0x00 前言

慕容在生活和工作中常常會(huì)遇到一些十分迷信機(jī)器的人，他們之中很多人都相信機(jī)器是最理智的，沒(méi)有任何感情，是真正的鐵面無(wú)私，因此機(jī)器的運(yùn)算所給出 的答案總是正確的，如果答案錯(cuò)誤，那么一定是操作機(jī)器的人的問(wèn)題。但機(jī)器的運(yùn)算就一定是正確的嗎？事實(shí)上，機(jī)器出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤并不是一個(gè)罕見(jiàn)的情況，一個(gè)典 型的例子便是小數(shù)運(yùn)算。下面就讓我們來(lái)聊一個(gè)相關(guān)的話題，在機(jī)器或者具體的說(shuō)在C#語(yǔ)言中小數(shù)是如何被處理的？

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0x01 先從一個(gè)“錯(cuò)誤”的答案說(shuō)起

 既然要聊一聊機(jī)器是怎么把算術(shù)題做錯(cuò)的，那么我們自然要先來(lái)看一個(gè)機(jī)器運(yùn)算錯(cuò)誤的小例子。

#include <stdio.h> 
 
void main(){ 
    float num; 
    int i ; 
    num = 0; 
    for(i = 0; i < 100; i++) 
    { 
        num += 0.1; 
    } 
    printf("%f\n", num); 
} 

這是一份C語(yǔ)言寫成的小程序，邏輯十分簡(jiǎn)單易懂，所要實(shí)現(xiàn)的結(jié)果無(wú)非是將0.1相加100次之后再輸出。我想不需要計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算，我們自己心算就能立刻得出答案——10。那么計(jì)算機(jī)會(huì)交給我們一份什么樣的答案呢？下面我們將這份C代碼編譯并且運(yùn)行一下。

答案一輸出，就讓人大吃一驚。怎么計(jì)算機(jī)還不如人的心算嗎？如果按照慕容在前言中提到的那些朋友這時(shí)可能就開(kāi)始糾結(jié)是否是代碼寫錯(cuò)了，亦或者是慕容 的電腦出現(xiàn)了什么問(wèn)題。但事實(shí)上代碼是正確的，機(jī)器也是運(yùn)行如常的。那么究竟是為什么計(jì)算機(jī)的運(yùn)算輸給了人的心算呢？這就引出了下一個(gè)問(wèn)題，計(jì)算機(jī)是如何 處理小數(shù)的呢？如果我們了解一下計(jì)算機(jī)處理小數(shù)的機(jī)制，那么這一切的迷就能夠解開(kāi)了。（當(dāng)然如果有朋友用C#來(lái)對(duì)0.1加100次，之后的結(jié)果是10。但 那是C#在幕后為我們做的一些隱藏工作，在計(jì)算機(jī)處理小數(shù)的問(wèn)題上，本質(zhì)是一樣的）。

0x02 數(shù)字的格式

一個(gè)程序可以看做是現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)數(shù)字化的模型?，F(xiàn)實(shí)世界中的一切都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)字在計(jì)算機(jī)的世界中重新復(fù)活。因此，一個(gè)不得不解決的問(wèn)題就是數(shù)字是如何在計(jì)算機(jī)中表達(dá)的。這也是數(shù)字格式出現(xiàn)的意義。

眾所周知，機(jī)器語(yǔ)言全部都是數(shù)字，但是本文自然不會(huì)關(guān)心全部的二進(jìn)制格式。這里我們只關(guān)心現(xiàn)實(shí)中有意義的數(shù)字是如何在計(jì)算機(jī)中被表示的。簡(jiǎn)單而言，有意義的數(shù)字大體可以分為以下三種格式。

整數(shù)格式

我們?cè)陂_(kāi)發(fā)的過(guò)程中遇到的大部分的數(shù)字其實(shí)都是整數(shù)。而整數(shù)在計(jì)算機(jī)中也是最容易表示的一種。我們遇到的整數(shù)都可以使用32位有符號(hào)整數(shù)來(lái)表示（Int32)。當(dāng)然，如果需要，還有有符號(hào) 64 位整數(shù)數(shù)據(jù)類型（Int64）可供選擇。至于和整數(shù)相對(duì)應(yīng)的便是小數(shù)，而小數(shù)主要有兩種表示方式。

定點(diǎn)格式

所謂定點(diǎn)格式，即約定機(jī)器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)位置是固定不變的。而定點(diǎn)小數(shù)的最常見(jiàn)的例子是SQL Server中的money類型。事實(shí)上定點(diǎn)小數(shù)已經(jīng)很不錯(cuò)了，它顯然能夠適合很多需要處理小數(shù)的情況。但是它有一個(gè)與生俱來(lái)的缺點(diǎn)，那就是由于小數(shù)點(diǎn)的 位置固定，因此它能表示范圍是受限的。因此下面我們本文的主角就要出場(chǎng)了。

浮點(diǎn)格式

解決定點(diǎn)格式先天問(wèn)題的方案便是浮點(diǎn)格式的出現(xiàn)。而浮點(diǎn)格式的組成則包括符號(hào)、尾數(shù)、基數(shù)和指數(shù)，通過(guò)這四部分來(lái)表示一個(gè)小數(shù)。由于計(jì)算機(jī)內(nèi)部是二 進(jìn)制的，因此基數(shù)自然而然是2（就如十進(jìn)制的基數(shù)是10一樣）。因此計(jì)算機(jī)在數(shù)據(jù)中往往無(wú)需記錄基數(shù)（因?yàn)榭偸?），而是只用符號(hào)、尾數(shù)、指數(shù)這三部分來(lái) 表示。很多編程語(yǔ)言都至少提供了兩種使用浮點(diǎn)格式表示小數(shù)的數(shù)據(jù)類型，即我們常常能見(jiàn)到的雙精度浮點(diǎn)數(shù)double和單精度浮點(diǎn)數(shù)float。同樣，在我 們的C#語(yǔ)言中也存在著這兩種使用了浮點(diǎn)格式表示小數(shù)的數(shù)據(jù)類型——按照C#語(yǔ)言標(biāo)準(zhǔn)雙精度浮點(diǎn)數(shù)和單精度浮點(diǎn)數(shù)在C#中對(duì)應(yīng)的是 System.Double和System.Single。但是事實(shí)上在C#語(yǔ)言中還存在著第三種使用了浮點(diǎn)格式表示小數(shù)的數(shù)據(jù)類型，那就是 decimal類型——System.Decimal。需要注意的是，浮點(diǎn)格式的表示形式有很多，而在C#中遵循的是IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)：

• float單精度浮點(diǎn)數(shù)為32位。32位的構(gòu)造為：符號(hào)部分1bit、指數(shù)部分8bit以及尾數(shù)部分23bit。

• double雙精度浮點(diǎn)數(shù)為64位。64位的構(gòu)造為：符號(hào)部分1bit、指數(shù)部分11bit以及尾數(shù)部分52bit。

0x03 表示范圍、精度和準(zhǔn)確度

既然聊完了數(shù)字在計(jì)算機(jī)中的幾種表示形式，那么接下來(lái)我們就不得不提一下在選擇數(shù)字格式時(shí)的一些指標(biāo)。最常見(jiàn)的無(wú)非是這幾點(diǎn)：表示范圍、精度、準(zhǔn)確度。

數(shù)字格式的表示范圍

顧名思義，數(shù)字格式的表示范圍指的就是這種數(shù)字格式所能表示的最小的值到***的值的范圍。 例如一個(gè)16位有符號(hào)整數(shù)的表示范圍是從-32768到32767。如果要被表示的數(shù)字的值超出了這個(gè)范圍，那么使用這種數(shù)字格式就不能正確的表示這個(gè)數(shù) 字了。當(dāng)然在這個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)字也有可能無(wú)法被正確的表示，例如16位有符號(hào)整數(shù)是無(wú)法準(zhǔn)確表示一個(gè)小數(shù)的，但是總有一個(gè)接近的值是可以用16為有符號(hào)整數(shù) 格式來(lái)表示的。

數(shù)字格式的精度

實(shí)話實(shí)說(shuō)，精度和準(zhǔn)確度讓很多人都有一種十分模糊的感覺(jué)，似乎是一樣的卻又有區(qū)別。但慕容需要提醒各位注意的是，精度和準(zhǔn)確度是兩個(gè)有巨大差距的概念。

通俗的來(lái)講，數(shù)字格式的精度可以認(rèn)為是該格式有多少信息用來(lái)表示一個(gè)數(shù)字。更高的精度通常意味著能夠表示更多的數(shù)字，一個(gè)最明顯的例子便是精度越高 那么這種格式所能表示的數(shù)字就越接近真實(shí)的數(shù)字。例如我們知道1/3如果換算成小數(shù)0.3333....是無(wú)窮盡的，那么它在五位精度的情況下可以寫成 0.3333，而在七位的情況下就又變成了0.333333（當(dāng)然，如果用七位表示五位，那么就是0.333300)。

數(shù)字格式的精度還會(huì)影響到計(jì)算的過(guò)程。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如果在計(jì)算中我們使用的是一位精度。那么整個(gè)計(jì)算可能就變成了下面的這種情況：

0.5 * 0.5 + 0.5 * 0.5 = 0.25 + 0.25 
 
                                = 0.2 + 0.2 
 
                                =0.4 

而如果我們使用的是兩位精度，那么計(jì)算過(guò)程又會(huì)變成下面的情況。

0.5 * 0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 
 
　　　　　　　　　　 =0.5 

對(duì)比兩種精度情況下的計(jì)算結(jié)果，一位精度情況下的計(jì)算結(jié)果和正確的結(jié)果差了0.1。而使用了兩位精度的情況則正常的計(jì)算出了結(jié)果。因此可以發(fā)現(xiàn)在計(jì)算的過(guò)程中保證精度是一件多么有意義的事情。

數(shù)字格式的準(zhǔn)確度

數(shù)字格式的表示范圍、精度都已經(jīng)介紹完了，那么接下來(lái)我們就來(lái)介紹一下數(shù)字格式的準(zhǔn)確度。剛剛已經(jīng)說(shuō)過(guò)了，準(zhǔn)確度和精度是一對(duì)經(jīng)常讓人混淆的概念。

那么我們?cè)偻ㄋ椎慕o準(zhǔn)確度來(lái)個(gè)注釋，簡(jiǎn)單的說(shuō)它表示的是該數(shù)字格式（特定環(huán)境）所表示的數(shù)字和真實(shí)數(shù)字的誤差。準(zhǔn)確度越高，則意味著數(shù)字格式所表示的數(shù)字和真實(shí)數(shù)字的值之間的誤差越小。準(zhǔn)確度越低，則意味著數(shù)字格式所表示的數(shù)字和真實(shí)數(shù)字的值之間的誤差越大。

需要注意的一點(diǎn)是數(shù)字格式的精度和數(shù)字格式的準(zhǔn)確度并沒(méi)有直接的關(guān)系，這一點(diǎn)也是很多朋友在概念上常常會(huì)混淆的地方。使用低精度的數(shù)字格式表示的數(shù)字，并不一定要比使用高精度的數(shù)字格式所表示的數(shù)字的準(zhǔn)確度低。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：

Byte   num = 0x05; 
Int16  num1 = 0x0005; 
Int32  num2 = 0x00000005; 
Single num3 = 5.000000f; 
Double num4 = 5.000000000000000; 

此時(shí)，我們分別使用5種不同的數(shù)字格式表示同一個(gè)數(shù)字5，雖然數(shù)字格式的精度（從8位到64位）不同，但是通過(guò)數(shù)字格式所表示出來(lái)的數(shù)和真實(shí)的數(shù)是一樣的。也就是說(shuō)對(duì)于數(shù)字5，這5種數(shù)字格式的準(zhǔn)確度相同。

0x04 取整誤差

了解了計(jì)算機(jī)中常見(jiàn)的幾種數(shù)字格式之后，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)聊一聊計(jì)算機(jī)是如何通過(guò)數(shù)字格式來(lái)表示現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)字的。眾所周知，計(jì)算機(jī)中使用的是0和 1，即二進(jìn)制，使用二進(jìn)制表示整數(shù)是十分容易的一件事情，不過(guò)在使用二進(jìn)制表示小數(shù)時(shí)，我們往往會(huì)產(chǎn)生一些疑問(wèn)。例如二進(jìn)制小數(shù)1110.1101換算成 十進(jìn)制是多少呢？***眼看上去多了一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，似乎讓人十分困惑。事實(shí)上它的處理和整數(shù)是一樣的，即將各個(gè)數(shù)位的數(shù)值和位權(quán)相乘結(jié)果求和。小數(shù)點(diǎn)前的位 權(quán)，大家都已經(jīng)十分熟悉了，從右向左分別是0次冪、1次冪、2次冪以此遞增，因此小數(shù)點(diǎn)前的二進(jìn)制換算為十進(jìn)制便是：

1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 0 = 14 

而在小數(shù)點(diǎn)之后的位權(quán)，相應(yīng)的從左向右分別是-1次冪、-2次冪依次遞減。因此小數(shù)點(diǎn)之后的二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制便是：

1 * 0.5 + 1 * 0.25 + 0 * 0.125 + 1 * 0.0625 = 0.8125 

因此1110.1101這個(gè)二進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制便是14.8125。

通過(guò)觀察小數(shù)點(diǎn)之后的二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制的過(guò)程，各位看官是否發(fā)現(xiàn)了很有趣的一個(gè)事實(shí)呢？那就是小數(shù)點(diǎn)之后的二進(jìn)制并不能表示所有的十進(jìn)制數(shù)，換言 之有一些十進(jìn)制數(shù)是無(wú)法轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的。這個(gè)很好理解，因?yàn)樾?shù)點(diǎn)之后，二進(jìn)制的位權(quán)按照除以2的節(jié)奏遞減，而十進(jìn)制卻是按照除以10的節(jié)奏遞減。因此如 果小數(shù)點(diǎn)后4位用二進(jìn)制表示，即從.0000~.1111這個(gè)范圍內(nèi)連續(xù)的二進(jìn)制數(shù)值事實(shí)上對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是不連續(xù)的，所有可能的結(jié)果也不過(guò)是各個(gè)位權(quán) （0.5、0.25、0.125以及0.0625）相加的組合而已。

因此，一個(gè)在十進(jìn)制中十分簡(jiǎn)單的數(shù)字如果用二進(jìn)制來(lái)準(zhǔn)確無(wú)誤的表示，所使用的位數(shù)可能會(huì)十分長(zhǎng)甚至是***的。一個(gè)很好的例子便是使用二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示十進(jìn)制中的0.1：

事實(shí)上變量x中所保存的值并不是真正的十進(jìn)制中的0.1，而是一個(gè)最接近十進(jìn)制0.1的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。這是因?yàn)闊o(wú)論小數(shù)點(diǎn)之后有多少位二進(jìn)制的數(shù)，2的負(fù)數(shù)次冪都無(wú)法相加得到0.1這個(gè)結(jié)果，因此0.1這個(gè)十進(jìn)制數(shù)在二進(jìn)制中會(huì)變成一個(gè)***小數(shù)。

當(dāng)然二進(jìn)制有可能無(wú)法準(zhǔn)確的表示一個(gè)十進(jìn)制小數(shù)很好理解，因?yàn)檫@有點(diǎn)類似于在十進(jìn)制中我們同樣無(wú)法準(zhǔn)確表示1/3這樣的循環(huán)小數(shù)。

此時(shí)，我們便不得不和計(jì)算機(jī)妥協(xié)了。因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在知道了在計(jì)算機(jī)中使用的數(shù)值可能并不等于真實(shí)世界中的數(shù)值，而是計(jì)算機(jī)使用某種數(shù)字格式表示的一個(gè) 十分接近原始數(shù)字的一個(gè)值。而在整個(gè)程序運(yùn)行的過(guò)程中，我們的計(jì)算機(jī)就要一直使用這個(gè)僅僅是近似的數(shù)值來(lái)參與計(jì)算，我們假設(shè)真實(shí)的數(shù)值是n，而計(jì)算機(jī)事實(shí) 上會(huì)使用另一個(gè)數(shù)值n + e（當(dāng)然e是一個(gè)可正可負(fù)且十分小的數(shù)）來(lái)參與計(jì)算機(jī)中的運(yùn)算。此時(shí)，這個(gè)數(shù)值e便是取整誤差。

而這還僅僅是一個(gè)數(shù)字在計(jì)算機(jī)中使用近似值來(lái)表示，如果該數(shù)值參與到計(jì)算中去，那么顯然會(huì)帶來(lái)更多誤差。這也是本文一開(kāi)始那個(gè)c程序之所以計(jì)算錯(cuò)誤 的原因，因?yàn)闊o(wú)法正確的表示參與計(jì)算的值，到***都變成了近似值。當(dāng)然C#語(yǔ)言相對(duì)而言要“高級(jí)”了很多，雖然在計(jì)算機(jī)中也是近似值，但是展示在大家眼前 的至少還是更加符合人們“預(yù)期”的值。不過(guò)在C#中，小數(shù)計(jì)算真的是不會(huì)出錯(cuò)的嗎？畢竟，這一切似乎僅僅是障眼法。

0x05 取與舍，C#的小數(shù)

比比是否相等

不知道各位看官在使用一些關(guān)系運(yùn)算符時(shí)，有沒(méi)有留意到直接使用等號(hào)比較兩個(gè)小數(shù)是否相等時(shí)是否會(huì)出現(xiàn)一些意想不到的問(wèn)題。我身邊的朋友使用關(guān)系運(yùn)算 符直接比較兩個(gè)小數(shù)大小的情況比較多，而直接比較兩個(gè)小數(shù)是否相等的情況卻不太多。同時(shí)我在此也想提醒各位***不要輕易比較兩個(gè)小數(shù)是否相等，即便在C# 這種高級(jí)語(yǔ)言中仍然可能得到讓人感覺(jué)“錯(cuò)誤”的答案，這是因?yàn)槲覀兪聦?shí)上比較的是兩個(gè)小數(shù)是否“接近”于相等，而不是兩個(gè)數(shù)是否是真正的相等。下面這個(gè)例 子可能會(huì)更好的說(shuō)明這一點(diǎn)：

using System; 
 
class Test 
{    
    static void Main() 
    { 
        double f = Sum (0.1d, 0.2d); 
        double g = 0.3d; 
        Console.WriteLine (f); 
        Console.WriteLine (f==g); 
    } 
    
    static double Sum (double f1, double f2) 
    { 
        return f1+f2; 
    } 
} 

我們編譯并且運(yùn)行這段代碼，可以看到輸出了如下的內(nèi)容：

比較這兩個(gè)小數(shù)的結(jié)果并不是true，這和我們的預(yù)期并不一樣。

浮點(diǎn)數(shù)的真模樣

我們知道，像上文中的那個(gè)二進(jìn)制小數(shù)1110.1101事實(shí)上也是按照人類習(xí)慣表達(dá)出來(lái)的，但是計(jì)算機(jī)可是不能識(shí)別這種帶小數(shù)點(diǎn)的東西的哦。所以計(jì) 算機(jī)會(huì)使用之前介紹的數(shù)字格式來(lái)表示這樣一個(gè)數(shù)字，那么一個(gè)二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中到底是如何表現(xiàn)的呢？其實(shí)在上文介紹數(shù)字格式的部分已經(jīng)介紹過(guò)了，但是 沒(méi)有實(shí)際看一眼終究是不能有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，那在本文的***，我們就來(lái)看一個(gè)二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)的在計(jì)算機(jī)中真實(shí)的樣子。

0100000001000111101101101101001001001000010101110011000100100011

這是一個(gè)64位的二進(jìn)制數(shù)。如果把它作為一個(gè)雙精度浮點(diǎn)數(shù)，那么它的各部分都分別表示了什么呢？

按照上文介紹浮點(diǎn)數(shù)的部分，我們可以將它分成如下幾部分：

符號(hào)：0

指數(shù)部分：10000000100（二進(jìn)制，可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制的1028）

尾數(shù)部分：0111101101101101001001001000010101110011000100100011

因此，將它轉(zhuǎn)換為一個(gè)用二進(jìn)制表示的小數(shù)，則是：

(-1)^0 * 1.0111101101101101001001001000010101110011000100100011  x 2^(1028-1023)

= 1.0111101101101101001001001000010101110011000100100011  x 2^5

= 101111.01101101101001001001000010101110011000100100011

如果各位讀者觀察足夠仔細(xì)的話，是否發(fā)現(xiàn)了有趣的一點(diǎn)呢？那就是在這個(gè)在計(jì)算機(jī)中用來(lái)表示雙精度浮點(diǎn)數(shù)的64位數(shù)中，尾數(shù)部分的幾位數(shù)字是：0111101101101101001001001000010101110011000100100011

但是經(jīng)過(guò)從計(jì)算機(jī)中的形式轉(zhuǎn)化成人類使用二進(jìn)制表示小數(shù)的形式之后，數(shù)字卻變成了1.0111101101101101001001001000010101110011000100100011x 2^5，小數(shù)點(diǎn)之前為什么會(huì)多出了一個(gè)1呢？

這是因?yàn)樵谖矓?shù)部分，為了將表現(xiàn)形式多樣的浮點(diǎn)數(shù)統(tǒng)一為同一種表示方式而規(guī)定要將小數(shù)點(diǎn)前的值固定為1。由于小數(shù)點(diǎn)前的數(shù)永遠(yuǎn)是1，因此為了節(jié)省一個(gè)數(shù)據(jù)位，這個(gè)1在計(jì)算機(jī)中并不需要被保存。

那么應(yīng)該如何保證一個(gè)二進(jìn)制小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)前的值是1呢？這就需要對(duì)二進(jìn)制小數(shù)進(jìn)行邏輯移位了，通過(guò)左移或右移若干次后，將整數(shù)部分變?yōu)?。例如上文中的這個(gè)二進(jìn)制小數(shù)：1110.1101，我們就來(lái)試試如何把它變成計(jì)算機(jī)可以識(shí)別的浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)吧。

1110.1101（原始數(shù)據(jù)）——>0001.1101101（通過(guò)右移將整數(shù)部分變?yōu)?）—— >0001.11011010000000000000....（拓展位數(shù)，使之符合數(shù)字格式的規(guī)定）—— >11011010000000000000....（去掉整數(shù)部分，僅保留小數(shù)部分）

好了，到此關(guān)于C#或者計(jì)算機(jī)中的小數(shù)計(jì)算就寫得差不多了。歡迎各位交流。