[[341023]]

之前筆者在做一個(gè)金融數(shù)據(jù)項(xiàng)目時(shí)，有朋友問我，衡量股票收益率有沒有什么好的方法。這個(gè)問題讓筆者也思索了好久，其實(shí)股票的收益率如果我們從本質(zhì)來看不就是數(shù)據(jù)嗎，無非就是收益率我們就想讓其越高越好，也就是讓這個(gè)數(shù)據(jù)增加得越多越好。而衡量數(shù)據(jù)我們經(jīng)常用到的方法有均值、方差、偏度和峰度。均值和方差是我們見到和用到最多的方法，甚至在中學(xué)課本里都有提及，那么筆者今天就講一下偏度和峰度這兩個(gè)大家不太常用的方法，并結(jié)合python代碼講一下偏度和峰度在數(shù)據(jù)分析中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

首先還是介紹一下偏度和峰度的概念。

圖1. 偏度和峰度公式

偏度（skewness）又稱偏態(tài)、偏態(tài)系數(shù)，是描述數(shù)據(jù)分布偏斜方向和程度的度量，其是衡量數(shù)據(jù)分布非對(duì)稱程度的數(shù)字特征。對(duì)于隨機(jī)變量X，其偏度是樣本的三階標(biāo)準(zhǔn)化矩，計(jì)算公式如圖1中的式（1）所示。

偏度的衡量是相對(duì)于正態(tài)分布來說，正態(tài)分布的偏度為0。因此我們說，若數(shù)據(jù)分布是對(duì)稱的，偏度為0；若偏度>0，則可認(rèn)為分布為右偏，也叫正偏，即分布有一條長(zhǎng)尾在右；若偏度<0，則可認(rèn)為分布為左偏，也叫負(fù)偏，即分布有一條長(zhǎng)尾在左。正偏和負(fù)偏如圖2所示，在圖2中，左邊的就是正偏，右邊的是負(fù)偏。

圖2. 偏度的示意圖

而峰度（Kurtosis）則是描述數(shù)據(jù)分布陡峭或平滑的統(tǒng)計(jì)量，通過對(duì)峰度的計(jì)算，我們能夠判定數(shù)據(jù)分布相對(duì)于正態(tài)分布而言是更陡峭還是平緩。對(duì)于隨機(jī)變量X，其峰度為樣本的四階標(biāo)準(zhǔn)中心矩，計(jì)算公式如圖1中的式2所示。

當(dāng)峰度系數(shù)>0，從形態(tài)上看，它相比于正態(tài)分布要更陡峭或尾部更厚；而峰度系數(shù)<0，從形態(tài)上看，則它相比于正態(tài)分布更平緩或尾部更薄。在實(shí)際環(huán)境當(dāng)中，如果一個(gè)分部是厚尾的，這個(gè)分布往往比正態(tài)分布的尾部具有更大的“質(zhì)量”，即含又更多的極端值。我們常用的幾個(gè)分布中，正態(tài)分布的峰度為0，均勻分布的峰度為-1.2，指數(shù)分布的峰度為6。

峰度的示意圖如圖3所示，其中第一個(gè)子圖就是峰度為0的情況，第二個(gè)子圖是峰度大于0的情況，第三個(gè)則是峰度小于0。

圖3. 峰度的示意圖

在說完基本概念之后，我們就再講一下怎么基于偏度和峰度進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。這里主要有兩種方法，一是Omnibus檢驗(yàn)，二是Jarque - Bera檢驗(yàn)。

圖4. Omnibus和JB檢驗(yàn)的公式

Omnibus檢驗(yàn)的公式如圖4中公式（3）所示，式中Z1和Z2是兩個(gè)正態(tài)化函數(shù)，g1和g2則分別是偏度和峰度，在Z1和Z2的作用下，K的結(jié)果就接近于卡方分布，我們就能用卡方分布來檢驗(yàn)了。這個(gè)公式的原理比較復(fù)雜，大家如想了解可自行查找相關(guān)資料。

Jarque - Bera檢驗(yàn)的公式如圖4中公式（4）所示，式中n是樣本量，這個(gè)結(jié)果也是接近于卡方分布，其原理也不在這里贅述。這兩個(gè)檢驗(yàn)都是基于所用數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的，即有如下假設(shè)。

原假設(shè)H0：數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。

備擇假設(shè)H1：數(shù)據(jù)不是正態(tài)分布。

下面我們用代碼來說明一下偏度和峰度。

首先看一下數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)很簡(jiǎn)單，只有15行2列。數(shù)據(jù)描述的是火災(zāi)事故的損失以及火災(zāi)發(fā)生地與最近消防站的距離，前者單位是千元，后者單位是千米，數(shù)據(jù)如圖5所示。其中distance指火災(zāi)發(fā)生地與最近消防站的距離，loss指火災(zāi)事故的損失。

圖5. 數(shù)據(jù)示例

下面是代碼，首先導(dǎo)入需要的庫。 

import pandas as pd  
import matplotlib.pyplot as plt  
import statsmodels.stats.api as sms  
import statsmodels.formula.api as smf  
from statsmodels.compat import lzip  
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf 

接下來是讀取數(shù)據(jù)并作圖，這些代碼都非常簡(jiǎn)單，筆者不做過多的解釋。 

file = r'C:\Users\data.xlsx'  
df = pd.read_excel(file)  
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))  
plt.ylabel('Loss')  
plt.xlabel('Distance')  
plt.plot(df['distance'], df['loss'], 'bo-', label='loss')  
plt.legend()  
plt.show() 

結(jié)果如圖6所示，從結(jié)果中我們可以看到這些點(diǎn)大致在一條直線上，那么我們就用一元線性回歸來擬合這些數(shù)據(jù)。

圖6. 數(shù)據(jù)連線圖

下面是生成模型，并輸出模型的結(jié)果。 

expr = 'loss ~ distance'  
results = smf.ols(expr, df).fit() #生成回歸模型  
print(results.summary()) 

結(jié)果如圖7所示。從圖中我們可以看到，Prob (F-statistic)的值為1.25e-08，這個(gè)值非常小，說明我們的一元線性回歸模型是正確的，也就是loss和distance的線性關(guān)系是顯著的。而圖中還可以看到Skew=-0.003，說明這部分?jǐn)?shù)據(jù)非常接近正態(tài)分布，而Kurtosis=1.706，說明我們的數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更陡峭，是一個(gè)尖峰。此外，從圖中還可以看到Omnibus=2.551，Prob(Omnibus)=0.279，Jarque-Bera (JB)=1.047，Prob(JB)=0.592，這里我們很難直接從Omnibus和Jarque-Bera的數(shù)值來判斷是否支持前面的備擇假設(shè)，但我們可以從Prob(Omnibus)和Prob(JB)這兩個(gè)數(shù)值來判斷，因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)值都比較大，那么我們就無法拒絕前面的原假設(shè)，即H0是正確的，說明我們的數(shù)據(jù)是服從正態(tài)分布的。

圖7. 模型結(jié)果說明

接下來我們?cè)衮?yàn)證一下Skew、Kurtosis、Omnibus和Jarque-Bera (JB)這些數(shù)值，用的是statsmodels自帶的方法。代碼如下。 

omnibus_label = ['Omnibus K-squared test', 'Chi-squared(2) p-value']  
omnibus_test = sms.omni_normtest(results.resid) #omnibus檢驗(yàn)  
omnibus_results = lzip(omnibus_label, omnibus_test)  
jb_label = ['Jarque-Bera test', 'Chi-squared(2) p-value', 'Skewness', 'Kurtosis']  
jb_test = sms.jarque_bera(results.resid) #jarque_bera檢驗(yàn)  
jb_results = lzip(jb_label, jb_test)  
print(omnibus_results)  
print(jb_results) 

這里omnibus_label和jb_label是兩個(gè)list，里面包含了我們所要檢驗(yàn)的項(xiàng)目名稱，sms.omni_normtest就是statsmodels自帶的omnibus檢驗(yàn)方法，sms.jarque_bera就是statsmodels自帶的jarque_bera檢驗(yàn)方法。results.resid是殘差值，一共有15個(gè)值，我們的數(shù)據(jù)本身就只有15個(gè)點(diǎn)，這里的每個(gè)殘差值就對(duì)應(yīng)前面的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，sms.omni_normtest和sms.jarque_bera就是通過殘差值來進(jìn)行檢驗(yàn)的。而lzip這個(gè)方法很少見，其用法和python中原生函數(shù)zip差不多，筆者在這里更多地是想讓大家了解statsmodels，所以用了lzip，這里直接用zip也是可以的，至于lzip和zip的區(qū)別，留給大家自行去學(xué)習(xí)。而上面得到的結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看到，我們得到的結(jié)果和前面圖7中的結(jié)果一模一樣。這里用sms.omni_normtest和sms.jarque_bera來進(jìn)行驗(yàn)證，主要是對(duì)前面圖7中的結(jié)果的一個(gè)解釋，幫助大家更好地學(xué)習(xí)statsmodels。

圖8. omnibus和jb檢驗(yàn)的結(jié)果

本文主要通過statsmodels來解釋一下偏度和峰度在數(shù)據(jù)分析中的一些基本應(yīng)用，想要更深入了解偏度、峰度以及statsmodels的讀者，可以自行查閱相關(guān)資料。