相關(guān)分析(Analysis of Correlation)是網(wǎng)站分析中經(jīng)常使用的分析方法之一。通過對不同特征或數(shù)據(jù)間的關(guān)系進行分析，發(fā)現(xiàn)業(yè)務(wù)運營中的關(guān)鍵影響及驅(qū)動因素。并對業(yè)務(wù)的發(fā)展進行預(yù)測。本篇文章將介紹5種常用的分析方法。在開始介紹相關(guān)分析之前，需要特別說明的是相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系。

相關(guān)分析的方法很多，初級的方法可以快速發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，如正相關(guān)，負相關(guān)或不相關(guān)。中級的方法可以對數(shù)據(jù)間關(guān)系的強弱進行度量，如完全相關(guān)，不完全相關(guān)等。高級的方法可以將數(shù)據(jù)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為模型，并通過模型對未來的業(yè)務(wù)發(fā)展進行預(yù)測。下面我們以一組廣告的成本數(shù)據(jù)和曝光量數(shù)據(jù)對每一種相關(guān)分析方法進行介紹。

以下是每日廣告曝光量和費用成本的數(shù)據(jù)，每一行代表一天中的花費和獲得的廣告曝光數(shù)量。憑經(jīng)驗判斷，這兩組數(shù)據(jù)間應(yīng)該存在聯(lián)系，但僅通過這兩組數(shù)據(jù)我們無法證明這種關(guān)系真實存在，也無法對這種關(guān)系的強度進行度量。因此我們希望通過相關(guān)分析來找出這兩組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并對這種關(guān)系進度度量。

1.圖表相關(guān)分析(折線圖及散點圖)

***種相關(guān)分析方法是將數(shù)據(jù)進行可視化處理，簡單的說就是繪制圖表。單純從數(shù)據(jù)的角度很難發(fā)現(xiàn)其中的趨勢和聯(lián)系，而將數(shù)據(jù)點繪制成圖表后趨勢和聯(lián)系就會變的清晰起來。對于有明顯時間維度的數(shù)據(jù)，我們選擇使用折線圖。

為了更清晰的對比這兩組數(shù)據(jù)的變化和趨勢，我們使用雙坐標(biāo)軸折線圖，其中主坐標(biāo)軸用來繪制廣告曝光量數(shù)據(jù)，次坐標(biāo)軸用來繪制費用成本的數(shù)據(jù)。通過折線圖可以發(fā)現(xiàn)，費用成本和廣告曝光量兩組數(shù)據(jù)的變化和趨勢大致相同，從整體的大趨勢來看，費用成本和廣告曝光量兩組數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)增長趨勢。從規(guī)律性來看費用成本和廣告曝光量數(shù)據(jù)每次的***點都出現(xiàn)在同一天。從細節(jié)來看，兩組數(shù)據(jù)的短期趨勢的變化也基本一致。

經(jīng)過以上這些對比，我們可以說廣告曝光量和費用成本之間有一些相關(guān)關(guān)系，但這種方法在整個分析過程和解釋上過于復(fù)雜，如果換成復(fù)雜一點的數(shù)據(jù)或者相關(guān)度較低的數(shù)據(jù)就會出現(xiàn)很多問題。

比折線圖更直觀的是散點圖。散點圖去除了時間維度的影響，只關(guān)注廣告曝光量和費用成本這里兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系。在繪制散點圖之前，我們將費用成本標(biāo)識為X，也就是自變量，將廣告曝光量標(biāo)識為y，也就是因變量。下面是一張根據(jù)每一天中廣告曝光量和費用成本數(shù)據(jù)繪制的散點圖，X軸是自變量費用成本數(shù)據(jù)，Y軸是因變量廣告曝光量數(shù)據(jù)。從數(shù)據(jù)點的分布情況可以發(fā)現(xiàn)，自變量x和因變量y有著相同的變化趨勢，當(dāng)費用成本的增加后，廣告曝光量也隨之增加。

折線圖和散點圖都清晰的表示了廣告曝光量和費用成本兩組數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系，優(yōu)點是對相關(guān)關(guān)系的展現(xiàn)清晰，缺點是無法對相關(guān)關(guān)系進行準(zhǔn)確的度量，缺乏說服力。并且當(dāng)數(shù)據(jù)超過兩組時也無法完成各組數(shù)據(jù)間的相關(guān)分析。若要通過具體數(shù)字來度量兩組或兩組以上數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系，需要使用第二種方法：協(xié)方差。

2.協(xié)方差及協(xié)方差矩陣

第二種相關(guān)分析方法是計算協(xié)方差。協(xié)方差用來衡量兩個變量的總體誤差，如果兩個變量的變化趨勢一致，協(xié)方差就是正值，說明兩個變量正相關(guān)。如果兩個變量的變化趨勢相反，協(xié)方差就是負值，說明兩個變量負相關(guān)。如果兩個變量相互獨立，那么協(xié)方差就是0，說明兩個變量不相關(guān)。以下是協(xié)方差的計算公式：

下面是廣告曝光量和費用成本間協(xié)方差的計算過程和結(jié)果，經(jīng)過計算，我們得到了一個很大的正值，因此可以說明兩組數(shù)據(jù)間是正相關(guān)的。廣告曝光量隨著費用成本的增長而增長。在實際工作中不需要按下面的方法來計算，可以通過Excel中COVAR()函數(shù)直接獲得兩組數(shù)據(jù)的協(xié)方差值。

協(xié)方差只能對兩組數(shù)據(jù)進行相關(guān)性分析，當(dāng)有兩組以上數(shù)據(jù)時就需要使用協(xié)方差矩陣。下面是三組數(shù)據(jù)x，y，z，的協(xié)方差矩陣計算公式。

協(xié)方差通過數(shù)字衡量變量間的相關(guān)性，正值表示正相關(guān)，負值表示負相關(guān)。但無法對相關(guān)的密切程度進行度量。當(dāng)我們面對多個變量時，無法通過協(xié)方差來說明那兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性***。要衡量和對比相關(guān)性的密切程度，就需要使用下一個方法：相關(guān)系數(shù)。

3.相關(guān)系數(shù)

第三個相關(guān)分析方法是相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)(Correlation coefficient)是反應(yīng)變量之間關(guān)系密切程度的統(tǒng)計指標(biāo)，相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間在1到-1之間。1表示兩個變量完全線性相關(guān)，-1表示兩個變量完全負相關(guān)，0表示兩個變量不相關(guān)。數(shù)據(jù)越趨近于0表示相關(guān)關(guān)系越弱。以下是相關(guān)系數(shù)的計算公式。

其中rxy表示樣本相關(guān)系數(shù)，Sxy表示樣本協(xié)方差，Sx表示X的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，Sy表示y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。下面分別是Sxy協(xié)方差和Sx和Sy標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式。由于是樣本協(xié)方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，因此分母使用的是n-1。

Sxy樣本協(xié)方差計算公式：

Sx樣本標(biāo)準(zhǔn)差計算公式：

Sy樣本標(biāo)準(zhǔn)差計算公式：

下面是計算相關(guān)系數(shù)的過程，在表中我們分別計算了x，y變量的協(xié)方差以及各自的標(biāo)準(zhǔn)差，并求得相關(guān)系數(shù)值為0.93。0.93大于0說明兩個變量間正相關(guān)，同時0.93非常接近于1，說明兩個變量間高度相關(guān)。

在實際工作中，不需要上面這么復(fù)雜的計算過程，在Excel的數(shù)據(jù)分析模塊中選擇相關(guān)系數(shù)功能，設(shè)置好x，y變量后可以自動求得相關(guān)系數(shù)的值。在下面的結(jié)果中可以看到，廣告曝光量和費用成本的相關(guān)系數(shù)與我們手動求的結(jié)果一致。

相關(guān)系數(shù)的優(yōu)點是可以通過數(shù)字對變量的關(guān)系進行度量，并且?guī)в蟹较蛐裕?表示正相關(guān)，-1表示負相關(guān)，可以對變量關(guān)系的強弱進行度量，越靠近0相關(guān)性越弱。缺點是無法利用這種關(guān)系對數(shù)據(jù)進行預(yù)測，簡單的說就是沒有對變量間的關(guān)系進行提煉和固化，形成模型。要利用變量間的關(guān)系進行預(yù)測，需要使用到下一種相關(guān)分析方法，回歸分析。

4.一元回歸及多元回歸

第四種相關(guān)分析方法是回歸分析。回歸分析(regression analysis)是確定兩組或兩組以上變量間關(guān)系的統(tǒng)計方法?；貧w分析按照變量的數(shù)量分為一元回歸和多元回歸。兩個變量使用一元回歸，兩個以上變量使用多元回歸。進行回歸分析之前有兩個準(zhǔn)備工作，***確定變量的數(shù)量。第二確定自變量和因變量。我們的數(shù)據(jù)中只包含廣告曝光量和費用成本兩個變量，因此使用一元回歸。根據(jù)經(jīng)驗廣告曝光量是隨著費用成本的變化而改變的，因此將費用成本設(shè)置為自變量x，廣告曝光量設(shè)置為因變量y。

以下是一元回歸方程，其中y表示廣告曝光量，x表示費用成本。b0為方程的截距，b1為斜率，同時也表示了兩個變量間的關(guān)系。我們的目標(biāo)就是b0和b1的值，知道了這兩個值也就知道了變量間的關(guān)系。并且可以通過這個關(guān)系在已知成本費用的情況下預(yù)測廣告曝光量。

這是b1的計算公式，我們通過已知的費用成本x和廣告曝光量y來計算b1的值。

以下是通過最小二乘法計算b1值的具體計算過程和結(jié)果，經(jīng)計算，b1的值為5.84。同時我們也獲得了自變量和因變量的均值。通過這三個值可以計算出b0的值。

以下是b0的計算公式，在已知b1和自變量與因變量均值的情況下，b0的值很容易計算。

將自變量和因變量的均值以及斜率b1代入到公式中，求出一元回歸方程截距b0的值為374。這里b1我們保留兩位小數(shù)，取值5.84。

在實際的工作中不需要進行如此繁瑣的計算，Excel可以幫我們自動完成并給出結(jié)果。在Excel中使用數(shù)據(jù)分析中的回歸功能，輸入自變量和因變量的范圍后可以自動獲得b0(Intercept)的值362.15和b1的值5.84。這里的b0和之前手動計算獲得的值有一些差異，因為前面用于計算的b1值只保留了兩位小數(shù)。

這里還要單獨說明下R Square的值0.87。這個值叫做判定系數(shù)，用來度量回歸方程的擬合優(yōu)度。這個值越大，說明回歸方程越有意義，自變量對因變量的解釋度越高。

將截距b0和斜率b1代入到一元回歸方程中就獲得了自變量與因變量的關(guān)系。費用成本每增加1元，廣告曝光量會增加379.84次。通過這個關(guān)系我們可以根據(jù)成本預(yù)測廣告曝光量數(shù)據(jù)。也可以根據(jù)轉(zhuǎn)化所需的廣告曝光量來反推投入的費用成本。獲得這個方程還有一個更簡單的方法，就是在Excel中對自變量和因變量生成散點圖，然后選擇添加趨勢線，在添加趨勢線的菜單中選中顯示公式和顯示R平方值即可。

以上介紹的是兩個變量的一元回歸方法，如果有兩個以上的變量使用Excel中的回歸分析，選中相應(yīng)的自變量和因變量范圍即可。下面是多元回歸方程。

5.信息熵及互信息

***一種相關(guān)分析方法是信息熵與互信息。前面我們一直在圍繞消費成本和廣告曝光量兩組數(shù)據(jù)展開分析。實際工作中影響最終效果的因素可能有很多，并且不一定都是數(shù)值形式。比如我們站在更高的維度來看之前的數(shù)據(jù)。廣告曝光量只是一個過程指標(biāo)，最終要分析和關(guān)注的是用戶是否購買的狀態(tài)。而影響這個結(jié)果的因素也不僅僅是消費成本或其他數(shù)值化指標(biāo)?？赡苁且恍┨卣髦?。例如用戶所在的城市，用戶的性別，年齡區(qū)間分布，以及是否***次到訪網(wǎng)站等等。這些都不能通過數(shù)字進行度量。

度量這些文本特征值之間相關(guān)關(guān)系的方法就是互信息。通過這種方法我們可以發(fā)現(xiàn)哪一類特征與最終的結(jié)果關(guān)系密切。下面是我們模擬的一些用戶特征和數(shù)據(jù)。在這些數(shù)據(jù)中我們忽略之前的消費成本和廣告曝光量數(shù)據(jù)，只關(guān)注特征與狀態(tài)的關(guān)系。

對于信息熵和互信息具體的計算過程請參考我前面的文章《決策樹分類和預(yù)測算法的原理及實現(xiàn)》，這里直接給出每個特征的互信息值以及排名結(jié)果。經(jīng)過計算城市與購買狀態(tài)的相關(guān)性***，所在城市為北京的用戶購買率較高。

到此為止5種相關(guān)分析方法都已介紹完，每種方法各有特點。其中圖表方法最為直觀，相關(guān)系數(shù)方法可以看到變量間兩兩的相關(guān)性，回歸方程可以對相關(guān)關(guān)系進行提煉，并生成模型用于預(yù)測，互信息可以對文本類特征間的相關(guān)關(guān)系進行度量。