數(shù)學(xué)世界充滿了無法觸及的角落，那里存在著許許多多無法解決的問題?，F(xiàn)在，又一個(gè)角落被照亮了。

1900 年，著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特（David Hilbert）公布了一份清單，其中包含 23 個(gè)關(guān)鍵問題，并希望以此指導(dǎo)下個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究。他的問題不僅為數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供了路線圖，還反映了一個(gè)更雄心勃勃的愿景 —— 建立一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使得所有數(shù)學(xué)真理都可以基于此推理出來。

這個(gè)愿景很宏大，而其中的一大關(guān)鍵是假定數(shù)學(xué)是「完備的（complete）」。也就是說，所有數(shù)學(xué)陳述都應(yīng)該可以被證明為真或假。

1930 年代，庫爾特?哥德爾（Kurt G?del）證明這是不可能的：在任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，都有既不能證明也不能證偽的陳述。幾年后，艾倫?圖靈（Alan Turing）等人基于他的工作，表明數(shù)學(xué)充斥著「不可判定（undecidable）」的陳述 —— 即任何計(jì)算機(jī)算法都無法解決的問題。

這些結(jié)果表明，證明和計(jì)算的能力存在一些根本性限制。有些數(shù)學(xué)根本無法被人知曉。

希爾伯特的夢想破滅了。但它的碎片依舊繼續(xù)存在著。他曾提出的那些問題仍會讓人想起他的愿景，使「完備數(shù)學(xué)」的理念可在更狹窄的語境下生存。

在這些問題中，第十問題是最主要的一個(gè)，其與丟番圖方程（又稱不定方程）有關(guān)。丟番圖方程是指有整數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式，例如 x2 + y2 = 5。我們很熟悉這些方程，而它們也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最核心的研究對象之一。幾千年來，數(shù)學(xué)家一直在尋找它們的整數(shù)解。例如，在這個(gè)例子中，一個(gè)解是 x = 1，y = 2（因?yàn)?12 + 22 = 5）。另一個(gè)是 x = 2，y = ?1。

大衛(wèi)?希爾伯特

x2 + y2 = 3 等許多丟番圖方程卻可能沒有任何整數(shù)解。希爾伯特的第十問題是：是否總是可以判斷給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解。是否存在一種算法可以確定每個(gè)方程的解，還是說這個(gè)問題是不可判定的？也許不可能為所有數(shù)學(xué)問題找到一種完備而系統(tǒng)的求解方法 —— 甚至不可能解決希爾伯特的所有 23 個(gè)問題 —— 但對于丟番圖方程，可能仍然存在一種求解方法，作為希爾伯特理想的一個(gè)微縮版本。烏得勒支大學(xué)的 Peter Koymans 說：「這個(gè)問題是那個(gè)夢想的一個(gè)非常自然的版本。」

1970 年，一位名叫 Yuri Matiyasevich 的俄羅斯數(shù)學(xué)家打破了這個(gè)夢想。他的研究表明，并不存在一種可以確定任何給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解的通用算法 —— 希爾伯特第十問題是一個(gè)不可判定的問題。你也許能夠構(gòu)想出一種可以評估大多數(shù)方程的算法，但它無法適用于每一個(gè)方程。

即使在這種最簡單的數(shù)學(xué)中，也隱藏著不可知性。

Yuri Matiyasevich，攝于 1969 年

數(shù)學(xué)家們想檢驗(yàn) Matiyasevich 的結(jié)論的適用范圍。比如如果允許丟番圖方程有復(fù)數(shù)解（可以用實(shí)部和虛部寫出的數(shù)字，并且不限于整數(shù)）呢？在這種情況下，每個(gè)丟番圖方程都有一個(gè)解，而希爾伯特第十問題的答案是肯定的。但是，在解必須是整數(shù)的方程和解可以是復(fù)數(shù)的方程之間，丟番圖方程還存在很廣的范圍。

「對于整數(shù)，它是不可求解的，然后當(dāng)傳遞給更大的數(shù)字系統(tǒng)時(shí)，可能會突然獲得可解性?！构鸫髮W(xué)的 Barry Mazur 說。「但這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)在哪里？」

自希爾伯特第十問題被解決以來的 50 年里，數(shù)學(xué)家們一直在尋找這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)?，F(xiàn)在，Koymans 和他的長期合作伙伴、蒙特利爾康考迪亞大學(xué)的 Carlo Pagano 以及另一組獨(dú)立研究的團(tuán)隊(duì)朝著這一目標(biāo)邁出了重要一步。

這兩個(gè)小組都證明，對于整數(shù)之外的大量重要數(shù)集，同樣不存在可確定任意給定的丟番圖方程是否有解的通用算法。這兩項(xiàng)工作不僅讓數(shù)學(xué)家能夠更精確地了解他們能知道什么和不能知道什么，還讓他們對數(shù)學(xué)中最核心的對象之一有了全新的控制水平。

• 論文標(biāo)題：Hilbert's tenth problem via additive combinatorics
• 論文地址：https://arxiv.org/abs/2412.01768

• 論文標(biāo)題：Rank stability in quadratic extensions and Hilbert's tenth problem for the ring of integers of a number field
• 論文地址：https://arxiv.org/abs/2501.18774

從整數(shù)開始擴(kuò)展

這些新證明的核心是希爾伯特第十問題的一種自然擴(kuò)展。該擴(kuò)展涉及的丟番圖方程的解屬于一個(gè)與整數(shù)密切相關(guān)的數(shù)字系統(tǒng)。

從 1 和 -1 開始，可以通過不同的組合方式得到所有其它整數(shù)。但如果是從 1、-1、和  開始呢？通過不同組合方式，也能得到一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)，這被稱為整數(shù)環(huán)（ring of integers）。很顯然，名字雖然是整數(shù)環(huán)，但這個(gè)數(shù)字系統(tǒng)中并不只有整數(shù)。使用其它的數(shù)字集合也能構(gòu)建其它的整數(shù)環(huán)，比如可包括  （也就是虛數(shù) i）或 。

那么，問題來了：是否存在一種算法，可以總是確定給定丟番圖方程的解是否屬于某個(gè)整數(shù)環(huán)？

Carlo Pagano

數(shù)學(xué)家猜想，對于每一個(gè)整數(shù)環(huán)（即無限多個(gè)數(shù)字系統(tǒng)），這個(gè)問題仍然是不可判定的。這將使該結(jié)論遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出希爾伯特第十問題初始的整數(shù)范圍。

為了證明這一點(diǎn)，他們希望追隨原始問題的證明腳步 —— 僅涉及整數(shù)解的問題。

一般來說，不可判定性證明（確定是否存在可以回答給定問題的通用算法的證明）遵循相同的方法：證明相關(guān)問題等價(jià)于計(jì)算機(jī)科學(xué)中一個(gè)著名的不可判定問題，即停機(jī)問題（halting problem）。停機(jī)問題問的是：對于一個(gè)理想的計(jì)算設(shè)備（稱為圖靈機(jī)），當(dāng)給定某個(gè)輸入時(shí)，該設(shè)備將永遠(yuǎn)運(yùn)行還是最終會停止？現(xiàn)在人們已經(jīng)知道，并不存在一個(gè)可為每臺圖靈機(jī)解答這個(gè)問題的算法。

也可以將丟番圖方程視為計(jì)算設(shè)備。以方程 y = x2 為例。它有無窮多個(gè)整數(shù)解。只需為 x 代入不同的整數(shù)并求解 y，得到的值都屬于一個(gè)著名的整數(shù)集：完全平方數(shù)（the perfect squares）。我們很容易就能想象出一個(gè)能執(zhí)行其等價(jià)任務(wù)的計(jì)算機(jī)程序（即圖靈機(jī)）：「計(jì)算完全平方數(shù)的序列」。

其它丟番圖方程也可以編碼成其它類型的計(jì)算。

Julia Robinson

為了解決希爾伯特最初的第十問題，數(shù)學(xué)家們以這個(gè)想法為基礎(chǔ)開始了研究。Julia Robinson 等人于 1950 年左右開始研究，最終匯集成了 1970 年 Matiyasevich 的成果。研究結(jié)果表明，對于每個(gè)圖靈機(jī)，都有一個(gè)對應(yīng)的丟番圖方程?！高@完全出乎意料，」智利天主教大學(xué)的 Hector Pasten 說?！富谡麛?shù)的丟番圖方程足以定義你能想象到的任何東西?！?/span>

此外，數(shù)學(xué)家們還建立了一種優(yōu)雅的對應(yīng)關(guān)系：如果圖靈機(jī)因給定輸入而停止，其對應(yīng)的丟番圖方程將有一個(gè)整數(shù)解。如果圖靈機(jī)永遠(yuǎn)運(yùn)行，其對應(yīng)的丟番圖方程將沒有解。但這意味著希爾伯特第十問題編碼了停機(jī)問題：如果一種算法可以根據(jù)是否有整數(shù)解對丟番圖方程進(jìn)行分類，那么該算法也可用于根據(jù)是否會停機(jī)對圖靈機(jī)進(jìn)行分類。

換句話說，希爾伯特第十問題是不可判定的。

數(shù)學(xué)家們希望采用同樣的方法來證明該問題擴(kuò)展的整數(shù)環(huán)版本 —— 但他們遇到了一個(gè)障礙。

將研究成果黏合起來

當(dāng)允許方程有非整數(shù)解時(shí)，圖靈機(jī)和丟番圖方程之間的有用對應(yīng)關(guān)系就會瓦解。再次以方程 y = x2 為例。如果你研究的是包含  的整數(shù)環(huán)，那么你最終會得到一些新的解，例如 x = , y = 2。該方程不再對應(yīng)于計(jì)算完全平方數(shù)的圖靈機(jī) —— 更廣義地說，丟番圖方程不再能編碼停機(jī)問題。

但在 1988 年，紐約大學(xué)的一名研究生 Sasha Shlapentokh 開始想辦法解決這個(gè)問題。到 2000 年，她和其他一些研究者制定了一個(gè)計(jì)劃。假設(shè)你要為 y = x2 添加一些其它項(xiàng)，從而可迫使 x 再次為整數(shù)，即便要使用不同的數(shù)字系統(tǒng)。然后，你可以挽救與圖靈機(jī)的對應(yīng)關(guān)系了。那所有丟番圖方程都可以這樣做嗎？如果可以，那就意味著希爾伯特問題可以在新的數(shù)字系統(tǒng)中編碼停機(jī)問題。

多年來，Shlapentokh 等數(shù)學(xué)家弄清楚了他們必須在各種環(huán)的丟番圖方程中添加哪些項(xiàng)，這使他們能夠證明希爾伯特問題在這些設(shè)置下仍然無法判定。然后，他們將所有剩余的整數(shù)環(huán)歸結(jié)為一種情況：涉及虛數(shù) i 的環(huán)。數(shù)學(xué)家們意識到，在這種情況下，必須添加的項(xiàng)可以使用一類名為橢圓曲線（elliptic curve）的特殊方程來確定。

但橢圓曲線必須滿足兩個(gè)屬性。首先，它需要有無限多個(gè)解。其次，如果切換到不同的整數(shù)環(huán) —— 如果從數(shù)字系統(tǒng)中移除虛數(shù) —— 那么該橢圓曲線的所有解都必須保持相同的底層結(jié)構(gòu)。

事實(shí)證明，構(gòu)建這樣一條適用于所有剩余環(huán)的橢圓曲線是一項(xiàng)極其微妙和困難的任務(wù)。但 Koymans 和 Pagano—— 從研究生階段就開始就密切合作的橢圓曲線專家 —— 擁有合適的工具集來進(jìn)行嘗試。

許多個(gè)不眠之夜

從本科開始，Koymans 就一直在思考希爾伯特第十問題。在就讀研究生以及在與 Pagano 合作期間，這個(gè)問題一直在召喚他?！肝颐磕甓紩◣滋鞎r(shí)間思考這個(gè)問題，但總是陷入困境，」Koymans 說?！肝覈L試了三種方法，但它們都失敗了?！?/span>

2022 年，在加拿大班夫舉行的一次會議上，他和 Pagano 最終聊到了這個(gè)問題。他們希望能夠一起構(gòu)建出解決這個(gè)問題所需的特殊橢圓曲線。在完成了其它一些項(xiàng)目后，他們開始了研究。

Peter Koymans

他們從一個(gè)簡單的橢圓曲線方程開始，這個(gè)方程不滿足任何所需的屬性。他們知道他們可以使用一種名為二次扭曲（quadratic twist，這是他們已經(jīng)研究了近十年的東西）的成熟技術(shù)來調(diào)整方程，使其滿足第一個(gè)條件。他們只需將方程的一個(gè)變量乘以一個(gè)特定的數(shù)字，他們就會得到一條有無限多個(gè)解的新橢圓曲線。

但這給他們留下了一個(gè)問題。他們無法保證這條新曲線滿足第二個(gè)性質(zhì) —— 對于相差一個(gè)虛數(shù)的環(huán)，其解看起來會很相似。數(shù)學(xué)家們需要更好地控制二次扭曲。

他們陷入困境。「我有一種不好的感覺，」Koymans 說。「我開始懷疑我們遺漏了什么東西?！?/span>

然后，在 2024 年夏天，在研究另一個(gè)問題時(shí)，兩人不得不再次使用二次扭曲。一天晚上，在這項(xiàng)研究過程中，科伊曼斯發(fā)現(xiàn)自己躺在床上睡不著，無法停止思考希爾伯特第十問題。

Koymans 意識到，另一項(xiàng)工作給了他們一個(gè)重要的提示，即那些有時(shí)會出現(xiàn)的奇怪且驚人的數(shù)學(xué)一致性（mathematical concordance）：如果他們在二次扭曲中使用的數(shù)字恰好是三個(gè)素?cái)?shù)的乘積，則他們就會獲得保證第二個(gè)性質(zhì)所需的控制權(quán)。但是，由于他們的橢圓曲線必須精心構(gòu)建并滿足許多規(guī)范，因此對這三個(gè)素?cái)?shù)的取值有很多額外的限制。Koymans 和 Pagano 能找到可行的素?cái)?shù)嗎 —— 不管對于哪個(gè)整數(shù)環(huán)？

幾天后，Pagano 碰巧計(jì)劃訪問當(dāng)時(shí) Koymans 工作的瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院。接下來的一周，他們一起在黑板上努力尋找滿足所有限制的素?cái)?shù)。最后，他們發(fā)現(xiàn)必須使用四個(gè)素?cái)?shù)而不是三個(gè)素?cái)?shù)來構(gòu)建所需的二次扭曲。這使得他們能夠應(yīng)用一種來自完全不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的方法，即加性組合學(xué)（additive combinatorics），以確保每個(gè)環(huán)都存在正確的素?cái)?shù)組合。

這就是最后一部分：他們構(gòu)建了所需的橢圓曲線。它為他們提供了向丟番圖方程添加項(xiàng)所需的方法，這使他們能夠?qū)D靈機(jī)（以及停機(jī)問題）編碼到這些方程中，而不管他們使用什么數(shù)字系統(tǒng)。一切都解決了。希爾伯特第十問題對于每個(gè)整數(shù)環(huán)都是不可判定的。

上周四，在 Koymans 和 Pagano 在線發(fā)布他們的論文不到兩個(gè)月后，結(jié)果得到了進(jìn)一步鞏固。一個(gè)由四名數(shù)學(xué)家組成的獨(dú)立團(tuán)隊(duì)宣布了對同一結(jié)果的新證明。他們沒有尋找特殊的橢圓曲線，而是依靠一種不同類型的方程來完成同樣的工作。

這兩個(gè)團(tuán)隊(duì)都希望利用他們的技術(shù)（這些技術(shù)使他們對橢圓曲線和相關(guān)方程有了前所未有的控制）在其他問題上取得進(jìn)展。普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家、第二個(gè)證明的作者之一 Manjul Bhargava 說：「這兩種方法有可能結(jié)合起來做更多的事情?！?/span>

與此同時(shí)，對不可判定性終結(jié)以及可判定性開始的位置的探索尚未結(jié)束：數(shù)學(xué)家們正在新的環(huán)境中繼續(xù)探索希爾伯特第十問題。

蒙特利爾大學(xué)的 Andrew Granville 認(rèn)為，這只是眾多問題中的一個(gè)，這些問題「反映了世界哪些部分為真的哲學(xué)方面」。

所有知識都有極限。Granville 說：「它提醒我們，有些事情是無法做到的 —— 無論你是誰，無論你有怎樣的身份或才智?！?/span>