有100盞燈，依次編號1-100，初始都是關(guān)著的。第1次遍歷，打開全部的燈；第2次遍歷，關(guān)掉第2盞、第4盞等被2整除的燈；第3次打開被3整除的燈；第i次，對被i整除的燈做如下操作

• 如果燈開著，就關(guān)掉
• 如果燈關(guān)著，就打開

如此交替進行，知道100次遍歷完畢，請問，還有多少盞燈亮著。

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數(shù)組統(tǒng)計分析

原題

給定數(shù)組A，大小為n，數(shù)組元素為1到n的數(shù)字，不過有的數(shù)字出現(xiàn)了多次，有的數(shù)字沒有出現(xiàn)。請給出算法和程序，統(tǒng)計哪些數(shù)字沒有出現(xiàn)，哪些數(shù)字出現(xiàn)了多少次。能夠在O(n)的時間復(fù)雜度，O(1)的空間復(fù)雜度要求下完成么？

分析

這個題目，是有一定技巧的。技巧是需要慢慢積累，待經(jīng)驗多了之后，可以靈感或者直覺，就產(chǎn)生了技巧。如果不知道技巧，那該怎么辦呢？ 在開始分析之前，說明兩個問題：

• 原數(shù)組是沒有排序的。如果排序了，很簡單的。
• O(1)的空間含義，可以使用變量，但不能開辟數(shù)組或者map等來計數(shù)。

這個題目，很直接的解法就是兩層遍歷，O(n^2)的復(fù)雜度，O(1)的空間?？臻g滿足了，但是時間沒有。 很多類似的題目，都會用XOR的方法，大家仔細(xì)想一下，這個題目，可以么？或者這個題目和可以用XOR的題目的差異在哪兒？最直接的就是，每一個數(shù)字的重復(fù)的次數(shù)是不同的。

還有就是以空間換時間的方法，例如用hash map或者數(shù)組來計數(shù)。時間滿足了，但是空間沒有滿足。 那怎樣才能有時間復(fù)雜度O(n)，空間復(fù)雜度O(1)的算法呢？不能開辟新的空間，那么只剩下，重復(fù)利用數(shù)組A。那么該如何利用數(shù)組A呢？

首先，我們介紹一種三次遍歷數(shù)組的方法,我們都考慮數(shù)組從0開始：

• 第一次遍歷：對于每一個A[i] = A[i] * n
• 第二次遍歷：對于每一個i，A[A[i]/n]++
• 第三次遍歷：對于每一個i，A[i] % n就是出現(xiàn)次數(shù)

A[i]應(yīng)該出現(xiàn)在A中的A[i]位置，乘以n、再除以n，很容易的來回變換；第二次遍歷，對于A[i]本來所在的位置不斷增1，但絕對不對超出n的，那每一個i出現(xiàn)的次數(shù)，就是A[i]對n取余。

還有一種兩次遍歷的方法，也是上面的思路：題目中數(shù)組是1到n，為了方便算法考慮，以及數(shù)組存儲方便，我們考慮0-n-1，結(jié)果是相同的。 考慮A[i]，現(xiàn)在位置是i，如果采用A來計數(shù)，它的位置應(yīng)該是A[i] % n，找到計數(shù)位置，該如何處理這個位置呢？加1么？顯然不可以，這里有一個技巧，就是加n，有兩個原因

• 加n可以保證A[i] % n是不變的
• A數(shù)組，最后每一個元素表示為A[i] = x + k*n，其中x

上面的思路，轉(zhuǎn)換為代碼如下：

原文鏈接：http://www.ituring.com.cn/article/55331