近日，劍橋?qū)W者在《美國科學院院報》（PNAS）上發(fā)表了一篇名為“The Difficulty of Computing Stable and Accurate Neural Networks: On the Barriers of Deep Learning and Smale's 18th Problem”的文章，提出了一個有趣的發(fā)現(xiàn)：

研究者可以證明存在具有良好近似質(zhì)量的神經(jīng)網(wǎng)絡，但不一定存在能夠訓練（或計算）這類神經(jīng)網(wǎng)絡的算法。

論文地址：http://www.damtp.cam.ac.uk/user/mjc249/pdfs/PNAS_Stable_Accurate_NN.pdf

這與圖靈的觀點相似：無論計算能力和運行時間如何，計算機都可能無法解決一些問題。也就是說，哪怕再優(yōu)秀的神經(jīng)網(wǎng)絡，也可能無法對現(xiàn)實世界進行準確的描述。

不過，這并不表明所有的神經(jīng)網(wǎng)絡都是有缺陷的，而是它們僅僅在特定情況下才能達到穩(wěn)定和準確的狀態(tài)。

研究團隊通過引入一個經(jīng)典逆問題，提出了一個分類理論，用來描述哪些神經(jīng)網(wǎng)絡可以通過算法進行計算，對「人工智能可以做什么和不可以做什么」這一歷史性問題給出了一個新的答案。

同時，他們開發(fā)了一個新的模型——「快速迭代重啟網(wǎng)絡」（FIRENETs），能夠在應用場景中同時保證神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性和準確性。一方面，F(xiàn)IRENETs 所計算的神經(jīng)網(wǎng)絡在對抗擾動方面具有穩(wěn)定性，還能夠?qū)⒉环€(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡變得穩(wěn)定；另一方面，它在保持穩(wěn)定性的前提下還取得了高性能和低漏報率。

以下是對該工作的簡單介紹：

1 研究背景

深度學習 (DL) 取得了前所未有的成功，現(xiàn)在正全力進入科學計算領域。然而，盡管通用的逼近特性可以保證穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡 (NN) 的存在，但當前的深度學習方法往往存在不穩(wěn)定性。這個問題使得深度學習在現(xiàn)實生活中的落地充滿危險。

比方說，F(xiàn)acebook（Meta）和紐約大學于2019年的 FastMRI 挑戰(zhàn)賽中曾稱，在標準圖像質(zhì)量指標方面表現(xiàn)良好的網(wǎng)絡容易出現(xiàn)漏報，無法重建微小但具有物理相關(guān)性的圖像異常。2020年 FastMRI 挑戰(zhàn)賽將重點放在病理上，又指出:「這種虛幻的特征是不可接受的，尤其如果它們模擬的是正常結(jié)構(gòu)，而這些結(jié)構(gòu)要么不存在，要么實際上是異常的，那就非常有問題。正如對抗擾動研究所證明的，神經(jīng)網(wǎng)絡模型可能是不穩(wěn)定的」。顯微鏡學中也存在類似的例子。

在不同的應用場景中，對誤報率和漏報率的容忍度是不同的。對于具有高錯誤分析成本的場景，必須避免這種誤報和漏報。因此，在醫(yī)療診斷等應用場景中，人工智能的「幻覺」可能存在非常嚴重的危險。

對于該問題，經(jīng)典的近似定理表明，連續(xù)函數(shù)可以用神經(jīng)網(wǎng)絡很好地任意逼近。因此，用穩(wěn)定函數(shù)描述的穩(wěn)定問題往往可以用神經(jīng)網(wǎng)絡穩(wěn)定地解決。這就產(chǎn)生了這樣一個基礎性問題:

為什么有些場景已被證明存在穩(wěn)定、準確的神經(jīng)網(wǎng)絡，深度學習還會出現(xiàn)不穩(wěn)定的方法和由 AI 生成的「幻覺」？

為了回答這個問題，研究者們啟動了研究，希望確定深度學習在逆問題中所能達到的極限。

此外，深度學習中的神經(jīng)網(wǎng)絡還存在穩(wěn)定性和準確性的權(quán)衡問題。穩(wěn)定性差是現(xiàn)代人工智能的致命弱點，這方面也有一個悖論：盡管存在穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡，但訓練算法仍能發(fā)現(xiàn)不穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡。這個基礎性問題與Steven Smale 在1998年就人工智能極限提出的第18個數(shù)學問題有關(guān)。

計算穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡并不困難，例如，零網(wǎng)絡就是穩(wěn)定的，但它準確度不高，因而不是特別有用。最大的問題是：如何計算既穩(wěn)定又準確的神經(jīng)網(wǎng)絡？科學計算本身基于穩(wěn)定性和準確性，然而，兩者之間往往存在取舍，有時必須犧牲準確性以確保穩(wěn)定性。

2 分類理論：計算穩(wěn)定NN的算法的存在條件

針對上述問題，作者團隊提出了一種分類理論，描述了達到一定準確度（且穩(wěn)定）的神經(jīng)網(wǎng)絡可以被算法計算的充分條件。

他們從一個線性方程組欠定系統(tǒng)的經(jīng)典逆問題出發(fā)：

在這里，A∈Cm ×N 表示采樣模型（m < N），比如 MRI 中的下采樣離散傅里葉變換，x表示未知量。矢量 e 對噪聲或擾動進行建模。該方程 1 所展示的問題是許多逆問題和圖像分析的基礎。

基于定理1和定理2（定理詳情見論文），他們指出這樣一個悖論性問題：

存在從訓練數(shù)據(jù)到合適的神經(jīng)網(wǎng)絡的映射，但沒有訓練算法（即使是隨機的算法）可以從訓練數(shù)據(jù)中計算神經(jīng)網(wǎng)絡的近似值。

對此，該論文的其中一位作者Hansen做了一個類比：「可能存在一種蛋糕，但卻不存在制作它的配方」。他認為，問題不在于「配方」，而是在于制作蛋糕所必須的「工具」，有可能無論你使用什么攪拌機，都無法制作出想要的蛋糕，但在某些情況下，也有可能你自家廚房里的攪拌機就足夠了。

那么是在什么情況下呢？研究團隊對計算神經(jīng)網(wǎng)絡的算法進行了分類，解釋了什么條件下計算神經(jīng)網(wǎng)絡的算法才會存在（這也可以類比為：哪些蛋糕可以用具有物理設計可能性的攪拌機來制作）：

定理2

計算神經(jīng)網(wǎng)絡的算法是否存在取決于期望的精度。對于任意正整數(shù) K > 2 和 L，存在良態(tài)問題類，同時有以下情況：

a）不存在隨機訓練算法（即便是隨機的算法）能以超過 50% 的概率計算出具有 K 位精度的神經(jīng)網(wǎng)絡；

b）存在一種確定的訓練算法，可以計算具有 K-1 位精度的神經(jīng)網(wǎng)絡，但需要大量的訓練數(shù)據(jù)；

c）存在一種確定的訓練算法，可以使用不超過 L 個訓練樣本計算具有 K-2 位精度的神經(jīng)網(wǎng)絡。

這表明，一些基礎性的、本質(zhì)性的障礙阻止了神經(jīng)網(wǎng)絡被算法計算。這也是為什么一些場景中存在穩(wěn)定而準確的神經(jīng)網(wǎng)絡，但深度學習仍會出現(xiàn)「幻覺」的原因。

3 FIRENETs：平衡穩(wěn)定性與準確性

神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性與準確性之間存在權(quán)衡問題，一個穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡在逆問題中的性能表現(xiàn)往往是有限的。這在圖像重建中尤其突出，當前深度學習重建圖像的方法會出現(xiàn)不穩(wěn)定性，這體現(xiàn)在：

1）在圖像或抽樣域中的一個微小擾動就可能在重建圖像中產(chǎn)生嚴重的偽影；

2）圖像域中的一個微小細節(jié)可能會在重建圖像中被洗掉（缺乏準確性），導致潛在的漏報。

這類線性逆問題導致深度學習方法在穩(wěn)定性與準確性之間的不平衡，使得任何圖像重建方法都無法在不犧牲準確性的情況下保持較高的穩(wěn)定性，反之亦然。

為了解決這個問題，研究團隊引入一種「快速迭代重啟網(wǎng)絡」（FIRENETs）。經(jīng)證明與數(shù)值驗證，F(xiàn)IRENETs 十分穩(wěn)定。他們發(fā)現(xiàn)：在特定條件下，比如在 MRI中 ，有一些算法可以為方程1中的問題計算穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡。

關(guān)鍵是，他們證明了 FIRENETs 對擾動具有魯棒性，甚至可用來使不穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡變得穩(wěn)定。

FIRENETs對擾動具有魯棒性

在穩(wěn)定性測試中，團隊將 FIRENETs 與V. Antun等人（2020）開發(fā)的AUTOMAP網(wǎng)絡進行對比。如下圖中的上行所示，AUTOMAP網(wǎng)絡重建很不穩(wěn)定，導致圖像完全變形。下行則是使用FIRENETs網(wǎng)絡的重建結(jié)果。即使在最差的重建結(jié)果中，它仍然保持穩(wěn)定。

這證明了由FIRENETs算法所計算的神經(jīng)網(wǎng)絡在小波中稀疏的圖像中，在對抗擾動方面具有穩(wěn)定性，而且同時能夠維持一定的準確性。

FIRENETs的穩(wěn)定器作用

同時，F(xiàn)IRENETs也起到了一個穩(wěn)定器的作用。比如在下圖中，將來自AUTOMAP的重建輸入到FIRENETs，結(jié)果顯示，F(xiàn)IRENETs修正了AUTOMAP的輸出并將重建加以穩(wěn)定化。

圖注：在AUTOMAP 的末端添加一些FIRENET層使其穩(wěn)定。最左邊是AUTOMAP的重建。左二是x0 = Ψ( ?y)的FIRENET 的重建。右二是 ?y = Ax + e3時FIRENET 的重建。最右邊是輸入AUTOMAP 的測量值后FIRENET的重建。

FIRENETs兼具穩(wěn)定性與準確性

在下圖中，一個在包含橢圓形狀的圖像上訓練的 U-Net 很穩(wěn)定，但是，當添加一個原先不包含在訓練集中的細節(jié)后，U-Net 的穩(wěn)定性就會受到極大影響。

圖注：性能有限的神經(jīng)網(wǎng)絡經(jīng)過訓練是可以具有穩(wěn)定性的?？紤]三個重建網(wǎng)絡Φj : Cm → CN , j = 1, 2, 3。對于每一個網(wǎng)絡,計算一個擾動值wj∈CN，旨在模擬最壞的效果，并在左列展示了一個經(jīng)裁剪的攝動圖像x + wj （第二至四行）。中間一列（第二至四行）顯示了每一個網(wǎng)絡的重建圖像 Φj(A(x + wj)）。在右列，以“Can u see it?”的文本形式測試了網(wǎng)絡對微小細節(jié)h1的重建能力。

可以看到，在有噪聲測量值條件下訓練的網(wǎng)絡對于最壞情況下的擾動保持穩(wěn)定，但并不準確。相反，無噪聲訓練的網(wǎng)絡是準確的，但不穩(wěn)定。而FIRENET實現(xiàn)了二者的平衡，對于小波稀疏且在最壞情況下的穩(wěn)定圖像來說，它仍是準確的。

但這并不是故事的結(jié)局，在現(xiàn)實生活中的應用場景中，找出穩(wěn)定性與精度之間的最優(yōu)權(quán)衡是最重要的，這無疑需要無數(shù)種不同的技術(shù)來解決不同的問題和穩(wěn)定性誤差。