)習(xí)這篇文章中對分布影響結(jié)果這個話題討論比較多，可以回過頭去看看，由于最小二乘法有這樣一個假設(shè)，則會導(dǎo)致，如果我們給出的估計函數(shù)y(x,w)與真實值t不是高斯分布的，甚至是一個差距很大的分布，那么算出來的模型一定是不正確的，當(dāng)給定一個新的點x’想要求出一個估計值y’，與真實值t’可能就非常的遠(yuǎn)了。

     概率分布是一個可愛又可恨的東西，當(dāng)我們能夠準(zhǔn)確的預(yù)知某些數(shù)據(jù)的分布時，那我們可以做出一個非常精確的模型去預(yù)測它，但是在大多數(shù)真實的應(yīng)用場景中，數(shù)據(jù)的分布是不可知的，我們也很難去用一個分布、甚至多個分布的混合去表示數(shù)據(jù)的真實分布，比如說給定了1億篇網(wǎng)頁，希望用一個現(xiàn)有的分布（比如說混合高斯分布）去匹配里面詞頻的分布，是不可能的。在這種情況下，我們只能得到詞的出現(xiàn)概率，比如p(的)的概率是0.5，也就是一個網(wǎng)頁有1/2的概率出現(xiàn)“的”。如果一個算法，是對里面的分布進(jìn)行了某些假設(shè)，那么可能這個算法在真實的應(yīng)用中就會表現(xiàn)欠佳。最小二乘法對于類似的一個復(fù)雜問題，就很無力了

偏差、方差的權(quán)衡(trade-off)：

    偏差(bias)和方差(variance)是統(tǒng)計學(xué)的概念，剛進(jìn)公司的時候，看到每個人的嘴里隨時蹦出這兩個詞，覺得很可怕。首先得明確的，方差是多個模型間的比較，而非對一個模型而言的，對于單獨的一個模型，比如說:

    這樣的一個給定了具體系數(shù)的估計函數(shù)，是不能說f(x)的方差是多少。而偏差可以是單個數(shù)據(jù)集中的，也可以是多個數(shù)據(jù)集中的，這個得看具體的定義。

    方差和偏差一般來說，是從同一個數(shù)據(jù)集中，用科學(xué)的采樣方法得到幾個不同的子數(shù)據(jù)集，用這些子數(shù)據(jù)集得到的模型，就可以談他們的方差和偏差的情況了。方差和偏差的變化一般是和模型的復(fù)雜程度成正比的，就像本文一開始那四張小圖片一樣，當(dāng)我們一味的追求模型精確匹配，則可能會導(dǎo)致同一組數(shù)據(jù)訓(xùn)練出不同的模型，它們之間的差異非常大。這就叫做方差，不過他們的偏差就很小了，如下圖所示：

     上圖的藍(lán)色和綠色的點是表示一個數(shù)據(jù)集中采樣得到的不同的子數(shù)據(jù)集，我們有兩個N次的曲線去擬合這些點集，則可以得到兩條曲線（藍(lán)色和深綠色），它們的差異就很大，但是他們本是由同一個數(shù)據(jù)集生成的，這個就是模型復(fù)雜造成的方差大。模型越復(fù)雜，偏差就越小，而模型越簡單，偏差就越大，方差和偏差是按下面的方式進(jìn)行變化的:

     當(dāng)方差和偏差加起來***的點，就是我們***的模型復(fù)雜度。

     用一個很通俗的例子來說，現(xiàn)在咱們國家一味的追求GDP，GDP就像是模型的偏差，國家希望現(xiàn)有的GDP和目標(biāo)的GDP差異盡量的小，但是其中使用了很多復(fù)雜的手段，比如說倒賣土地、強(qiáng)拆等等，這個增加了模型的復(fù)雜度，也會使得偏差（居民的收入分配）變大，窮的人越窮(被趕出城市的人與進(jìn)入城市買不起房的人），富的人越富（倒賣土地的人與賣房子的人）。其實本來模型不需要這么復(fù)雜，能夠讓居民的收入分配與國家的發(fā)展取得一個平衡的模型是***的模型。

    ***還是用數(shù)學(xué)的語言來描述一下偏差和方差：

    E(L)是損失函數(shù)，h(x)表示真實值的平均，***部分是與y（模型的估計函數(shù)）有關(guān)的，這個部分是由于我們選擇不同的估計函數(shù)（模型）帶來的差異，而第二部分是與y無關(guān)的，這個部分可以認(rèn)為是模型的固有噪聲。

    對于上面公式的***部分，我們可以化成下面的形式：

    這個部分在PRML的1.5.5推導(dǎo)，前一半是表示偏差，而后一半表示方差，我們可以得出：損失函數(shù)=偏差^2+方差+固有噪音。

    下圖也來自PRML：

    這是一個曲線擬合的問題，對同分布的不同的數(shù)據(jù)集進(jìn)行了多次的曲線擬合，左邊表示方差，右邊表示偏差，綠色是真實值函數(shù)。ln lambda表示模型的復(fù)雜程度，這個值越小，表示模型的復(fù)雜程度越高，在***行，大家的復(fù)雜度都很低（每個人都很窮）的時候，方差是很小的，但是偏差同樣很小（國家也很窮），但是到了***一幅圖，我們可以得到，每個人的復(fù)雜程度都很高的情況下，不同的函數(shù)就有著天壤之別了（貧富差異大），但是偏差就很小了（國家很富有）。

原文鏈接：http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2010/12/19/mathmatic_in_machine_learning_2_regression_and_bias_variance_trade_off.html