時間序列數(shù)據(jù)(Time Series Data)是按時間排序的數(shù)據(jù)，利率、匯率和股價等都是時間序列數(shù)據(jù)。時間序列數(shù)據(jù)的時間間隔可以是分和秒(如高頻金融數(shù)據(jù))，也可以是日、周、月、季度、年以及甚至更大的時間單位。數(shù)據(jù)分析解決方案提供商 New Relic 在其博客上介紹了為時間序列數(shù)據(jù)優(yōu)化 K-均值聚類速度的方法。筆者對本文進行了編譯介紹。

在 New Relic，我們每分鐘都會收集到 13.7 億個數(shù)據(jù)點。我們?yōu)槲覀兊目蛻羰占?、分析和展示的很大一部分?shù)據(jù)都是時間序列數(shù)據(jù)。為了創(chuàng)建應(yīng)用與其它實體(比如服務(wù)器和容器)之間的關(guān)系，以便打造 New Relic Radar 這樣的新型智能產(chǎn)品，我們正在不斷探索更快更有效的對時間序列數(shù)據(jù)分組的方法。鑒于我們所收集的數(shù)據(jù)的量是如此巨大，更快的聚類時間至關(guān)重要。

加速 k-均值聚類

k-均值聚類是一種流行的分組數(shù)據(jù)的方法。k-均值方法的基本原理涉及到確定每個數(shù)據(jù)點之間的距離并將它們分組成有意義的聚類。我們通常使用平面上的二維數(shù)據(jù)來演示這個過程。以超過二維的方式聚類當然是可行的，但可視化這種數(shù)據(jù)的過程會變得更為復雜。比如，下圖給出了 k-均值聚類在兩個任意維度上經(jīng)過幾次迭代的收斂情況：

不幸的是，這種方法并不能很好地用于時間序列數(shù)據(jù)，因為它們通常是隨時間變化的一維數(shù)據(jù)。但是，我們?nèi)匀豢梢允褂靡恍┎煌暮瘮?shù)來計算兩個時間序列數(shù)據(jù)之間的距離因子(distance factor)。在這些案例中，我們可以使用均方誤差(MSE)來探索不同的 k-均值實現(xiàn)。在測試這些實現(xiàn)的過程中，我們注意到很多實現(xiàn)的表現(xiàn)水平都有嚴重的問題，但我們?nèi)匀豢梢匝菔炯铀? k-均值聚類的可能方法，在某些案例中甚至能實現(xiàn)一個數(shù)量級的速度提升。

這里我們將使用 Python 的 NumPy 軟件包。如果你決定上手跟著練習，你可以直接將這些代碼復制和粘貼到 Jupyter Notebook 中。讓我們從導入軟件包開始吧，這是我們一直要用到的東西：

import time 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
%matplotlib inline 

在接下來的測試中，我們首先生成 10000 個隨機時間序列數(shù)據(jù)，每個數(shù)據(jù)的樣本長度為 500。然后我們向隨機長度的正弦波添加噪聲。盡管這一類數(shù)據(jù)對 k-均值聚類方法而言并不理想，但它足以完成未優(yōu)化的實現(xiàn)。

n = 10000 
ts_len = 500 
phases = np.array(np.random.randint(0, 50, [n, 2])) 
pure = np.sin([np.linspace(-np.pi * x[0], -np.pi * x[1], ts_len) for x in phases]) 
noise = np.array([np.random.normal(0, 1, ts_len) for x in range(n)]) 
signals = pure * noise 
# Normalize everything between 0 and 1 
signals += np.abs(np.min(signals)) 
signals /= np.max(signals) 
plt.plot(signals[0]) 

***個實現(xiàn)

讓我們從最基本和最直接的實現(xiàn)開始吧。euclid_dist 可以為距離函數(shù)實現(xiàn)一個簡單的 MSE 估計器，k_means 可以實現(xiàn)基本的 k-均值算法。我們從我們的初始數(shù)據(jù)集中選擇了 num_clust 隨機時間序列數(shù)據(jù)作為質(zhì)心(代表每個聚類的中心)。在 num_iter 次迭代的過程中，我們會持續(xù)不斷地移動質(zhì)心，同時最小化這些質(zhì)心與其它時間序列數(shù)據(jù)之間的距離。

def euclid_dist(t1, t2): 
        return np.sqrt(((t1-t2)**2).sum()) 
def k_means(data, num_clust, num_iter): 
   centroids = signals[np.random.randint(0, signals.shape[0], num_clust)] 
   for n in range(num_iter): 
       assignments={} 
       for ind, i in enumerate(data): 
           min_dist = float('inf') 
           closest_clust = None 
           for c_ind, j in enumerate(centroids): 
               dist = euclid_dist(i, j) 
               if dist < min_dist: 
                  min_dist = dist 
                  closest_clust = c_ind 
           if closest_clust in assignments: 
               assignments[closest_clust].append(ind) 
           else: 
               assignments[closest_clust]=[] 
               assignments[closest_clust].append(ind) 
       for key in assignments: 
           clust_sum = 0 
           for k in assignments[key]: 
               clust_sum = clust_sum + data[k] 
           centroids[key] = [m / len(assignments[key]) for m in clust_sum] 
   return centroids 

t1 = time.time() 
centroids = k_means(signals, 100, 100) 
t2 = time.time() 
print("Took {} seconds".format(t2 - t1)) 
 
Took 1138.8745470046997 seconds 

聚類這些數(shù)據(jù)用去了接近 20 分鐘。這不是很糟糕，但肯定算不上好。為了在下一個實現(xiàn)中達到更快的速度，我們決定去掉盡可能多的 for 循環(huán)。

向量化的實現(xiàn)

使用 NumPy 的一大優(yōu)勢是向量化運算。(如果你不太了解向量化運算，請參考這個鏈接：http://www.scipy-lectures.org/intro/numpy/operations.html)

k-均值算法要求每個質(zhì)心和數(shù)據(jù)點都成對地進行比較。這意味著在我們之前的迭代中，我們要將 100 個質(zhì)心和 10000 個時間序列數(shù)據(jù)分別進行比較，也就是每次迭代都要進行 100 萬次比較。請記住每次比較都涉及到兩個包含 500 個樣本的集合。因為我們迭代了 100 次，那就是說我們總共比較了 1 億次——對于單個 CPU 而言算是相當大的工作量了。盡管 Python 是一種還算高效的語言，但效率還趕不上用 C 語言寫的指令。正是由于這個原因，NumPy 的大部分核心運算都是用 C 語言寫的，并且還進行了向量化以最小化由循環(huán)帶來的計算開銷。

我們來探索一下我們可以如何向量化我們的代碼，從而去掉盡可能多的循環(huán)。

首先，我們將代碼分成不同的功能模塊。這能讓我們更好地理解每個部分所負責的工作。接下來，我們修改 calc_centroids 步驟以便僅在質(zhì)心上迭代(而不是在每個時間序列數(shù)據(jù)上)。這樣，我們將所有時間序列數(shù)據(jù)和一個質(zhì)心傳遞給 euclid_dist。我們還可以預先分配 dist 矩陣，而不是將其當成一個詞典進行處理并隨時間擴展它。NumPy 的 argmin 可以一次性比較每個向量對。

在 move_centroids 中，我們使用向量運算去掉了另一個 for 循環(huán)，而且我們只在獨特的質(zhì)心集上迭代。如果我們丟失了一個質(zhì)心，我們就通過從我們的時間序列數(shù)據(jù)集中進行隨機選擇來加入合適的數(shù)字(這在實際應(yīng)用的實踐中很罕見)。

***，我們添加一個提前停止(early stopping)來檢查 k_means——如果質(zhì)心不再更新，就停止迭代。

來看看代碼：

def euclid_dist(t1, t2): 
   return np.sqrt(((t1-t2)**2).sum(axis = 1)) 
def calc_centroids(data, centroids): 
   dist = np.zeros([data.shape[0], centroids.shape[0]]) 
   for idx, centroid in enumerate(centroids): 
       dist[:, idx] = euclid_dist(centroid, data) 
   return np.array(dist) 
def closest_centroids(data, centroids): 
   dist = calc_centroids(data, centroids) 
   return np.argmin(dist, axis = 1) 
def move_centroids(data, closest, centroids): 
   k = centroids.shape[0] 
   new_centroids = np.array([data[closest == c].mean(axis = 0) for c in np.unique(closest)]) 
   if k - new_centroids.shape[0] > 0: 
      print("adding {} centroid(s)".format(k - new_centroids.shape[0])) 
      additional_centroids = data[np.random.randint(0, data.shape[0], k - new_centroids.shape[0])] 
      new_centroids = np.append(new_centroids, additional_centroids, axis = 0) 
   return new_centroids 
def k_means(data, num_clust, num_iter): 
   centroids = signals[np.random.randint(0, signals.shape[0], num_clust)] 
   last_centroids = centroids 
   for n in range(num_iter): 
       closest = closest_centroids(data, centroids) 
       centroids = move_centroids(data, closest, centroids) 
       if not np.any(last_centroids != centroids): 
          print("early finish!") 
          break 
       last_centroids = centroids 
   return centroids 

t1 = time.time() 
centroids = k_means(signals, 100, 100) 
t2 = time.time() 
print("Took {} seconds".format(t2 - t1)) 

adding 1 centroid(s) 
early finish! 
took 206.72993397712708 seconds 

耗時 3.5 分鐘多一點。很不錯!但我們還想完成得更快。

k-means++ 實現(xiàn)

我們的下一個實現(xiàn)使用了 k-means++ 算法。這個算法的目的是選擇更優(yōu)的初始質(zhì)心。讓我們看看這種優(yōu)化方法有沒有用……

def init_centroids(data, num_clust): 
   centroids = np.zeros([num_clust, data.shape[1]]) 
   centroids[0,:] = data[np.random.randint(0, data.shape[0], 1)] 
   for i in range(1, num_clust): 
       D2 = np.min([np.linalg.norm(data - c, axis = 1)**2 for c in centroids[0:i, :]], axis = 0) 
       probs = D2/D2.sum() 
       cumprobs = probs.cumsum() 
       ind = np.where(cumprobs >= np.random.random())[0][0] 
       centroids[i, :] = np.expand_dims(data[ind], axis = 0) 
   return centroids 
def k_means(data, num_clust, num_iter): 
   centroids = init_centroids(data, num_clust) 
   last_centroids = centroids 
   for n in range(num_iter): 
       closest = closest_centroids(data, centroids) 
       centroids = move_centroids(data, closest, centroids) 
       if not np.any(last_centroids != centroids): 
           print("Early finish!") 
           break 
       last_centroids = centroids 
   return centroids 

t1 = time.time() 
centroids = k_means(signals, 100, 100) 
t2 = time.time() 
print("Took {} seconds".format(t2 - t1)) 

early finish! 
took 180.91435194015503 seconds 

相比于我們之前的迭代，加入 k-means++ 算法能得到稍微好一點的性能。但是，當我們將其并行化之后，這種優(yōu)化方法才真正開始帶來顯著回報。

并行實現(xiàn)

到目前為止，我們所有的實現(xiàn)都是單線程的，所以我們決定探索 k-means++ 算法的并行化部分。因為我們在使用 Jupyter Notebook，所以我們選擇使用用于并行計算的 ipyparallel 來管理并行性(ipyparallel 地址：https://github.com/ipython/ipyparallel)。使用 ipyparallel，我們不必擔心整個服務(wù)器分叉，但我們需要解決一些特殊問題。比如說，我們必須指示我們的工作器節(jié)點加載 NumPy。

import ipyparallel as ipp 
c = ipp.Client() 
v = c[:] 
v.use_cloudpickle() 
with v.sync_imports(): 
   import numpy as np 

關(guān)于加載工作器更多詳情，請參閱 ipyparallel 上手指南：https://ipyparallel.readthedocs.io/en/latest/

在這一個實現(xiàn)中，我們的重點放在并行化的兩個方面。首先，calc_centroids 有一個在每個質(zhì)心上迭代并將其與我們的時間序列數(shù)據(jù)進行比較的循環(huán)。我們使用了 map_sync 來將這些迭代中的每一個發(fā)送到我們的工作器。

接下來，我們并行化 k-means++ 質(zhì)心搜索中一個相似的循環(huán)。注意其中對 v.push 的調(diào)用：因為我們的 lambda 引用的數(shù)據(jù)，我們需要確保它在工作器節(jié)點上是可用的。我們通過調(diào)用 ipyparallel 的 push 方法來將該變量復制到工作器的全局范圍中，從而實現(xiàn)了這一目標。

看看代碼：

def calc_centroids(data, centroids): 
        return np.array(v.map_sync(lambda x: np.sqrt(((x - data)**2).sum(axis = 1)), centroids)) 
def closest_centroids(points, centroids): 
   dist = calc_centroids(points, centroids) 
   return np.argmin(dist, axis=0) 
def init_centroids(data, num_clust): 
   v.push(dict(data=data)) 
   centroids = np.zeros([num_clust, data.shape[1]]) 
   centroids[0,:] = data[np.random.randint(0, data.shape[0], 1)] 
   for i in range(1, num_clust): 
       D2 = np.min(v.map_sync(lambda c: np.linalg.norm(data - c, axis = 1)**2, centroids[0:i,:]), axis = 0) 
       probs = D2/D2.sum() 
       cumprobs = probs.cumsum() 
       ind = np.where(cumprobs >= np.random.random())[0][0] 
       centroids[i, :] = np.expand_dims(data[ind], axis = 0) 
   return centroids 

t1 = time.time() 
centroids = k_means(signals, 100, 100) 
t2 = time.time() 
print("Took {} seconds".format(t2 - t1)) 

adding 2 centroid(s) 
early finish! 
took 143.49819207191467 seconds 

結(jié)果只有兩分鐘多一點，這是我們目前實現(xiàn)的最快速度!

接下來：更快!

在這些測試中，我們都只使用了中央處理器(CPU)。CPU 能提供方便的并行化，但我們認為再多花點功夫，我們就可以使用圖形處理器(GPU)來實現(xiàn)聚類，且速度將得到一個數(shù)量級的提升。我們也許可以使用 TensorFlow 來實現(xiàn)，這是一個用于數(shù)值計算和機器學習的開源軟件。實際上，TensorFlow 已經(jīng)包含了 k-均值實現(xiàn)，但我們基本上肯定還是需要對其進行調(diào)整才能將其用于時間序列聚類。不管怎樣，我們都不會停下尋找更快更高效的聚類算法的步伐，以幫助管理我們的用戶的數(shù)據(jù)。