一、多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由三部分組成：輸出層、隱藏層、輸出層，每層由單元組成;

輸入層由訓(xùn)練集的實(shí)例特征向量傳入，經(jīng)過連接結(jié)點(diǎn)的權(quán)重傳入下一層，前一層的輸出是下一層的輸入;隱藏層的個(gè)數(shù)是任意的，輸入層只有一層，輸出層也只有一層;

除去輸入層之外，隱藏層和輸出層的層數(shù)和為n，則該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)稱為n層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如下圖為2層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);

一層中加權(quán)求和，根據(jù)非線性方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化輸出;理論上，如果有足夠多的隱藏層和足夠大的訓(xùn)練集，可以模擬出任何方程

二、設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之前，必須要確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)，以及每層單元的個(gè)數(shù);

為了加速學(xué)習(xí)過程，特征向量在傳入輸入層前，通常需要標(biāo)準(zhǔn)化到0和1之間;

離散型變量可以被編碼成每一個(gè)輸入單元對應(yīng)一個(gè)特征值可能賦的值

比如：特征值A(chǔ)可能去三個(gè)值(a0,a1,a2)，那么可以使用3個(gè)輸入單元來代表A

如果A=a0，則代表a0的單元值取1，其余取0;

如果A=a1，則代表a1的單元值取1，其余取0;

如果A=a2，則代表a2的單元值取1，其余取0;

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)既解決分類(classification)問題，也可以解決回歸(regression)問題。對于分類問題，如果是兩類，則可以用一個(gè)輸出單元(0和1)分別表示兩類;如果多余兩類，則每一個(gè)類別用一個(gè)輸出單元表示，所以輸出層的單元數(shù)量通常等一類別的數(shù)量。

沒有明確的規(guī)則來設(shè)計(jì)***個(gè)數(shù)的隱藏層，一般根據(jù)實(shí)驗(yàn)測試誤差和準(zhǔn)確率來改進(jìn)實(shí)驗(yàn)。

三、交叉驗(yàn)證方法

如何計(jì)算準(zhǔn)確率?最簡單的方法是通過一組訓(xùn)練集和測試集，訓(xùn)練集通過訓(xùn)練得到模型，將測試集輸入模型得到測試結(jié)果，將測試結(jié)果和測試集的真實(shí)標(biāo)簽進(jìn)行比較，得到準(zhǔn)確率。

在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域一個(gè)常用的方法是交叉驗(yàn)證方法。一組數(shù)據(jù)不分成2份，可能分為10份，

第1次：第1份作為測試集，剩余9份作為訓(xùn)練集;

第2次：第2份作為測試集，剩余9份作為訓(xùn)練集;

……

這樣經(jīng)過10次訓(xùn)練，得到10組準(zhǔn)確率，將這10組數(shù)據(jù)求平均值得到平均準(zhǔn)確率的結(jié)果。這里10是特例。一般意義上將數(shù)據(jù)分為k份，稱該算法為K-fold cross validation，即每一次選擇k份中的一份作為測試集，剩余k-1份作為訓(xùn)練集，重復(fù)k次，最終得到平均準(zhǔn)確率，是一種比較科學(xué)準(zhǔn)確的方法。

四、BP算法

通過迭代來處理訓(xùn)練集中的實(shí)例;

對比經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后預(yù)測值與真實(shí)值之間的差;

反方向(從輸出層=>隱藏層=>輸入層)來最小化誤差，來更新每個(gè)連接的權(quán)重;

4.1、算法詳細(xì)介紹

輸入：數(shù)據(jù)集、學(xué)習(xí)率、一個(gè)多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架;

輸出：一個(gè)訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);

初始化權(quán)重和偏向：隨機(jī)初始化在-1到1之間(或者其他)，每個(gè)單元有一個(gè)偏向;對于每一個(gè)訓(xùn)練實(shí)例X，執(zhí)行以下步驟：

1、由輸入層向前傳送：

結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖進(jìn)行分析：

由輸入層到隱藏層：

由隱藏層到輸出層：

兩個(gè)公式進(jìn)行總結(jié)，可以得到：

Ij為當(dāng)前層單元值，Oi為上一層的單元值，wij為兩層之間，連接兩個(gè)單元值的權(quán)重值，sitaj為每一層的偏向值。我們要對每一層的輸出進(jìn)行非線性的轉(zhuǎn)換，示意圖如下：

當(dāng)前層輸出為Ij，f為非線性轉(zhuǎn)化函數(shù)，又稱為激活函數(shù)，定義如下：

即每一層的輸出為：

這樣就可以通過輸入值正向得到每一層的輸出值。

2、根據(jù)誤差反向傳送 對于輸出層：其中Tk是真實(shí)值，Ok是預(yù)測值

對于隱藏層：

權(quán)重更新：其中l(wèi)為學(xué)習(xí)率

偏向更新：

3、終止條件

偏重的更新低于某個(gè)閾值;

預(yù)測的錯(cuò)誤率低于某個(gè)閾值;

達(dá)到預(yù)設(shè)一定的循環(huán)次數(shù);

4、非線性轉(zhuǎn)化函數(shù)

上面提到的非線性轉(zhuǎn)化函數(shù)f，一般情況下可以用兩種函數(shù)：

(1)tanh(x)函數(shù)：

• tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)
• sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2
• cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2

(2)邏輯函數(shù)，本文上面用的就是邏輯函數(shù)

五、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的python實(shí)現(xiàn)

需要先導(dǎo)入numpy模塊

import numpy as np 

定義非線性轉(zhuǎn)化函數(shù)，由于還需要用到給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，因此一起定義

def tanh(x): 
    return np.tanh(x) 
def tanh_deriv(x): 
    return 1.0 - np.tanh(x)*np.tanh(x) 
def logistic(x): 
    return 1/(1 + np.exp(-x)) 
def logistic_derivative(x): 
    return logistic(x)*(1-logistic(x)) 

設(shè)計(jì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的形式(幾層，每層多少單元個(gè)數(shù))，用到了面向?qū)ο?，主要是選擇哪種非線性函數(shù)，以及初始化權(quán)重。layers是一個(gè)list，里面包含每一層的單元個(gè)數(shù)。

class NeuralNetwork: 
    def __init__(self, layers, activation='tanh'): 
        """ 
        :param layers: A list containing the number of units in each layer. 
        Should be at least two values 
        :param activation: The activation function to be used. Can be 
        "logistic" or "tanh" 
        """ 
        if activation == 'logistic': 
            self.activation = logistic 
            self.activation_deriv = logistic_derivative 
        elif activation == 'tanh': 
            self.activation = tanh 
            self.activation_deriv = tanh_deriv 
  
        self.weights = [] 
        for i in range(1, len(layers) - 1): 
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i - 1] + 1, layers[i] + 1))-1)*0.25) 
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i] + 1, layers[i + 1]))-1)*0.25) 

實(shí)現(xiàn)算法

def fit(self, X, y, learning_rate=0.2, epochs=10000): 
       X = np.atleast_2d(X) 
       temp = np.ones([X.shape[0], X.shape[1]+1]) 
       temp[:, 0:-1] = X 
       X = temp 
       y = np.array(y) 
 
       for k in range(epochs): 
           i = np.random.randint(X.shape[0]) 
           a = [X[i]] 
 
           for l in range(len(self.weights)): 
               a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l]))) 
           error = y[i] - a[-1] 
           deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])] 
 
           for l in range(len(a) - 2, 0, -1): 
               deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l])) 
           deltas.reverse() 
 
           for i in range(len(self.weights)): 
               layer = np.atleast_2d(a[i]) 
               delta = np.atleast_2d(deltas[i]) 
               self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta) 

實(shí)現(xiàn)預(yù)測

def predict(self, x): 
       x = np.array(x) 
       temp = np.ones(x.shape[0]+1) 
       temp[0:-1] = x 
       a = temp 
       for l in range(0, len(self.weights)): 
           a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l])) 
       return a 

我們給出一組數(shù)進(jìn)行預(yù)測，我們上面的程序文件保存名稱為BP

from BP import NeuralNetwork 
import numpy as np 
  
nn = NeuralNetwork([2,2,1], 'tanh') 
x = np.array([[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]]) 
y = np.array([1,0,0,1]) 
nn.fit(x,y,0.1,10000) 
for i in [[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]]: 
    print(i, nn.predict(i)) 

結(jié)果如下：

([0, 0], array([ 0.99738862])) 
([0, 1], array([ 0.00091329])) 
([1, 0], array([ 0.00086846])) 
([1, 1], array([ 0.99751259]))