在深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域，標(biāo)量、向量、矩陣和張量是不可或缺的基本概念。它們不僅是數(shù)學(xué)工具，更是理解和構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵。從簡單的標(biāo)量運(yùn)算到復(fù)雜的張量處理，這些概念貫穿于數(shù)據(jù)表示、模型構(gòu)建和算法優(yōu)化的全過程。本文將簡要介紹這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，幫助讀者更好地理解它們在深度學(xué)習(xí)中的作用和應(yīng)用。

1、標(biāo)量

定義：僅包含一個數(shù)值的量，像北京溫度 52°F，其中 52 就是標(biāo)量。在數(shù)學(xué)里，標(biāo)量變量常用普通小寫字母（如 x、y、z）表示 ，所有（連續(xù)）實數(shù)標(biāo)量的空間用 R 表示，x ∈ R 表示 x 是實值標(biāo)量。

表示與運(yùn)算：由只有一個元素的張量表示。通過代碼能對其進(jìn)行加、乘、除、指數(shù)等算術(shù)運(yùn)算。

示例：

import torch
x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)
x + y, x * y, x / y, x**y

結(jié)果：

2、向量

定義：可看作標(biāo)量值組成的列表，其元素或分量具有實際意義。在數(shù)學(xué)表示法中，向量通常記為粗體、小寫符號（如），通過一維張量表示。

表示與運(yùn)算：用下標(biāo)引用元素，如。向量默認(rèn)方向是列向量。

示例：

x = torch.arange(4)
x

結(jié)果：

向量長度通常稱為向量的維度，與普通的Python數(shù)組一樣，可以通過調(diào)用Python的內(nèi)置len()函數(shù)來訪問張量的長度。

當(dāng)用張量表示一個向量（只有一個軸）時，也可以通過.shape屬性訪問向量的長度。 形狀（shape）是一個元素組，列出了張量沿每個軸的長度（維數(shù)）。 對于只有一個軸的張量，形狀只有一個元素。

x.shape
# 結(jié)果：torch.Size([4])

注意，維度（dimension）這個詞在不同上下文時往往會有不同的含義，這經(jīng)常會使人感到困惑。 為了清楚起見，明確：向量或軸的維度被用來表示向量或軸的長度，即向量或軸的元素數(shù)量。 然而，張量的維度用來表示張量具有的軸數(shù)。 在這個意義上，張量的某個軸的維數(shù)就是這個軸的長度。

3、矩陣

定義：是向量從一階到二階的推廣，通常用粗體、大寫字母（如

表示：矩陣元素用表示，可通過行、列索引訪問。

當(dāng)調(diào)用函數(shù)來實例化張量時， 可以通過指定兩個分量m和n來創(chuàng)建一個形狀為的矩陣。

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

結(jié)果：

交換矩陣的行和列時，結(jié)果稱為矩陣的轉(zhuǎn)置（transpose）。 通常用來表示矩陣的轉(zhuǎn)置：

A.T

結(jié)果：

4、張量

定義：就像向量是標(biāo)量的推廣，矩陣是向量的推廣一樣，張量是描述具有任意數(shù)量軸的n維數(shù)組的通用方法，可以構(gòu)建具有更多軸的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 例如，向量是一階張量，矩陣是二階張量。

表示與運(yùn)算：尤其在處理圖像等數(shù)據(jù)時，張量變得更加重要。一般來說，圖像以n維數(shù)組形式出現(xiàn)， 其中3個軸對應(yīng)于高度、寬度，以及一個通道（channel）軸， 用于表示顏色通道（紅色、綠色和藍(lán)色）。

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X

結(jié)果：

5、張量算法的基本性質(zhì)

張量算法的基本性質(zhì)在深度學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，它包括按元素運(yùn)算的形狀不變性、張量間運(yùn)算結(jié)果的形狀規(guī)律、與標(biāo)量運(yùn)算的特點，以及降維、非降維求和與累積求和等操作特性。這些性質(zhì)貫穿于深度學(xué)習(xí)的各類計算中，對理解和運(yùn)用深度學(xué)習(xí)模型起著關(guān)鍵作用，具體如下：

按元素運(yùn)算的形狀不變性

從按元素操作的定義可知，任何按元素的一元運(yùn)算都不會改變其操作數(shù)的形狀。例如，對一個張量進(jìn)行取絕對值、平方等一元運(yùn)算，運(yùn)算后的張量形狀與原張量保持一致。這一性質(zhì)確保了在對張量的每個元素進(jìn)行單獨操作時，數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)不會被破壞，為后續(xù)基于張量形狀的計算和處理提供了穩(wěn)定性。

張量間運(yùn)算結(jié)果的形狀規(guī)律

給定具有相同形狀的任意兩個張量，任何按元素二元運(yùn)算的結(jié)果都將是相同形狀的張量。

兩個相同形狀的矩陣相加，會在這兩個矩陣上執(zhí)行元素加法，得到的結(jié)果矩陣形狀與原矩陣相同。這一性質(zhì)使得在進(jìn)行張量間的批量運(yùn)算時，無需擔(dān)心形狀不匹配的問題，提高了計算的效率和準(zhǔn)確性。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通過分配新內(nèi)存，將A的一個副本分配給B
A, A + B

與標(biāo)量運(yùn)算的特點

將張量乘以或加上一個標(biāo)量不會改變張量的形狀，其中張量的每個元素都將與標(biāo)量相加或相乘。這種特性在深度學(xué)習(xí)中常用于對張量進(jìn)行縮放或平移操作，以調(diào)整數(shù)據(jù)的分布或特征的強(qiáng)度。

a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape

降維操作

求和降維：可以對任意張量進(jìn)行元素求和操作，默認(rèn)情況下，調(diào)用求和函數(shù)會沿所有的軸降低張量的維度，使它變?yōu)橐粋€標(biāo)量。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
A.sum()
# 結(jié)果：tensor(190.))

也可指定張量沿某一個軸來通過求和降低維度， 以矩陣為例，為了通過求和所有行的元素來降維（軸0），可以在調(diào)用函數(shù)時指定axis=0。

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
# 結(jié)果：(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

指定axis=1將通過匯總所有列的元素降維（軸1）

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
# 結(jié)果：(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

對于一個三維張量，軸（axis）的定義如下：

軸0（axis=0）：通常表示張量中的第一個維度，可以理解為不同的數(shù)據(jù)樣本或者批次（batch）。

軸1（axis=1）：通常表示張量中的第二個維度，可以理解為數(shù)據(jù)的行。

軸2（axis=2）：通常表示張量中的第三個維度，可以理解為數(shù)據(jù)的列。

平均值計算：平均值是與求和相關(guān)的量，通過將總和除以元素總數(shù)來計算。計算平均值的函數(shù)也可沿指定軸降低張量的維度。如A.mean(axis = 0)計算矩陣 A 按列的平均值，A.mean()計算所有元素的平均值。

A.mean(), A.sum() / A.numel() # 結(jié)果：(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0] # 結(jié)果：(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

非降維求和與累積求和

非降維求和：有時在調(diào)用函數(shù)計算總和或均值時保持軸數(shù)不變很有用。

例如sum_A = A.sum(axis = 1, keepdims = True)，對矩陣 A 按行求和后仍保持兩個軸，結(jié)果形狀為 (5, 1) 。

sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A

由于 sum_A 在對每行進(jìn)行求和后仍保持兩個軸，這樣可以通過廣播將 A 除以 sum_A，實現(xiàn)按行的歸一化等操作。

A / sum_A

沿某個軸計算 A 元素的累積總和， 比如 axis=0 （按行計算），可以調(diào)用 cumsum 函數(shù)。 此函數(shù)不會沿任何軸降低輸入張量的維度。

累積求和：沿某個軸計算張量元素的累積總和，如A.cumsum(axis = 0)按行計算累積總和，此函數(shù)不會沿任何軸降低輸入張量的維度。在分析時間序列數(shù)據(jù)或逐步累加的特征時，累積求和操作能幫助獲取數(shù)據(jù)的累積趨勢和狀態(tài)。

A.cumsum(axis=0)

點積（Dot Product）

給定兩個向量， 它們的點積（dot product）（或） 是相同位置的按元素乘積的和：。

1.torch.dot

功能：torch.dot用于計算兩個一維向量的點積（Dot Product）。
 輸入要求：兩個輸入必須是一維向量（即形狀為(n,)的張量），且長度相同。
 輸出：返回一個標(biāo)量，表示兩個向量的點積。
 
 
 
 
 
 import torcha = torch.tensor([1, 2, 3])b = torch.tensor([4, 5, 6])dot_product = torch.dot(a, b)print("點積結(jié)果：", dot_product)  # 輸出：32

torch.dot用于計算兩個一維向量的點積（Dot Product）。
import torch
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([4, 5, 6])
dot_product = torch.dot(a, b)
print("點積結(jié)果：", dot_product)  # 輸出：32

2.torch.matmul

• 功能：torch.matmul用于計算兩個張量的矩陣乘積（Matrix Product），支持一維向量、二維矩陣以及更高維度張量的乘法。
• 輸入要求：
  對于一維向量，torch.matmul會將它們視為行向量和列向量，計算它們的矩陣乘積。
  對于二維矩陣，torch.matmul計算矩陣乘法。
  對于高維度張量，torch.matmul會計算批量矩陣乘積。
• 輸出：返回一個張量，形狀根據(jù)輸入張量的形狀決定。

import torch
# 一維向量
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([4, 5, 6])
# torch.matmul 會將一維向量視為行向量和列向量，計算矩陣乘積
matmul_result = torch.matmul(a, b)
print("矩陣乘積結(jié)果：", matmul_result)  # 輸出：32
# 二維矩陣
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
B = torch.tensor([[5, 6], [7, 8]])
matrix_product = torch.matmul(A, B)
print("矩陣乘積結(jié)果：\n", matrix_product)
# 輸出：
# tensor([[19, 22],
#         [43, 50]])

對于一維向量
torch.dot(a, b)
torch.matmul(a, b)
torch.dot
torch.matmul
(1,)

對于二維及高維矩陣：torch.matmul可以計算矩陣乘積，但torch.dot不能用于二維矩陣。

Hadamard積

兩個矩陣的按元素乘法稱為Hadamard積（Hadamard product）（數(shù)學(xué)符號

A * B

在深度學(xué)習(xí)中，Hadamard 積和點積的應(yīng)用場景

Hadamard 積是指兩個相同維度的張量逐元素相乘，通常用于以下場景：

1. 激活函數(shù)的逐元素操作：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，激活函數(shù)（如 ReLU、Sigmoid 或 Tanh）通常對輸入張量逐元素應(yīng)用。這種操作可以看作是輸入張量與一個逐元素的非線性函數(shù)的 Hadamard 積。例如，output = activation(input)，其中activation是逐元素的非線性函數(shù)。
2. 特征融合：在多特征融合時，Hadamard 積可以用于將不同來源的特征逐元素相乘，從而實現(xiàn)特征的加權(quán)融合。例如，在某些注意力機(jī)制中，通過 Hadamard 積對特征進(jìn)行加權(quán)，以突出重要特征。
3. LSTM 門控機(jī)制：在長短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LSTM）中，Hadamard 積用于計算遺忘門和輸入門的輸出。遺忘門和輸入門的輸出通過 Hadamard 積逐元素作用于細(xì)胞狀態(tài)。具體公式為：。
4. 圖像處理：在圖像處理中，Hadamard 積可以用于圖像融合。例如，將不同波段的圖像逐元素相乘，以增強(qiáng)特定的光譜特征。此外，Hadamard 積還可以用于圖像濾波，通過逐元素相乘實現(xiàn)特定的濾波效果。

點積通常用于計算兩個向量的相似度或進(jìn)行線性變換，常見于以下場景：

1. 注意力機(jī)制：點積在注意力機(jī)制中廣泛使用，用于計算查詢（query）和鍵（key）之間的相似度。例如，在點積注意力機(jī)制中，通過計算查詢和鍵的點積來生成注意力權(quán)重。具體公式為：。
2. 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）：在卷積層中，卷積核與輸入特征圖的卷積操作本質(zhì)上是點積計算。每個神經(jīng)元與輸入特征圖上的一個小區(qū)域進(jìn)行點積運(yùn)算，從而提取出有用的特征。
3. 特征向量的相似度計算：在自然語言處理（NLP）中，詞向量之間的點積可以用于計算詞與詞之間的相似度。例如，通過點積計算兩個詞向量的相似度，進(jìn)而實現(xiàn)文本分類和情感分析。
4. 正則化：在 L2 正則化（權(quán)重衰減）中，點積用于計算權(quán)重矩陣的 Frobenius 范數(shù)。具體來說，權(quán)重矩陣與自身的點積（即 Frobenius 內(nèi)積）用于正則化項。

總結(jié)：

• Hadamard 積：適用于逐元素操作，如激活函數(shù)、特征融合、LSTM 門控機(jī)制和圖像處理。
• 點積：適用于計算向量相似度、卷積操作、注意力機(jī)制和正則化。

矩陣-向量積

定義：設(shè)矩陣，向量，那么矩陣 - 向量積是一個m維向量。其計算方式是y的第i個元素，其中是矩陣A的第i行第j列的元素，是向量x的第j個元素。

幾何意義：矩陣 - 向量積可以看作是對向量x進(jìn)行線性變換，將其從n維空間映射到m維空間。例如，在二維平面中，一個2×2的矩陣可以對平面上的向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放等操作。

計算示例：

• 設(shè)矩陣，向量。
• 則。

torch.mv(A, x)

矩陣-矩陣乘法

定義：設(shè)矩陣，矩陣，則矩陣C=AB是一個m×p的矩陣，其中C的第i行第j列的元素。這意味著C的每個元素是A的對應(yīng)行與B的對應(yīng)列的元素乘積之和。

幾何意義：矩陣 - 矩陣乘法可以表示多個線性變換的復(fù)合。例如，先進(jìn)行一個旋轉(zhuǎn)變換，再進(jìn)行一個縮放變換，這兩個變換對應(yīng)的矩陣相乘就得到了表示這兩個變換復(fù)合效果的矩陣。

計算示例：

• 設(shè)矩陣，矩陣。
• 則。

torch.mm(A, B)