機(jī)器通過(guò)損失函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。這是一種評(píng)估特定算法對(duì)給定數(shù)據(jù)建模程度的方法。如果預(yù)測(cè)值與實(shí)際結(jié)果偏離較遠(yuǎn)，損失函數(shù)會(huì)得到一個(gè)非常大的值。在一些優(yōu)化函數(shù)的輔助下，損失函數(shù)逐漸學(xué)會(huì)減少預(yù)測(cè)值的誤差。本文將介紹幾種損失函數(shù)及其在機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域的應(yīng)用。

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損失函數(shù)和優(yōu)化

沒(méi)有一個(gè)適合所有機(jī)器學(xué)習(xí)算法的損失函數(shù)。針對(duì)特定問(wèn)題選擇損失函數(shù)涉及到許多因素，比如所選機(jī)器學(xué)習(xí)算法的類(lèi)型、是否易于計(jì)算導(dǎo)數(shù)以及數(shù)據(jù)集中異常值所占比例。

從學(xué)習(xí)任務(wù)的類(lèi)型出發(fā)，可以從廣義上將損失函數(shù)分為兩大類(lèi)——回歸損失和分類(lèi)損失。在分類(lèi)任務(wù)中，我們要從類(lèi)別值有限的數(shù)據(jù)集中預(yù)測(cè)輸出，比如給定一個(gè)手寫(xiě)數(shù)字圖像的大數(shù)據(jù)集，將其分為 0～9 中的一個(gè)。而回歸問(wèn)題處理的則是連續(xù)值的預(yù)測(cè)問(wèn)題，例如給定房屋面積、房間數(shù)量以及房間大小，預(yù)測(cè)房屋價(jià)格。

NOTE  
        n        - Number of training examples. 
        i        - ith training example in a data set. 
        y(i)     - Ground truth label for ith training example. 
        y_hat(i) - Prediction for ith training example. 

回歸損失

1. 均方誤差/平方損失/L2 損失

數(shù)學(xué)公式：

均方誤差

顧名思義，均方誤差(MSE)度量的是預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀測(cè)值間差的平方的均值。它只考慮誤差的平均大小，不考慮其方向。但由于經(jīng)過(guò)平方，與真實(shí)值偏離較多的預(yù)測(cè)值會(huì)比偏離較少的預(yù)測(cè)值受到更為嚴(yán)重的懲罰。再加上 MSE 的數(shù)學(xué)特性很好，這使得計(jì)算梯度變得更容易。

import numpy as np 
y_hat = np.array([0.000, 0.166, 0.333]) 
y_true = np.array([0.000, 0.254, 0.998]) 
def rmse(predictions, targets): 
    differences = predictions - targets 
    differencesdifferences_squared = differences ** 2 
    mean_of_differences_squared = differences_squared.mean() 
    rmse_val = np.sqrt(mean_of_differences_squared) 
    return rmse_val 
print("d is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_hat])) 
print("p is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_true])) 
rmsermse_val = rmse(y_hat, y_true) 
print("rms error is: " + str(rmse_val)) 

2. 平均絕對(duì)誤差/L1 損失

數(shù)學(xué)公式：

平均絕對(duì)誤差

平均絕對(duì)誤差(MAE)度量的是預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀測(cè)值之間絕對(duì)差之和的平均值。和 MSE 一樣，這種度量方法也是在不考慮方向的情況下衡量誤差大小。但和 MSE 的不同之處在于，MAE 需要像線(xiàn)性規(guī)劃這樣更復(fù)雜的工具來(lái)計(jì)算梯度。此外，MAE 對(duì)異常值更加穩(wěn)健，因?yàn)樗皇褂闷椒健?/p>

import numpy as np 
y_hat = np.array([0.000, 0.166, 0.333]) 
y_true = np.array([0.000, 0.254, 0.998]) 
 
print("d is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_hat])) 
print("p is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_true])) 
 
def mae(predictions, targets): 
    differences = predictions - targets 
    absolute_differences = np.absolute(differences) 
    mean_absolute_differences = absolute_differences.mean() 
    return mean_absolute_differences 
maemae_val = mae(y_hat, y_true) 
print ("mae error is: " + str(mae_val)) 

3. 平均偏差誤差(mean bias error)

與其它損失函數(shù)相比，這個(gè)函數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域沒(méi)有那么常見(jiàn)。它與 MAE 相似，唯一的區(qū)別是這個(gè)函數(shù)沒(méi)有用絕對(duì)值。用這個(gè)函數(shù)需要注意的一點(diǎn)是，正負(fù)誤差可以互相抵消。盡管在實(shí)際應(yīng)用中沒(méi)那么準(zhǔn)確，但它可以確定模型存在正偏差還是負(fù)偏差。

數(shù)學(xué)公式：

平均偏差誤差

二、分類(lèi)損失

1. Hinge Loss/多分類(lèi) SVM 損失

簡(jiǎn)言之，在一定的安全間隔內(nèi)(通常是 1)，正確類(lèi)別的分?jǐn)?shù)應(yīng)高于所有錯(cuò)誤類(lèi)別的分?jǐn)?shù)之和。因此 hinge loss 常用于***間隔分類(lèi)(maximum-margin classification)，最常用的是支持向量機(jī)。盡管不可微，但它是一個(gè)凸函數(shù)，因此可以輕而易舉地使用機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中常用的凸優(yōu)化器。

數(shù)學(xué)公式：

SVM 損失(Hinge Loss)

思考下例，我們有三個(gè)訓(xùn)練樣本，要預(yù)測(cè)三個(gè)類(lèi)別(狗、貓和馬)。以下是我們通過(guò)算法預(yù)測(cè)出來(lái)的每一類(lèi)的值：

Hinge loss/多分類(lèi) SVM 損失

計(jì)算這 3 個(gè)訓(xùn)練樣本的 hinge loss：

## 1st training example 
max(0, (1.49) - (-0.39) + 1) + max(0, (4.21) - (-0.39) + 1) 
max(0, 2.88) + max(0, 5.6) 
2.88 + 5.6 
8.48 (High loss as very wrong prediction) 
## 2nd training example 
max(0, (-4.61) - (3.28)+ 1) + max(0, (1.46) - (3.28)+ 1) 
max(0, -6.89) + max(0, -0.82) 
0 + 0 
0 (Zero loss as correct prediction) 
## 3rd training example 
max(0, (1.03) - (-2.27)+ 1) + max(0, (-2.37) - (-2.27)+ 1) 
max(0, 4.3) + max(0, 0.9) 
4.3 + 0.9 
5.2 (High loss as very wrong prediction) 

交叉熵?fù)p失/負(fù)對(duì)數(shù)似然：

這是分類(lèi)問(wèn)題中最常見(jiàn)的設(shè)置。隨著預(yù)測(cè)概率偏離實(shí)際標(biāo)簽，交叉熵?fù)p失會(huì)逐漸增加。

數(shù)學(xué)公式：

交叉熵?fù)p失

注意，當(dāng)實(shí)際標(biāo)簽為 1(y(i)=1) 時(shí)，函數(shù)的后半部分消失，而當(dāng)實(shí)際標(biāo)簽是為 0(y(i=0)) 時(shí)，函數(shù)的前半部分消失。簡(jiǎn)言之，我們只是把對(duì)真實(shí)值類(lèi)別的實(shí)際預(yù)測(cè)概率的對(duì)數(shù)相乘。還有重要的一點(diǎn)是，交叉熵?fù)p失會(huì)重重懲罰那些置信度高但是錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)值。

import numpy as np 
predictions = np.array([[0.25,0.25,0.25,0.25], 
                        [0.01,0.01,0.01,0.96]]) 
targets = np.array([[0,0,0,1], 
                   [0,0,0,1]]) 
def cross_entropy(predictions, targets, epsilon=1e-10): 
    predictions = np.clip(predictions, epsilon, 1. - epsilon) 
    N = predictions.shape[0] 
    ce_loss = -np.sum(np.sum(targets * np.log(predictions + 1e-5)))/N 
    return ce_loss 
cross_entropycross_entropy_loss = cross_entropy(predictions, targets) 
print ("Cross entropy loss is: " + str(cross_entropy_loss)) 

【本文是51CTO專(zhuān)欄機(jī)構(gòu)“機(jī)器之心”的原創(chuàng)文章，微信公眾號(hào)“機(jī)器之心( id: almosthuman2014)”】

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