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現(xiàn)在，AI不僅能參與數(shù)學(xué)研究，甚至還快人一步，開(kāi)始幫助人類(lèi)提出數(shù)學(xué)猜想了。

就在今天，這只由DeepMind與頂級(jí)數(shù)學(xué)家合作研發(fā)的AI，登上了最新一期Nature封面。

有多頂級(jí)呢？這些數(shù)學(xué)家全部都來(lái)自牛津大學(xué)、悉尼大學(xué)，其中還不乏英國(guó)皇家學(xué)會(huì)史上最年輕的院士。

就是這位，曾在兩年內(nèi)斬獲謝瓦萊獎(jiǎng)、克雷研究獎(jiǎng)等4項(xiàng)數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的Geordie Williamson：[[438212]]最新封面：兩大數(shù)學(xué)難題被AI突破！DeepMind YYDS">

對(duì)于這項(xiàng)研究，DeepMind官方自稱(chēng)其“首次證明了人工智能可以走在純數(shù)學(xué)研究的前沿”。

為什么這次的研究被Nature評(píng)價(jià)為「AI與人類(lèi)合作」甚至是「AI指引人類(lèi)直覺(jué)」，與「人類(lèi)使用AI工具」有何不同？

首先我們要知道，證偽一個(gè)猜想相對(duì)簡(jiǎn)單，只需要找出一個(gè)反例即可。

但從零開(kāi)始提出一個(gè)全新猜想這種工作，AI還是首次參與進(jìn)來(lái)。

猜想本身是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的一大動(dòng)力，世界近代三大數(shù)學(xué)難題都是猜想：費(fèi)馬猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。

此前提出猜想主要靠少數(shù)科學(xué)家的洞察力和個(gè)人經(jīng)驗(yàn)積累，比如歷史上兩位天才，物理學(xué)家愛(ài)因斯坦和數(shù)學(xué)家拉馬努金。

但隨著科學(xué)不斷發(fā)展，需要研究的問(wèn)題復(fù)雜程度逐漸超出人類(lèi)能力極限。

有的問(wèn)題涉及的數(shù)據(jù)規(guī)模，是一個(gè)人一輩子也研究不完的。

有的研究對(duì)象復(fù)雜程度之高，甚至可以有幾千個(gè)維度，超出了一般人類(lèi)大腦從直覺(jué)上可以理解的能力。

除此之外，這次研究也幫忙搞了搞數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)存在了40年的陳年老題，得到了不小進(jìn)展。

參與這次研究的數(shù)學(xué)家之一，牛津大學(xué)的Marc Lackenby說(shuō)：

我很震驚機(jī)器學(xué)習(xí)在直覺(jué)指引上的作用這么大，也沒(méi)想到我過(guò)去先入為主的一些觀念被AI給顛覆了。

沒(méi)有參與這次研究的另一位數(shù)學(xué)家，以色列特拉維夫大學(xué)的Adam Zsolt Wagner也很羨慕：

如果沒(méi)有這個(gè)工具，我們數(shù)學(xué)工作者可能會(huì)花上數(shù)周至數(shù)月的時(shí)間，最終發(fā)現(xiàn)證明的公式或定理是錯(cuò)誤的 。”

那么，AI這次到底幫助數(shù)學(xué)家們解決了哪些問(wèn)題？下面來(lái)一探究竟。

AI發(fā)現(xiàn)代數(shù)和幾何間的聯(lián)系

第一個(gè)問(wèn)題關(guān)于紐結(jié)理論（Knot Theory），是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)講，紐結(jié)是一個(gè)圓在三維實(shí)歐氏空間中的嵌入。

呃……還是看圖吧。

假設(shè)你有一根繩子，打上一個(gè)結(jié)。

再把兩端粘起來(lái)，這就是一個(gè)紐結(jié) （Knot）了。

結(jié)可以多打幾個(gè)，比如這樣：

或者，這樣？

數(shù)學(xué)家倒是不關(guān)心紐結(jié)到底是用鞋帶還是面包做的，他們最關(guān)心一件事：

一個(gè)復(fù)雜的紐結(jié)能不能被還原成簡(jiǎn)單的紐結(jié)，如果能就說(shuō)明這兩種紐結(jié)在拓?fù)渖鲜?strong>等價(jià)的。

以此為依據(jù)給紐結(jié)分類(lèi)，才能理解它們的性質(zhì)，進(jìn)一步與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題建立聯(lián)系。

紐結(jié)理論在現(xiàn)實(shí)世界中，可以用來(lái)確定一個(gè)化學(xué)分子是否有手性，還有希望靠拓?fù)淞孔佑?jì)算模型構(gòu)建出量子計(jì)算機(jī)。

數(shù)學(xué)家們從幾何特征和代數(shù)特征兩個(gè)角度去研究紐結(jié)，分別定義了紐結(jié)的幾個(gè)屬性。

但問(wèn)題難就難在紐結(jié)的種類(lèi)太多，自19世紀(jì)以來(lái)人類(lèi)已經(jīng)收集了無(wú)數(shù)種，如果用上計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成，現(xiàn)在每天都能生成幾十億種。

普通人難以從海量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)隱藏的模式，AI這次卻做到了。

AI的貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了紐結(jié)的幾何特征和代數(shù)特征之間存在直接的關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)家由此發(fā)現(xiàn)提出猜想，再給出嚴(yán)格證明，為紐結(jié)問(wèn)題研究開(kāi)辟了新的方向。

40年難題終于有望得證

除了解決了扭結(jié)問(wèn)題之外，另一個(gè)則與表示論 （Representation theory）相關(guān)。

表示論是數(shù)學(xué)中抽象代數(shù)的一支，表示的所有構(gòu)件都不可約。

而這種不可約表示（Irreducible representations）的結(jié)構(gòu)主要受Kazhdan-Lusztig（KL）多項(xiàng)式的影響。

組合不變性猜想（Combinatorial Invariance Conjecture）就是與KL多項(xiàng)式相關(guān)的一個(gè)重要猜想。

它指出，對(duì)稱(chēng)群SN中兩個(gè)元素的KL多項(xiàng)式可以從它們的無(wú)標(biāo)記Bruhat區(qū)間，即一個(gè)有向圖中計(jì)算出來(lái)：

這一猜想已經(jīng)存在了40年，卻只有部分進(jìn)展。

兩位科學(xué)家將這個(gè)猜想作為初始假設(shè)，通過(guò)AI中的監(jiān)督學(xué)習(xí)模型從Bruhat區(qū)間預(yù)測(cè)KL多項(xiàng)式。

通過(guò)計(jì)算與確定的歸因技術(shù)（Attribution Techniques）相關(guān)的代表性子圖，并分析這些圖與原始圖的邊緣分布，他們發(fā)現(xiàn)了進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)證據(jù)：

如下圖，KL多項(xiàng)式可以通過(guò)一個(gè)公式直接從超立方體和SN-1部分計(jì)算出來(lái)。

因此，科學(xué)家們提出猜想：

一個(gè)無(wú)標(biāo)記的Bruhat區(qū)間的KL多項(xiàng)式可以用上述的方法，并通過(guò)任何超立方體分解（hypercube decomposition）進(jìn)行計(jì)算。

雖然還沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)格證明，但目前他們已能在300萬(wàn)個(gè)測(cè)試?yán)由向?yàn)證這一方法。

如果驗(yàn)證成立，那么對(duì)稱(chēng)群（Symmetric Group）的組合不變性猜想問(wèn)題將得到解決。

AI引導(dǎo)數(shù)學(xué)家直覺(jué)

那么整體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)家們到底是怎么與AI合作解決問(wèn)題的？

或者說(shuō)AI到底是如何幫助引導(dǎo)數(shù)學(xué)家的直覺(jué)的呢？

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，這篇論文中提出了一種框架，用來(lái)快速驗(yàn)證對(duì)兩個(gè)量之間關(guān)系的猜想（直覺(jué)）是否值得繼續(xù)探索，如果是的話(huà)，則指導(dǎo)如何進(jìn)一步研究。

具體的，先通過(guò)監(jiān)督學(xué)習(xí)來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)對(duì)象中的某一結(jié)構(gòu)/模式的假設(shè)是存在的。

然后，再使用歸因技術(shù)來(lái)深入理解這些模式。

在這個(gè)過(guò)程中，AI能夠以人類(lèi)無(wú)法比擬的規(guī)模輸出數(shù)據(jù)，并從數(shù)據(jù)中挑選出人類(lèi)無(wú)法檢測(cè)到的模式。

這正是AI和人類(lèi)合作與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法的不同。

其實(shí)，數(shù)學(xué)在很大程度上是一門(mén)對(duì)關(guān)系和模式進(jìn)行研究的學(xué)科。

比如我們小學(xué)時(shí)就學(xué)過(guò)的勾股定理，如果將平面上的三角形擴(kuò)展到八維空間中的900邊多面體，還能輕易找到a2+b2=c2的等價(jià)形式嗎？

答案是：數(shù)學(xué)家們可以找到，但他們能做的工作量有限。

因?yàn)橐粋€(gè)人必須評(píng)估許多例子，然后才能確定觀察到的公式是普遍通用而非偶然。

當(dāng)然，這篇論文也并不打算創(chuàng)造一個(gè)“通用的純數(shù)學(xué)助手”，而是讓AI去幫助數(shù)學(xué)家更有效地發(fā)現(xiàn)和識(shí)別數(shù)學(xué)中的新模式。

論文的作者之一，牛津大學(xué)的Juhász教授表示：

任何可以生成足夠大數(shù)據(jù)集的數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以使用這種方法，而生物、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域也將從其中收益。

除了Nature論文外，研究人員還在Arxiv上發(fā)布了數(shù)學(xué)角度解釋兩個(gè)研究的論文，將來(lái)會(huì)投到合適的數(shù)學(xué)期刊。

另外還為兩個(gè)問(wèn)題提供了Colab代碼，讓你體驗(yàn)一下與AI合作搞科研是什么感覺(jué)。

論文鏈接：
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
https://arxiv.org/abs/2111.15323
https://arxiv.org/abs/2111.15161

Colab地址：
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/knot_theory.ipynb
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/representation_theory.ipynb