關(guān)于二叉樹，你該了解這些......
本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號「代碼隨想錄」，作者程序員Carl。轉(zhuǎn)載本文請聯(lián)系代碼隨想錄公眾號。
二叉樹理論基礎(chǔ)篇
說道二叉樹，大家對于二叉樹其實都很熟悉了，本文呢我也不想教科書式的把二叉樹的基礎(chǔ)內(nèi)容在啰嗦一遍，所以一下我講的都是一些比較重點的內(nèi)容。
相信只要耐心看完，都會有所收獲!
二叉樹的種類
在我們解題過程中二叉樹有兩種主要的形式：滿二叉樹和完全二叉樹。
滿二叉樹
滿二叉樹：如果一棵二叉樹只有度為0的結(jié)點和度為2的結(jié)點，并且度為0的結(jié)點在同一層上，則這棵二叉樹為滿二叉樹。
如圖所示：
這棵二叉樹為滿二叉樹，也可以說深度為k，有2^k-1個節(jié)點的二叉樹。
完全二叉樹
什么是完全二叉樹?
完全二叉樹的定義如下：在完全二叉樹中，除了最底層節(jié)點可能沒填滿外，其余每層節(jié)點數(shù)都達到最大值，并且最下面一層的節(jié)點都集中在該層最左邊的若干位置。若最底層為第 h 層，則該層包含 1~ 2^h -1 個節(jié)點。
大家要自己看完全二叉樹的定義，很多同學(xué)對完全二叉樹其實不是真正的懂了。
我來舉一個典型的例子如題：
相信不少同學(xué)最后一個二叉樹是不是完全二叉樹都中招了。
之前我們剛剛講過優(yōu)先級隊列其實是一個堆，堆就是一棵完全二叉樹，同時保證父子節(jié)點的順序關(guān)系。
二叉搜索樹
前面介紹的樹，都沒有數(shù)值的，而二叉搜索樹是有數(shù)值的了，二叉搜索樹是一個有序樹。
- 若它的左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點的值均小于它的根結(jié)點的值;
- 若它的右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點的值均大于它的根結(jié)點的值;
- 它的左、右子樹也分別為二叉排序樹
下面這兩棵樹都是搜索樹
平衡二叉搜索樹
平衡二叉搜索樹：又被稱為AVL(Adelson-Velsky and Landis)樹，且具有以下性質(zhì)：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。
如圖：
最后一棵 不是平衡二叉樹，因為它的左右兩個子樹的高度差的絕對值超過了1。
C++中map、set、multimap，multiset的底層實現(xiàn)都是平衡二叉搜索樹，所以map、set的增刪操作時間時間復(fù)雜度是logn，注意我這里沒有說unordered_map、unordered_set，unordered_map、unordered_map底層實現(xiàn)是哈希表。
所以大家使用自己熟悉的編程語言寫算法，一定要知道常用的容器底層都是如何實現(xiàn)的，最基本的就是map、set等等，否則自己寫的代碼，自己對其性能分析都分析不清楚!
二叉樹的存儲方式
二叉樹可以鏈?zhǔn)酱鎯?，也可以順序存儲?/p>
那么鏈?zhǔn)酱鎯Ψ绞骄陀弥羔槪?順序存儲的方式就是用數(shù)組。
顧名思義就是順序存儲的元素在內(nèi)存是連續(xù)分布的，而鏈?zhǔn)酱鎯t是通過指針把分布在散落在各個地址的節(jié)點串聯(lián)一起。
鏈?zhǔn)酱鎯θ鐖D：
鏈?zhǔn)酱鎯κ谴蠹液苁煜さ囊环N方式，那么我們來看看如何順序存儲呢?
其實就是用數(shù)組來存儲二叉樹，順序存儲的方式如圖：
用數(shù)組來存儲二叉樹如何遍歷的呢?
如果父節(jié)點的數(shù)組下表是i，那么它的左孩子就是i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。
但是用鏈?zhǔn)奖硎镜亩鏄洌欣谖覀兝斫?，所以一般我們都是用鏈?zhǔn)酱鎯Χ鏄洹?/p>
所以大家要了解，用數(shù)組依然可以表示二叉樹。
二叉樹的遍歷方式
關(guān)于二叉樹的遍歷方式，要知道二叉樹遍歷的基本方式都有哪些。
一些同學(xué)用做了很多二叉樹的題目了，可能知道前中后序遍歷，可能知道層序遍歷，但是卻沒有框架。
我這里把二叉樹的幾種遍歷方式列出來，大家就可以一一串起來了。
二叉樹主要有兩種遍歷方式：
- 深度優(yōu)先遍歷：先往深走，遇到葉子節(jié)點再往回走。
- 廣度優(yōu)先遍歷：一層一層的去遍歷。
這兩種遍歷是圖論中最基本的兩種遍歷方式，后面在介紹圖論的時候 還會介紹到。
那么從深度優(yōu)先遍歷和廣度優(yōu)先遍歷進一步拓展，才有如下遍歷方式：
- 深度優(yōu)先遍歷
- 前序遍歷(遞歸法，迭代法)
- 中序遍歷(遞歸法，迭代法)
- 后序遍歷(遞歸法，迭代法)
- 廣度優(yōu)先遍歷
- 層次遍歷(迭代法)
在深度優(yōu)先遍歷中：有三個順序，前中后序遍歷， 有同學(xué)總分不清這三個順序，經(jīng)常搞混，我這里教大家一個技巧。
這里前中后，其實指的就是中間節(jié)點的遍歷順序，只要大家記住 前中后序指的就是中間節(jié)點的位置就可以了。
看如下中間節(jié)點的順序，就可以發(fā)現(xiàn)，中間節(jié)點的順序就是所謂的遍歷方式
- 前序遍歷：中左右
- 中序遍歷：左中右
- 后序遍歷：左右中
大家可以對著如下圖，看看自己理解的前后中序有沒有問題。
最后再說一說二叉樹中深度優(yōu)先和廣度優(yōu)先遍歷實現(xiàn)方式，我們做二叉樹相關(guān)題目，經(jīng)常會使用遞歸的方式來實現(xiàn)深度優(yōu)先遍歷，也就是實現(xiàn)前中后序遍歷，使用遞歸是比較方便的。
之前我們講棧與隊列的時候，就說過棧其實就是遞歸的一種是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，也就說前中后序遍歷的邏輯其實都是可以借助棧使用非遞歸的方式來實現(xiàn)的。
而廣度優(yōu)先遍歷的實現(xiàn)一般使用隊列來實現(xiàn)，這也是隊列先進先出的特點所決定的，因為需要先進先出的結(jié)構(gòu)，才能一層一層的來遍歷二叉樹。
這里其實我們又了解了棧與隊列的一個應(yīng)用場景了。
具體的實現(xiàn)我們后面都會講的，這里大家先要清楚這些理論基礎(chǔ)。
二叉樹的定義
剛剛我們說過了二叉樹有兩種存儲方式順序存儲，和鏈?zhǔn)酱鎯?，順序存儲就是用?shù)組來存，這個定義沒啥可說的，我們來看看鏈?zhǔn)酱鎯Φ亩鏄涔?jié)點的定義方式。
C++代碼如下：
- struct TreeNode {
- int val;
- TreeNode *left;
- TreeNode *right;
- TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
- };
大家會發(fā)現(xiàn)二叉樹的定義 和鏈表是差不多的，相對于鏈表 ，二叉樹的節(jié)點里多了一個指針， 有兩個指針，指向左右孩子.
這里要提醒大家要注意二叉樹節(jié)點定義的書寫方式。
在現(xiàn)場面試的時候 面試官可能要求手寫代碼，所以數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的定義以及簡單邏輯的代碼一定要鍛煉白紙寫出來。
因為我們在刷leetcode的時候，節(jié)點的定義默認都定義好了，真到面試的時候，需要自己寫節(jié)點定義的時候，有時候會一臉懵逼!
總結(jié)
二叉樹是一種基礎(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在算法面試中都是常客，也是眾多數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基石。
本篇我們介紹了二叉樹的種類、存儲方式、遍歷方式以及定義，比較全面的介紹了二叉樹各個方面的重點，幫助大家掃一遍基礎(chǔ)。
其他語言版本
Java：
- public class TreeNode {
- int val;
- TreeNode left;
- TreeNode right;
- TreeNode() {}
- TreeNode(int val) { this.val = val; }
- TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
- this.val = val;
- this.left = left;
- this.right = right;
- }
- }
Go：
- type TreeNode struct {
- Val int
- Left *TreeNode
- Right *TreeNode
- }
