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250多年來，數(shù)學(xué)家們一直試圖“爆破”一些物理學(xué)中最重要的方程式，比如描述流體流動(dòng)的歐拉方程。如果他們成功，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某種情況下方程會(huì)被爆破——比如可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)無限快地旋轉(zhuǎn)的漩渦，或者出現(xiàn)一個(gè)突然停止又突然流動(dòng)的電流，或者是出現(xiàn)一個(gè)以無限快的速度掠過的電子。超過這個(gè)爆發(fā)點(diǎn)——也就是“奇點(diǎn)”——方程將不再有解。這些方程甚至將無法描述這個(gè)世界的理想情況，數(shù)學(xué)家們有理由懷疑這些流體行為的模型到底是否可靠。

奇點(diǎn)正如其所要描述的流體一樣滑溜而不可捉摸。為了找到答案，數(shù)學(xué)家們通常會(huì)把控制流體流動(dòng)的方程式輸入計(jì)算機(jī)，然后進(jìn)行數(shù)字模擬。他們從一組初始條件開始，然后觀察，直到某個(gè)量的值——比如速度，或者渦度——開始瘋狂地增長(zhǎng)，似乎在朝著爆炸的方向發(fā)展。

但是計(jì)算機(jī)無法確定地發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)，原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)橛?jì)算機(jī)無法處理無限值。如果奇點(diǎn)存在，計(jì)算機(jī)模型可能會(huì)接近方程被爆破的那個(gè)點(diǎn)，但永遠(yuǎn)無法直接得到奇點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)用更強(qiáng)大的計(jì)算方法探測(cè)時(shí)，明顯的奇點(diǎn)卻已經(jīng)消失了。

但這種對(duì)奇點(diǎn)的近似仍然很重要。有了近似，數(shù)學(xué)家們就可以使用一種叫做計(jì)算機(jī)輔助證明的技術(shù)來證明附近確實(shí)存在一個(gè)奇點(diǎn)。此前已經(jīng)有過簡(jiǎn)化的一維版本的研究。

今年早些時(shí)候，一個(gè)由數(shù)學(xué)家和地球科學(xué)家組成的團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了一種全新的近似奇點(diǎn)的方法——他們利用了深度學(xué)習(xí)方法，能夠直接觀察奇點(diǎn)。這個(gè)團(tuán)隊(duì)還用這種方法來尋找傳統(tǒng)方法無法找到的奇點(diǎn)，希望能證明這些方程并不像看起來那樣絕對(duì)可靠。

• 論文地址：https://arxiv.org/pdf/2201.06780v2.pdf

在該研究中，Yongji Wang 等人開發(fā)了一個(gè)新的數(shù)值框架，利用基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（physics-informed neural network，PINN）尋找Boussinesq方程的光滑自相似解。該解對(duì)應(yīng)于存在圓柱邊界的三維歐拉方程的漸近自相似曲線。特別地，該解是對(duì)三維歐拉方程 Luo-Hou 爆破場(chǎng)景的精確描述。該解是流體力學(xué)方程的第一個(gè)真正的多維光滑向后自相似曲線。該數(shù)值框架具有魯棒性，且易于適用于其它方程。

該文研究了在數(shù)學(xué)流體力學(xué)領(lǐng)域中具有重要意義的二維Boussinesq方程和三維帶邊界的歐拉方程的有限時(shí)間爆破問題。Yongji Wang 等人使用了一種新穎的數(shù)值方法，利用物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造了Boussinesq方程的光滑向后自相似解。這個(gè)解本身可能成為未來計(jì)算機(jī)輔助證明二維Boussinesq和三維帶邊界的歐拉方程爆破的基礎(chǔ)。

這項(xiàng)研究引發(fā)了一場(chǎng)爆破流體方程的競(jìng)賽：一邊是深度學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)， 另一邊是多年來一直使用著更成熟的技術(shù)的數(shù)學(xué)家們。不管誰可能會(huì)贏得這場(chǎng)比賽——如果有人真的能夠到達(dá)終點(diǎn)線的話——結(jié)果都表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以幫助人們?yōu)樵S多不同的問題尋找新的解決方案。

1 消失的爆破解

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1757年提出了歐拉方程，該方程描述了理想的、不可壓縮的流體的運(yùn)動(dòng)——這種流體沒有粘性，也沒有內(nèi)摩擦，而且不能壓縮到更小的體積。(自然界中發(fā)現(xiàn)的許多流體一樣是具有粘性的，它們的模型是納維爾-斯托克斯方程；爆破納維爾-斯托克斯方程將獲得克雷數(shù)學(xué)研究所 100萬美元的千禧年獎(jiǎng)。) 給定流體中每個(gè)粒子在某一起始點(diǎn)的速度，歐拉方程應(yīng)該能夠預(yù)測(cè)流體在任何時(shí)候的流動(dòng)狀況。

但是數(shù)學(xué)家們想知道，在某些情況下——即使一開始看起來沒什么問題——這些方程最終是否會(huì)遇到麻煩。(我們有理由懷疑這可能是事實(shí)：他們模擬的理想流體與真正的只有最輕微粘性的流體沒有任何相似之處。歐拉方程中奇點(diǎn)的形成可以解釋這種散度。）

2013年，兩位數(shù)學(xué)家提出了這樣一個(gè)設(shè)想。由于一個(gè)完整的三維流體流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)可以變得難以置信的復(fù)雜，加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家Thomas Hou和香港恒生大學(xué)的Guo Luo認(rèn)為流動(dòng)服從某種對(duì)稱性。

在他們的模擬中，流體在一個(gè)圓柱形杯內(nèi)旋轉(zhuǎn)。杯子上半部分的液體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而下半部分的液體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。相反的水流形成了其他復(fù)雜的上下循環(huán)的水流。很快，在邊界上兩股相反的水流相遇處，流體的渦度爆發(fā)了。

圖源Merrill Sherman/Quanta Magazine

雖然這個(gè)證明提供了奇點(diǎn)存在的有力證據(jù)，但沒有證據(jù)的話，不可能確定它就是奇點(diǎn)。在Hou和Luo的證明之前，許多模擬都提出了潛在的奇點(diǎn)，可是后來在一臺(tái)更強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行測(cè)試時(shí)，大多數(shù)奇點(diǎn)都消失了。明尼蘇達(dá)大學(xué)的數(shù)學(xué)家Vladimir Sverak說：“你認(rèn)為存在一個(gè)奇點(diǎn)，然后你把它放到分辨率更好的更大的電腦上，不知怎么的，原本你以為存在的奇點(diǎn)卻不見了。

”這是因?yàn)檫@些解決方案可能很容易受到看似微不足道的小錯(cuò)誤的影響，這些錯(cuò)誤會(huì)隨著模擬中的每一個(gè)時(shí)間步而累積。普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家Charlie Fefferman說：“在計(jì)算機(jī)上模擬歐拉方程是一種微妙的藝術(shù)，因?yàn)闅W拉方程對(duì)解的小數(shù)點(diǎn)后38位小之又小的誤差非常敏感?！?/p>

盡管如此，Hou和Luo對(duì)奇點(diǎn)的近似解迄今為止經(jīng)受住了所有的考驗(yàn)，并且鼓勵(lì)了許多人進(jìn)行相關(guān)的研究。Sverak說：“這是奇點(diǎn)形成的最佳方案，很多人，包括我自己，都相信這一次得到的是一個(gè)真正的奇點(diǎn)。

”為了充分證明歐拉方程已被爆破，數(shù)學(xué)家需要證明，給定近似奇點(diǎn)的情況下附近存在一個(gè)真實(shí)的奇點(diǎn)。他們可以用精確的數(shù)學(xué)術(shù)語重新描述這個(gè)說法，如于近似的一個(gè)足夠近的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)實(shí)解，如果某些性質(zhì)可以被驗(yàn)證的話，就能證明這個(gè)說法是正確的。而驗(yàn)證這些特性又需要計(jì)算機(jī)：這一次需要執(zhí)行一系列的計(jì)算(包括近似解)，并小心地控制過程中可能累積的誤差。

Hou 與其研究生Jiajie Chen幾年來一直在研究計(jì)算機(jī)輔助證明。他們從2013年開始對(duì)近似解進(jìn)行了改進(jìn)，并且現(xiàn)在在使用這個(gè)近似作為他們新證明的基礎(chǔ)。他們還表明，這種一般策略也適用于比歐拉方程更容易解的問題。

現(xiàn)在，另一群人也加入了狩獵行動(dòng)。他們用一種完全不同的方法找到了近似，這個(gè)方法與Hou和Luo的結(jié)果非常相似。他們現(xiàn)在在編寫他們自己的計(jì)算機(jī)輔助證明。但是為了獲得近似值，他們首先需要轉(zhuǎn)向一種新的深度學(xué)習(xí)形式。

2 PINN：始于冰川研究

關(guān)于歐拉方程爆破的新研究始于這樣一個(gè)令人意想不到的領(lǐng)域——地球物理學(xué)家對(duì)南極洲冰蓋的動(dòng)力學(xué)研究。他們的研究要求使用一種深度學(xué)習(xí)方法，這種方法后來在更多的理論背景中都被證明是有用的。

數(shù)學(xué)家Tristan Buckmaster目前是普林斯頓高等研究院的訪問學(xué)者，他發(fā)現(xiàn)這種新方法純屬一次偶然。去年，他所在系的本科生Charlie Cowen Breen請(qǐng)他簽署一個(gè)項(xiàng)目，該學(xué)生在普林斯頓地球物理學(xué)家Ching-Yao Lai的指導(dǎo)下一直在對(duì)南極冰蓋做動(dòng)力學(xué)研究。他們?cè)噲D通過衛(wèi)星圖像和其他觀測(cè)來推測(cè)冰的粘度，并預(yù)測(cè)其未來的流動(dòng)。通過運(yùn)用一種以前從未見過的深度學(xué)習(xí)方法——“基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”（PINN），他們實(shí)現(xiàn)了這一點(diǎn)。

傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練才能進(jìn)行預(yù)測(cè)，PINN則與此不同，它還必須滿足一組潛在的物理約束條件，包括運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒、熱力學(xué)等等，以及科學(xué)家為了解決特定問題而需要引入的其他任何物理約束。

圖源NASA地球觀測(cè)站

將物理因素引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有這樣幾個(gè)目的。一方面，這樣的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠在幾乎沒有可用數(shù)據(jù)的情況下回答問題。另一方面，PINN能夠推斷出原始方程中的未知參數(shù)。Lai的實(shí)驗(yàn)室博士后研究員、新論文的合著者之一Yongji Wang 指出，在許多物理問題中，“我們大概知道方程應(yīng)該是什么樣子，但我們不知道‘某些’項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)該是什么”。Lai和Cowen Breen試圖要確定的參數(shù)就會(huì)出現(xiàn)這種情況。

布朗大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家George Karniadakis曾于2017年開發(fā)了第一個(gè)PINNs，他提出并命名了“隱藏流體力學(xué)” （hidden fluid mechanics）。

學(xué)生Cowen-Breen的請(qǐng)求引起了Buckmaster的思考。Hou、Luo 和 Chen等人對(duì)圓柱界面歐拉方程組經(jīng)典求解方法經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的艱難推進(jìn)。但由于對(duì)時(shí)間的依賴性，他們只能非常接近而無法到達(dá)奇點(diǎn)：當(dāng)他們?cè)絹碓浇咏赡芸雌饋硐駸o窮大的東西時(shí)，計(jì)算機(jī)的計(jì)算將變得越來越不可靠，以至于他們無法真正看到爆破本身的點(diǎn)。

但歐拉方程可以用另一組方程來表示，通過一種巧妙的技術(shù)，可以把時(shí)間的影響排除在外。Hou 和 Luo（2013）的研究結(jié)果令人矚目，不僅因?yàn)樗麄兇_定了一個(gè)非常精確的近似解，而且他們發(fā)現(xiàn)的解決方案似乎還有一種特殊的“自相似”（self-similar）結(jié)構(gòu)。這意味著，無論時(shí)間向前推移多久，模型的解決方案都遵循一定的模式：其后來的形狀看起來與原始形狀非常相似，只是更大一些。

這個(gè)特征意味著數(shù)學(xué)家可以專注于奇點(diǎn)出現(xiàn)之前的某個(gè)時(shí)間。如果他們以一個(gè)正確的速度放大那張快照——這就好像他們?cè)谝粋€(gè)顯微鏡下不斷進(jìn)行調(diào)整放大去觀察它一樣——他們就可以模擬之后會(huì)發(fā)生什么，直到到達(dá)奇點(diǎn)本身。同時(shí)，如果他們以這種方式重新進(jìn)行縮放，那么在這個(gè)新系統(tǒng)中實(shí)際上就不會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重錯(cuò)誤，可以避免處理無限值的問題。Fefferman 說，“它只是接近一個(gè)良好的極限”，這個(gè)極限代表依賴時(shí)間的方程版本中爆破的發(fā)生。Sverak 表示：“對(duì)這些（被重新縮放的）函數(shù)進(jìn)行建模更容易，因此，如果你能用一個(gè)自相似函數(shù)來描述一個(gè)奇點(diǎn)，這會(huì)是一個(gè)很大的優(yōu)勢(shì)?！?/p>

圖注：從左到右分別是：數(shù)學(xué)家Tristan Buckmaster和Javier Gómez Serrano，地球物理學(xué)家Cheng Yao Lai和Yongji Wang。他們合作使用基于物理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來研究歐拉方程的爆破。

問題是，要使其發(fā)揮作用，數(shù)學(xué)家不僅僅是要求解出通常參數(shù)（如速度和渦度）的方程（使用自相似坐標(biāo)來書寫這些方程），方程本身還有一個(gè)未知的參數(shù)：控制放大率的變量。這個(gè)值必須恰到好處，以確保方程的解與初始問題中的爆破解相一致。

數(shù)學(xué)家必須同時(shí)向前和向后地求解這些方程——這是一項(xiàng)用傳統(tǒng)方法很難實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，如果不是不可能的話。找到這些解決方案，正是設(shè)計(jì)PINNs的目的。

3 爆破解的尋求之路

回顧當(dāng)初，Buckmaster說，開發(fā)PINN“似乎是顯而易見要做的”。

Buckmaster、Lai、Wang 以及Javier Gómez-Serrano（他是布朗大學(xué)和巴塞羅那大學(xué)的數(shù)學(xué)家）四人合作，建立了一套物理約束來幫助指導(dǎo)PINN，這套物理約束包括與對(duì)稱性和其他性質(zhì)有關(guān)的條件，以及他們想要求解的方程。他們使用了一組使用自相似坐標(biāo)來重寫的二維方程，這些方程在接近圓柱邊界的點(diǎn)上等價(jià)于三維歐拉方程。

然后，他們訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來尋找滿足這些約束條件的解——以及自相似參數(shù)?！斑@種方法非常靈活，只要施加正確的約束，你總能找到一個(gè)解?！盠ai說道。事實(shí)上，團(tuán)隊(duì)還通過在其他問題上測(cè)試該方法展示了這種靈活性。

該團(tuán)隊(duì)提供的答案看起來很像Hou 和 Luo （2013）提出的解決方案。但是數(shù)學(xué)家們希望他們給出的近似能更詳細(xì)地描述正在發(fā)生的事情，因?yàn)檫@是第一次直接計(jì)算出這個(gè)問題的自相似解。Sverak 表示 ：“新的研究結(jié)果更精確地說明了奇點(diǎn)是如何形成的”，即某些值會(huì)如何達(dá)到爆破點(diǎn)，以及方程將如何崩潰。

Buckmaster指出：“在沒有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的情況下，你很難證明你是真的在捕捉奇點(diǎn)的本質(zhì)。很明顯，這項(xiàng)研究所用的方法是比傳統(tǒng)方法要容易得多。

”Gómez-Serrano對(duì)此表示同意，他說：“這在未來將成為人們手邊的一種標(biāo)準(zhǔn)工具”。

PINNs再一次揭示了Karniadakis所說的“隱藏流體力學(xué)”，只是這一次，他們用PINNs在更具理論性的問題上取得了進(jìn)展。Karniadakis說：“我還沒見過有人用PINNs來做這件事。

”這并不是數(shù)學(xué)家感到興奮的唯一原因。PINNs可能也可以用來找到另一種奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)用傳統(tǒng)的數(shù)值方法是幾乎發(fā)現(xiàn)不了的。這些“不穩(wěn)定”奇點(diǎn)可能是某些流體動(dòng)力學(xué)模型中唯一存在的奇點(diǎn)，包括沒有圓柱邊界的歐拉方程（這一的方程求解起來已經(jīng)復(fù)雜很多）和納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）?！安环€(wěn)定的奇點(diǎn)確實(shí)存在。所以為什么不找到它們呢？”普林斯頓的數(shù)學(xué)家Peter Constantin曾這樣說道。

但即使對(duì)于用經(jīng)典方法可以處理的穩(wěn)定奇點(diǎn)，PINN為有圓柱邊界的歐拉方程提供的解決方案“是定量且精確的，并且還可以變得更為嚴(yán)密?，F(xiàn)在有了一個(gè)通往證明的路線圖。這將需要做很多工作，需要很多的技能。我想這還需要一些創(chuàng)意。但我不認(rèn)為這需要什么天賦。我認(rèn)為這是可行的?！盕efferman這樣表示。

Buckmaster的團(tuán)隊(duì)現(xiàn)在正在與Hou和Chen展開一項(xiàng)競(jìng)賽，看誰能搶先到達(dá)終點(diǎn)線。Hou和Chen在 這條賽道上是領(lǐng)先一步的：據(jù)Hou說，他們?cè)谶^去幾年里在改進(jìn)近似解和完成證明方面取得了實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，他懷疑Buckmaster和他的同事必須改進(jìn)近似解，才能得到他們自己的證明。而他認(rèn)為，現(xiàn)有近似解的誤差余地已經(jīng)很小了。

盡管如此，許多專家希望，250年來人們對(duì)歐拉方程爆破解的探索將接近尾聲。Sverak 說：“從概念上講，我認(rèn)為……所有重要的部分都已到位，只是細(xì)節(jié)還很難確定?！?/p>