Haskell 是一門逼格極高的語言，這個(gè)評價(jià)肯定不為過，就我自身的經(jīng)歷及觀察而言，一般初學(xué)者如果沒有相關(guān)函數(shù)式編程的經(jīng)驗(yàn)，入門直接接觸那些稀奇古怪的概念，簡直要跪下?，F(xiàn)在回想起來，隱隱覺得初學(xué)者所擁有的命令式語言相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)反而成了負(fù)擔(dān)，若能拋掉以往固有的觀念轉(zhuǎn)以全新的視角來看待這些怪東西，仿佛會(huì)更好接受些，真是莫名其妙。

Bartosz Milewski 的博客上寫了很多關(guān)于 C++ 模板 與 Haskell 關(guān)系的相關(guān)文章，讀來真是受益良多，這位大哥很多年前就開始探討 c++ 模板編程與 Haskell 之間的微妙聯(lián)系，許多觀點(diǎn)讓人眼前一亮以至嘆為觀止，比如說從范疇論的角度來理解和解釋什么是單子(monad)(我接下來準(zhǔn)備寫篇博客總結(jié)一下)。Bartosz 講 Haskell 喜歡從數(shù)學(xué)的角度來闡述，視角非同一般，當(dāng)然他不是第一位這樣做的，事實(shí)上 Haskell 與數(shù)學(xué)本來就有著許多不得不說又說不清道不明的曖昧關(guān)系(住口！)。

范疇論基本概念

如果你是第一次聽說范疇論，看到這高大上的名字估計(jì)心里就會(huì)一咯噔，到底數(shù)學(xué)威力巨大，光是高等數(shù)學(xué)就讓很多人噩夢連連。和搞編程的一樣，數(shù)學(xué)家喜歡將問題不斷加以抽象從而將本質(zhì)問題抽取出來加以論證解決，范疇論就是這樣一門以抽象的方法來處理數(shù)學(xué)概念的學(xué)科，主要用于研究一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系及聯(lián)系。

在范疇論里，一個(gè)范疇(category)指的是這樣一個(gè)東西，它由三部分組成：

1. 一系列的對象(object).
    
2. 一系列的態(tài)射(morphism).
    
3. 一個(gè)組合(composition)操作符，用點(diǎn)(.)表示，用于將態(tài)射進(jìn)行組合。

一個(gè)對象可以看成是一類東西，數(shù)學(xué)上的群，環(huán)，甚至簡單的有理數(shù)，無理數(shù)等都可以歸為一個(gè)對象，對應(yīng)到編程語言里，可以理解為一個(gè)類型，比如說整型，布爾型，類型事實(shí)上可以看成是值的集合，例如整型就是由 0，1，2...等組成的，因此范疇論里的對象簡單理解就可以看成是值(value)的集合。

一個(gè)態(tài)射指的是一種映射關(guān)系，簡單理解，態(tài)射的作用就是把一個(gè)對象 A 里的值 va 映射為 另一個(gè)對象 B 里的值 vb，這和代數(shù)里的映射概念是很相近的，因此也有單射，滿射等區(qū)分。態(tài)射的存在反映了對象內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，這是范疇論用來研究對象的主要手法：對象內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特性是通過與別的對象的關(guān)系反映出來的，動(dòng)靜是相對的，范疇論通過研究關(guān)系來達(dá)到探知對象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的目的。

組合操作符的作用是將兩個(gè)態(tài)射進(jìn)行組合，例如，假設(shè)存在態(tài)射 f: A -> B, g: B -> C， 則 g.f : A -> c.

看！好像沒有想象中的復(fù)雜！一個(gè)結(jié)構(gòu)要想成為一個(gè)范疇, 除了必須包含上述三樣?xùn)|西，它還要滿足以下三個(gè)限制:

1. 態(tài)射要滿足結(jié)合律，即 f.(g.h) = (f.g).h。

2. 態(tài)射在這個(gè)結(jié)構(gòu)必須是封閉的，也就是，如果存在態(tài)射 f, g，則必然存在 h = f.g。

3. 對結(jié)構(gòu)中的每一個(gè)對象 A, 必須存在一個(gè)單位態(tài)射 Ia: A -> A， 對單位態(tài)射，顯然，對任意其它態(tài)射 f, f.I = f。

講完了！范疇論就這么點(diǎn)東西！-- 當(dāng)然是不可能的，但暫時(shí)來說，知道這些就已經(jīng)很足夠了。

Haskell 中的范疇

在 Haskell 中存在著這樣一個(gè)唯一的范疇，名字稱為 Hask, 這個(gè) Hask 滿足前面關(guān)于范疇的全部約定，因此是范疇論里一個(gè)純正的“范疇":

1. 對象就是 Haskell 里的所有類型，記得類型是一個(gè)集合。

2. 態(tài)射就是編程語言里的一般函數(shù)(function)，如: func :: Int -> Bool，將對象 int 映射為 對象 bool。

3. 態(tài)射的組合就是函數(shù)的組合，在 Haskell 里，函數(shù)也是通過點(diǎn)號(.)進(jìn)行組合的。

另外三個(gè)約束條件很容易證明也是滿足，因此整個(gè) Haskell 從數(shù)學(xué)的角度上看它就是一個(gè)范疇，這個(gè)角度的理解是很深刻的，這樣一來傳統(tǒng)意義上諸如語法，類型，函數(shù)等語言特性其實(shí)都只是這個(gè)內(nèi)在本質(zhì)的外在表現(xiàn)而已。

函子

前面對范疇的介紹反映了范疇內(nèi)部各個(gè)對象之間的聯(lián)系與相互作用，在范疇論里另外研究的重點(diǎn)是范疇與范疇之間的關(guān)系，就正如對象與對象之間有態(tài)射一樣，范疇與范疇之間也存在某些映射，從而可以將一個(gè)范疇映射為另一個(gè)范疇，這種映射在范疇論中叫作函子(functor），具體來說，對于給定的兩個(gè)范疇 A 和 B, 函子的作用有兩個(gè):

1. 將范疇 A 中的對象映射到范疇 B 中的對象。

2. 將范疇 A 中的態(tài)射映射到范疇 B 中的態(tài)射。

顯然，函子反映了不同的范疇之間的內(nèi)在聯(lián)系，函子的定義是十分松散的，而不同范疇之間的關(guān)系有強(qiáng)有弱，一個(gè)隨便定義的函子很多時(shí)候并不能太深刻反映范疇之間結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，因此數(shù)學(xué)上，對函子通常有幾個(gè)限制，先假設(shè) F 是范疇 A 與范疇 B 上一個(gè)函子，則：

1. 對范疇 A 上的單位態(tài)射Ia, F 必須將其映射為范疇 B 上的單位態(tài)射 Ib, F(Ia) = Ib.

2. 函子對態(tài)射的組合必須滿足分配徤，即，假設(shè) f, g 是范疇 A 上的態(tài)射，則 F(f.h) = F(f).F(g)。

顯然這兩個(gè)限制是很強(qiáng)的，如果兩個(gè)范疇之間存在這樣一個(gè)函子，則反映了他們之間在結(jié)構(gòu)上有著很強(qiáng)的相似性，從看似風(fēng)牛馬不相及的東西里找出他們內(nèi)在的相似性，數(shù)學(xué)家最愛干的事情了。

和態(tài)射一樣函子也可以是自映射的，即函子允許將范疇映射到其自身，這樣做有什么好處呢？不同范疇之間的映射反映了范疇間的相似性，范疇到范疇自身的映射則顯然是反映了范疇內(nèi)部的自相似性 --- 到底認(rèn)識(shí)自己也不是一件容易的事啊。。。自相似性是大自然里美妙的存在，想想六角形的雪花，想想分形... 在范疇論里，這種將范疇映射到自身的函子被稱為自函子(endofunctor).

Haskell 中的函子

知道為什么要講自函子了嗎，Haskell 中只有一個(gè)范疇! 那么這個(gè)唯一的范疇 Hask 中，存不存在自函子呢？有的！終于講到重點(diǎn)了，為什么 Haskell 有這么些奇怪的概念？ Haskell 的老鳥會(huì)告訴你，這些奇怪的東西都是寶貝，它們都是有本而來的。

那么 Haskell 中的自函子是怎么體現(xiàn)出來的呢？ 根據(jù)前面的定義，一個(gè)函子其實(shí)就是一個(gè)映射，它把對象映射為對象，把態(tài)射映射為態(tài)射，我們知道在 Haskell 中對象就是一個(gè)類型，如整型，布爾型等，將一個(gè)類型映射為另一個(gè)類型，沒錯(cuò)，就是 type constructor 在干的事情，c++ 的程序員可以用模板類來想象一下，如，vector<int> 就是將 int 映射為 vector<int>， 這是兩種不同的類型了，實(shí)例化模板的過程實(shí)際就是把一個(gè)類型變成另一個(gè)類型的過程。

注意不要把對象的映射與對象內(nèi)部的態(tài)射混淆了，態(tài)射是將對象內(nèi)部的值進(jìn)行映射，而對象的映射(函子)是把對象這個(gè)整體映射為另一個(gè)對象，函子根本不關(guān)心一個(gè)對象內(nèi)部會(huì)有什么值。

顯然我們可以看到，在 Haskell 中，類型到類型的映射事實(shí)上并不是普遍存在的，自函子反映的是范疇內(nèi)部的結(jié)構(gòu)關(guān)系，這些關(guān)系并不是因?yàn)楹拥拇嬖诙嬖?，函子只是揭示了這些內(nèi)在的關(guān)系。具體在 Haskell 中，類型間的關(guān)系并不是普遍存在的，比如說， Int -> Bool 就沒有對應(yīng)的映射關(guān)系，而存在映射關(guān)系的類型，它們都有一些共同的特點(diǎn)，映射雙方可以看成是由簡單的類型轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)雜的類型。

type constructor 就是自函子的一部分！

好了，現(xiàn)在類型到類型的映射在 Haskell 中找到了，那態(tài)射到態(tài)射之間的映射呢？必竟這也是函子的必要組成部分。

在 Haskell 中，態(tài)射就是一般的函數(shù)，把一個(gè)函數(shù)映射為另一個(gè)函數(shù)，聽起來不就是高階函數(shù)在干的事情嘛。具體來說，映射函數(shù)這件事發(fā)生在 Functor 這個(gè) typeclass 里，連名字都一模一樣，目的昭然若揭。Haskell 中 Functor 是一個(gè) typeclass，它的定義如下：

class Functor f where  
  fmap:: (a -> b) -> f a -> fb 

fmap 干嘛的？顯然就是用于把態(tài)射 (a -> b) 映射為態(tài)射 (f a -> f b)的，它把范疇里的態(tài)射映射到另一個(gè)態(tài)射，且遵守了函子在映射態(tài)射時(shí)所需要遵守的兩個(gè)原則。

講到這里，我們一步一步不知不覺就已經(jīng)向著 monad 靠近了，好激動(dòng)，先打住了，回頭再整理整理。

【參考】

http://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category_theory

http://bartoszmilewski.com/2011/01/09/monads-for-the-curious-programmer-part-1/

原文出自：http://www.cnblogs.com/catch/p/3973104.html