浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示
浮點(diǎn)數(shù)是屬于有理數(shù)中某特定子集的數(shù)的數(shù)字表示，在計算機(jī)中用以近似表示任意某個實(shí)數(shù)。具體的說，這個實(shí)數(shù)由一個整數(shù)或定點(diǎn)數(shù)（即尾數(shù)）乘以某個基數(shù)（計算機(jī)中通常是2）的整數(shù)次冪得到，這種表示方法類似于基數(shù)為10的科學(xué)記數(shù)法。
前幾天，我在讀一本C語言教材，有一道例題：
- #include <stdio.h>
- void main(void){
- int num=9; /* num是整型變量，設(shè)為9 */
- float* pFloat=# /* pFloat表示num的內(nèi)存地址，但是設(shè)為浮點(diǎn)數(shù) */
- printf("num的值為：%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */
- printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點(diǎn)值 */
- *pFloat=9.0; /* 將num的值改為浮點(diǎn)數(shù) */
- printf("num的值為：%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */
- printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點(diǎn)值 */
- }
運(yùn)行結(jié)果如下：
- num的值為：9
- *pFloat的值為：0.000000
- num的值為：1091567616
- *pFloat的值為：9.000000
我很驚訝，num和*pFloat在內(nèi)存中明明是同一個數(shù)，為什么浮點(diǎn)數(shù)和整數(shù)的解讀結(jié)果會差別這么大？
要理解這個結(jié)果，一定要搞懂浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)內(nèi)部的表示方法。我讀了一些資料，下面就是我的筆記。
1、在討論浮點(diǎn)數(shù)之前，先看一下整數(shù)在計算機(jī)內(nèi)部是怎樣表示的。
- int num=9;
上面這條命令，聲明了一個整數(shù)變量，類型為int，值為9（二進(jìn)制寫法為1001）。普通的32位計算機(jī)，用4個字節(jié)表示int變量，所以9就被保存為00000000 00000000 00000000 00001001，寫成16進(jìn)制就是0x00000009。
那么，我們的問題就簡化成：為什么0x00000009還原成浮點(diǎn)數(shù)，就成了0.000000？
2、根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)IEEE 754，任意一個二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)V可以表示成下面的形式：
V = (-1)^s×M×2^E
（1）(-1)^s表示符號位，當(dāng)s=0，V為正數(shù)；當(dāng)s=1，V為負(fù)數(shù)。
（2）M表示有效數(shù)字，大于等于1，小于2。
（3）2^E表示指數(shù)位。
舉例來說，十進(jìn)制的5.0，寫成二進(jìn)制是101.0，相當(dāng)于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十進(jìn)制的-5.0，寫成二進(jìn)制是-101.0，相當(dāng)于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754規(guī)定，對于32位的浮點(diǎn)數(shù)，***的1位是符號位s，接著的8位是指數(shù)E，剩下的23位為有效數(shù)字M。
對于64位的浮點(diǎn)數(shù)，***的1位是符號位S，接著的11位是指數(shù)E，剩下的52位為有效數(shù)字M。
3、IEEE 754對有效數(shù)字M和指數(shù)E，還有一些特別規(guī)定。
前面說過，1≤M<2，也就是說，M可以寫成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小數(shù)部分。IEEE 754規(guī)定，在計算機(jī)內(nèi)部保存M時，默認(rèn)這個數(shù)的***位總是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的時候，只保存01，等到讀取的時候，再把***位的1加上去。這樣做的目的，是節(jié)省1位有效數(shù)字。以32位浮點(diǎn)數(shù)為例，留給M只有23位，將***位的1舍去以后，等于可以保存24位有效數(shù)字。
至于指數(shù)E，情況就比較復(fù)雜。
首先，E為一個無符號整數(shù)（unsigned int）。這意味著，如果E為8位，它的取值范圍為0~255；如果E為11位，它的取值范圍為0~2047。但是，我們知道，科學(xué)計數(shù)法中的E是可以出現(xiàn)負(fù)數(shù)的，所以IEEE 754規(guī)定，E的真實(shí)值必須再減去一個中間數(shù)，對于8位的E，這個中間數(shù)是127；對于11位的E，這個中間數(shù)是1023。
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮點(diǎn)數(shù)時，必須保存成10+127=137，即10001001。
然后，指數(shù)E還可以再分成三種情況：
（1）E不全為0或不全為1。這時，浮點(diǎn)數(shù)就采用上面的規(guī)則表示，即指數(shù)E的計算值減去127（或1023），得到真實(shí)值，再將有效數(shù)字M前加上***位的1。
（2）E全為0。這時，浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)E等于1-127（或者1-1023），有效數(shù)字M不再加上***位的1，而是還原為0.xxxxxx的小數(shù)。這樣做是為了表示±0，以及接近于0的很小的數(shù)字。
（3）E全為1。這時，如果有效數(shù)字M全為0，表示±無窮大（正負(fù)取決于符號位s）；如果有效數(shù)字M不全為0，表示這個數(shù)不是一個數(shù)（NaN）。
4、好了，關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)的表示規(guī)則，就說到這里。
下面，讓我們回到一開始的問題：為什么0x00000009還原成浮點(diǎn)數(shù)，就成了0.000000？
首先，將0x00000009拆分，得到***位符號位s=0，后面8位的指數(shù)E=00000000，***23位的有效數(shù)字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
由于指數(shù)E全為0，所以符合上一節(jié)的第二種情況。因此，浮點(diǎn)數(shù)V就寫成：
V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)
顯然，V是一個很小的接近于0的正數(shù)，所以用十進(jìn)制小數(shù)表示就是0.000000。
5、再看例題的第二部分。
請問浮點(diǎn)數(shù)9.0，如何用二進(jìn)制表示？還原成十進(jìn)制又是多少？
首先，浮點(diǎn)數(shù)9.0等于二進(jìn)制的1001.0，即1.001×2^3。
那么，***位的符號位s=0，有效數(shù)字M等于001后面再加20個0，湊滿23位，指數(shù)E等于3+127=130，即10000010。
所以，寫成二進(jìn)制形式，應(yīng)該是s+E+M，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。這個32位的二進(jìn)制數(shù)，還原成十進(jìn)制，正是1091567616。
原文地址：http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html
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