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 1. 什么是Holt-Winters

時(shí)間序列是非常常見(jiàn)的數(shù)據(jù)格式，以[時(shí)間，觀測(cè)值]形式表現(xiàn)，如下圖。

現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中如股票走勢(shì)圖，國(guó)家GDP歷年數(shù)據(jù)，機(jī)器cpu利用率，內(nèi)存數(shù)據(jù)等都是時(shí)間序列。對(duì)未來(lái)時(shí)間的觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)是有意義的工作，提前預(yù)知未來(lái)的數(shù)據(jù)的走勢(shì)，可以提前做出行動(dòng)，如預(yù)測(cè)cpu使用率，如果cpu飆高，可以及早進(jìn)行調(diào)整，避免機(jī)器負(fù)載過(guò)高而宕機(jī)，這個(gè)在AIOPS是很常見(jiàn)的一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景。

今天要說(shuō)到Holt-Winters是利用三次指數(shù)平滑來(lái)做時(shí)間序列預(yù)測(cè)的方法。Holt-Winters是綜合了1957年Holt和1960年Winters兩個(gè)人的思路的一種方法。

一次指數(shù)平滑 

我們來(lái)看下，一次指數(shù)平滑如下圖：

可知，si表示第i時(shí)刻的平滑估計(jì)，si可以表示為當(dāng)前實(shí)際值xi和上一時(shí)刻平滑估計(jì)值得加權(quán)組合，權(quán)重由alpha來(lái)決定。那為什么稱為指數(shù)平滑呢？我們來(lái)把式子展開(kāi)，如下：

有點(diǎn)類似泰勒展開(kāi)式的味道

alpha 屬于[0, 1], 越大表示近期的數(shù)據(jù)影響更大

二次指數(shù)平滑：加上趨勢(shì)的因素

一次指數(shù)平滑，沒(méi)有考慮時(shí)間序列的趨勢(shì)和季節(jié)性，二次指數(shù)平滑加上趨勢(shì)因素。

從公式可知，一個(gè)時(shí)間序列的時(shí)刻值分解為baseline部分和趨勢(shì)部分，t表示趨勢(shì)，可以表示為連續(xù)兩個(gè)時(shí)刻的差值；可知，ti也是一次的指數(shù)平滑。

Holt-Winters三次指數(shù)平滑：加上季節(jié)性因素 

在二次指數(shù)平滑基礎(chǔ)上，考慮季節(jié)性因素，就是三次指數(shù)平滑，也就是Holt-Winters。由此，一個(gè)時(shí)間序列的時(shí)刻值分解為baseline部分和趨勢(shì)部分以及季節(jié)部分。由于季節(jié)性，存在周期，比如按周，按月等。pi季節(jié)性為當(dāng)前季節(jié)性值和上一個(gè)周期季節(jié)性估計(jì)值的加權(quán)組合，周期在公式中以k來(lái)表示。如下：

2. Holt-Winters的實(shí)現(xiàn)

從第一部分可知，要實(shí)現(xiàn)Holt-Winters，只要知道：

 •  初始值：s0，t0和p0

 •  合適的參數(shù)：alpha，beta， gamma

 •  套入公式即可完成預(yù)測(cè)

三個(gè)重要參數(shù)：alpha，beta， gamma都屬于[0, 1]之間，要么人為的搜索，要么通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)，通常采用L-BFGS優(yōu)化算法來(lái)擬合數(shù)據(jù)。優(yōu)化算法來(lái)自包scipy.optimize的fmin_l_bfgs_b。 

from __future__ import division  
from sys importexit  
from math import sqrt  
from numpy import array  
from scipy.optimize import fmin_l_bfgs_b  
# 優(yōu)化算法的loss function，即判斷擬合效果，由RMSE MAE等  
def RMSE(params, *args):  
    Y = args[0]  
    type = args[1] 
    rmse = 0  
    alpha, beta, gamma = params  
    m = args[2]       
    a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]  
    b = [(sum(Y[m:2* m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]  
if type == 'additive':  
        s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]  
        y = [a[0] + b[0] + s[0]]  
for i in range(len(Y)):  
            a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1- alpha) * (a[i] + b[i]))  
            b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1- beta) * b[i])  
            s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1- gamma) * s[i])  
            y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])  
    rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2for m, n in zip(Y, y[:-1])]) / len(Y))  
return rmse  
# 加性的時(shí)間序列  
def additive(x, m, fc, alpha = None, beta = None, gamma = None):  
    Y = x[:]  
# 利用fmin_l_bfgs_b來(lái)估計(jì)參數(shù)alpha beta和gamma  
if(alpha == Noneor beta == Noneor gamma == None):  
        initial_values = array([0.3, 0.1, 0.1])  
        boundaries = [(0, 1), (0, 1), (0, 1)]  
        type = 'additive'  
        parameters = fmin_l_bfgs_b(RMSE, x0 = initial_values, args = (Y, type, m), bounds = boundaries, approx_grad = True)  
        alpha, beta, gamma = parameters[0]  
# 初始值 a表示baseline， b表示趨勢(shì)，s表示季節(jié)性，y表示預(yù)測(cè)值， 分別取第一個(gè)周期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為初始值  
    a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]  
    b = [(sum(Y[m:2* m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]  
    s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]  
    y = [a[0] + b[0] + s[0]]  
    rmse = 0  
# 套用上面公式，從0開(kāi)始，fc表示預(yù)測(cè)的數(shù)量，如已知前7天，預(yù)測(cè)接下來(lái)的一個(gè)小時(shí)的數(shù)據(jù)，如果數(shù)據(jù)粒度是5分鐘，fc為12。 
for i in range(len(Y) + fc):  
if i == len(Y):  
# 預(yù)測(cè)值為  
            Y.append(a[-1] + b[-1] + s[-m])  
        a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1- alpha) * (a[i] + b[i])) 
         b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1- beta) * b[i])  
        s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1- gamma) * s[i])  
        y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1]) 
 # 計(jì)算rmse值  
    rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2for m, n in zip(Y[:-fc], y[:-fc - 1])]) / len(Y[:-fc]))  
return y[-fc:], alpha, beta, gamma, rmse 

另外，statsmodels包中也提供的實(shí)現(xiàn)的方法 

from statsmodels.tsa.holtwinters importExponentialSmoothing 

3. Holt-Winters參數(shù)

從上面實(shí)現(xiàn)可知，holt-winters通過(guò)預(yù)估alpha，beta和gamma來(lái)預(yù)測(cè)。算法的關(guān)鍵就是這三個(gè)參數(shù)和初始化值。三個(gè)參數(shù)可以通過(guò)優(yōu)化算法來(lái)預(yù)估，但有可能并不是最優(yōu)的。初始值的設(shè)置除了上面統(tǒng)計(jì)值外，還可以通過(guò)時(shí)序的分解的趨勢(shì)和季節(jié)部分來(lái)初始。 

import numpy as np  
from pandas import read_csv  
import matplotlib.pyplot as plt  
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose  
decomposition = seasonal_decompose(df_clean.bw, model='additive', period=288)  
decomposition.plot() 

Holt-Winters針對(duì)波形比較穩(wěn)定，沒(méi)有突刺的情況下，效果會(huì)比較好。

對(duì)于存在突刺，統(tǒng)一的alpha，beta，gamma不能很好擬合，預(yù)測(cè)可能會(huì)滯后。

4. 總結(jié)

本文分享了時(shí)間序列預(yù)測(cè)算法Holt-Winters以及重要參數(shù)的選擇，希望對(duì)你有幫助。總結(jié)如下：

 •  Holt-Winters是三次指數(shù)平滑，分別為baseline，趨勢(shì)和季節(jié)性；

 •  alpha、beta和gamma分別為baseline，趨勢(shì)和季節(jié)性的指數(shù)加權(quán)參數(shù)，一般通過(guò)優(yōu)化算法L-BFGS估計(jì)

 •  初始化可通過(guò)平均值，也可通過(guò)時(shí)間序列分解得到

 •  周期m或者k的選擇要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)選擇

 •  Holt-Winters針對(duì)波形比較穩(wěn)定，沒(méi)有突刺的情況下，效果會(huì)比較好