一、概述

蒙特卡羅方法是一種計(jì)算方法。原理是通過大量隨機(jī)樣本，去了解一個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)而得到所要計(jì)算的值。

它非常強(qiáng)大和靈活，又相當(dāng)簡單易懂，很容易實(shí)現(xiàn)。對于許多問題來說，它往往是最簡單的計(jì)算方法，有時(shí)甚至是唯一可行的方法。

它誕生于上個(gè)世紀(jì) 40 年代美國的”曼哈頓計(jì)劃”，名字來源于賭城蒙特卡羅，象征概率。

二、π的計(jì)算

***個(gè)例子是，如何用蒙特卡羅方法計(jì)算圓周率π。

正方形內(nèi)部有一個(gè)相切的圓，它們的面積之比是π/4。

現(xiàn)在，在這個(gè)正方形內(nèi)部，隨機(jī)產(chǎn)生 10000 個(gè)點(diǎn)（即 10000 個(gè)坐標(biāo)對 (x， y)），計(jì)算它們與中心點(diǎn)的距離，從而判斷是否落在圓的內(nèi)部。

如果這些點(diǎn)均勻分布，那么圓內(nèi)的點(diǎn)應(yīng)該占到所有點(diǎn)的 π/4，因此將這個(gè)比值乘以4，就是π的值。通過R語言腳本隨機(jī)模擬 30000 個(gè)點(diǎn)，π的估算值與真實(shí)值相差 0.07%。

三、積分的計(jì)算

上面的方法加以推廣，就可以計(jì)算任意一個(gè)積分的值。

比如，計(jì)算函數(shù) y = x2 在 [0, 1] 區(qū)間的積分，就是求出下圖紅色部分的面積。

這個(gè)函數(shù)在 (1,1) 點(diǎn)的取值為1，所以整個(gè)紅色區(qū)域在一個(gè)面積為 1 的正方形里面。在該正方形內(nèi)部，產(chǎn)生大量隨機(jī)點(diǎn)，可以計(jì)算出有多少點(diǎn)落在紅色區(qū)域（判斷條件 y < x2）。這個(gè)比重就是所要求的積分值。

用 Matlab 模擬 100 萬個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，結(jié)果為 0.3328。

四、交通堵塞

蒙特卡羅方法不僅可以用于計(jì)算，還可以用于模擬系統(tǒng)內(nèi)部的隨機(jī)運(yùn)動。下面的例子模擬單車道的交通堵塞。

根據(jù) Nagel-Schreckenberg 模型，車輛的運(yùn)動滿足以下規(guī)則。

• 當(dāng)前速度是 v 。
• 如果前面沒車，它在下一秒的速度會提高到 v + 1 ，直到達(dá)到規(guī)定的***限速。
• 如果前面有車，距離為d，且 d < v，那么它在下一秒的速度會降低到 d – 1 。
• 此外，司機(jī)還會以概率 p 隨機(jī)減速， 將下一秒的速度降低到 v – 1 。

在一條直線上，隨機(jī)產(chǎn)生 100 個(gè)點(diǎn)，代表道路上的 100 輛車，另取概率 p 為 0.3 。

上圖中，橫軸代表距離（從左到右），縱軸代表時(shí)間（從上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情況。

可以看到，該模型會隨機(jī)產(chǎn)生交通擁堵（圖形上黑色聚集的部分）。這就證明了，單車道即使沒有任何原因，也會產(chǎn)生交通堵塞。

五、產(chǎn)品厚度

某產(chǎn)品由八個(gè)零件堆疊組成。也就是說，這八個(gè)零件的厚度總和，等于該產(chǎn)品的厚度。

已知該產(chǎn)品的厚度，必須控制在 27mm 以內(nèi)，但是每個(gè)零件有一定的概率，厚度會超出誤差。請問有多大的概率，產(chǎn)品的厚度會超出 27mm？

取 100000 個(gè)隨機(jī)樣本，每個(gè)樣本有 8 個(gè)值，對應(yīng) 8 個(gè)零件各自的厚度。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的合格率為 99.9979%，即百萬分之 21 的概率，厚度會超出 27mm。

六、證券市場

證券市場有時(shí)交易活躍，有時(shí)交易冷清。下面是你對市場的預(yù)測。

• 如果交易冷清，你會以平均價(jià) 11 元，賣出 5 萬股。
• 如果交易活躍，你會以平均價(jià) 8 元，賣出 10 萬股。
• 如果交易溫和，你會以平均價(jià) 10 元，賣出 7.5 萬股。

已知你的成本在每股 5.5 元到 7.5 元之間，平均是 6.5 元。請問接下來的交易，你的凈利潤會是多少？

取 1000 個(gè)隨機(jī)樣本，每個(gè)樣本有兩個(gè)數(shù)值：一個(gè)是證券的成本（5.5 元到 7.5 元之間的均勻分布），另一個(gè)是當(dāng)前市場狀態(tài)（冷清、活躍、溫和，各有三分之一可能）。

模擬計(jì)算得到，平均凈利潤為 92, 427 美元。