什么是自相關(guān)以及為什么它在時(shí)間序列分析中是有用的。

在時(shí)間序列分析中，我們經(jīng)常通過(guò)對(duì)過(guò)去的理解來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。為了使這個(gè)過(guò)程成功，我們必須徹底了解我們的時(shí)間序列，找到這個(gè)時(shí)間序列中包含的信息。

自相關(guān)就是其中一種分析的方法，他可以檢測(cè)時(shí)間系列中的某些特征，為我們的數(shù)據(jù)選擇最優(yōu)的預(yù)測(cè)模型。

在這篇簡(jiǎn)短的文章中，我想回顧一下:什么是自相關(guān)，為什么它是有用的，并介紹如何將它應(yīng)用到Python中的一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)集。

什么是自相關(guān)?

自相關(guān)就是數(shù)據(jù)與自身的相關(guān)性。我們不是測(cè)量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，而是測(cè)量一個(gè)隨機(jī)變量與自身變量之間的相關(guān)性。因此它被稱為自相關(guān)。

相關(guān)性是指兩個(gè)變量之間的相關(guān)性有多強(qiáng)。如果值為1，則變量完全正相關(guān)，-1則完全負(fù)相關(guān)，0則不相關(guān)。

對(duì)于時(shí)間序列，自相關(guān)是該時(shí)間序列在兩個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)上的相關(guān)性(也稱為滯后)。也就是說(shuō)我們是在用時(shí)間序列自身的某個(gè)滯后版本來(lái)預(yù)測(cè)它。

數(shù)學(xué)上講自相關(guān)的計(jì)算方法為:

其中N是時(shí)間序列y的長(zhǎng)度，k是時(shí)間序列的特定的滯后。當(dāng)計(jì)算r_1時(shí)，我們計(jì)算y_t和y_{t-1}之間的相關(guān)性。

y_t和y_t之間的自相關(guān)性是1，因?yàn)樗鼈兪窍嗤摹?/p>

為什么它有用?

使用自相關(guān)性來(lái)度量時(shí)間序列與其自身的滯后版本的相關(guān)性。這個(gè)計(jì)算讓我們對(duì)系列的特征有了一些有趣的了解:

季節(jié)性：假設(shè)我們發(fā)現(xiàn)某些滯后的相關(guān)性通常高于其他數(shù)值。這意味著我們的數(shù)據(jù)中有一些季節(jié)性成分。例如，如果有每日數(shù)據(jù)，并且發(fā)現(xiàn)每個(gè) 7 滯后項(xiàng)的數(shù)值都高于其他滯后項(xiàng)，那么我們可能有一些每周的季節(jié)性。 

趨勢(shì)：如果最近滯后的相關(guān)性較高并且隨著滯后的增加而緩慢下降，那么我們的數(shù)據(jù)中存在一些趨勢(shì)。因此，我們需要進(jìn)行一些差分以使時(shí)間序列平穩(wěn)。

讓我們用一個(gè)Python示例，來(lái)看看他到底是如何工作的

Python示例

我們將使用經(jīng)典的航空客運(yùn)量數(shù)據(jù)集:

https://www.kaggle.com/datasets/ashfakyeafi/air-passenger-data-for-time-series-analysis

# Import packages
 import plotly.express as px
 import pandas as pd
 
 # Read in the data
 data = pd.read_csv('AirPassengers.csv')
 
 # Plot the data
 fig = px.line(data, x='Month', y='#Passengers',
  
 
 fig.update_layout(template="simple_white", fnotallow=dict(size=18),

可視化可以看到有明顯的上升趨勢(shì)和年度季節(jié)性(按月索引的數(shù)據(jù)點(diǎn))。

這里可以使用statsmodels包中的plot_acf函數(shù)來(lái)繪制時(shí)間序列在不同延遲下的自相關(guān)圖，這種類型的圖被稱為相關(guān)圖:

# Import packages
 from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
 import matplotlib.pyplot as plt
 
 # Plot autocorrelation
 plt.rc("figure", figsize=(11,5))
 plot_acf(data['#Passengers'], lags=48)
 plt.ylim(0,1)
 plt.xlabel('Lags', fnotallow=18)
 plt.ylabel('Correlation', fnotallow=18)
 plt.xticks(fnotallow=18)
 plt.yticks(fnotallow=18)
 plt.title('Autocorrelation Plot', fnotallow=20)
 plt.tight_layout()
 plt.show()

這里我們需要注意到以下幾點(diǎn):

• 在每12步的滯后中有一個(gè)明顯的周期性模式。這是由于我們的數(shù)據(jù)是按月編制的，因此我們的數(shù)據(jù)具有每年的季節(jié)性。
• 隨著滯后量的增加，相關(guān)強(qiáng)度總體上呈緩慢下降趨勢(shì)。這在我們的數(shù)據(jù)中指出了一個(gè)趨勢(shì)，在建模時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行區(qū)分以使其穩(wěn)定。
• 藍(lán)色區(qū)域表示哪些滯后在統(tǒng)計(jì)上顯著。因此在對(duì)該數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型時(shí)，下個(gè)月的預(yù)測(cè)可能只考慮前一個(gè)值的~15個(gè)，因?yàn)樗鼈兙哂薪y(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

在值0處的滯后與1的完全相關(guān)，因?yàn)槲覀儗r(shí)間序列與它自身的副本相關(guān)聯(lián)。

總結(jié)

在這篇文章中，我們描述了什么是自相關(guān)，以及我們?nèi)绾问褂盟鼇?lái)檢測(cè)時(shí)間序列中的季節(jié)性和趨勢(shì)。自相關(guān)還有其他用途。例如，我們可以使用預(yù)測(cè)模型殘差的自相關(guān)圖來(lái)確定殘差是否確實(shí)獨(dú)立。如果殘差的自相關(guān)不是幾乎為零，那么擬合模型可能沒(méi)有考慮到所有的信息，是可以改進(jìn)的。