機(jī)器學(xué)習(xí)大牛最常用的5個回歸損失函數(shù)，你知道幾個？
大數(shù)據(jù)文摘出品
編譯：Apricock、睡不著的iris、JonyKai、錢天培
“損失函數(shù)”是機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)化中至關(guān)重要的一部分。L1、L2損失函數(shù)相信大多數(shù)人都早已不陌生。那你了解Huber損失、Log-Cosh損失、以及常用于計算預(yù)測區(qū)間的分位數(shù)損失么?這些可都是機(jī)器學(xué)習(xí)大牛最常用的回歸損失函數(shù)哦!
機(jī)器學(xué)習(xí)中所有的算法都需要最大化或最小化一個函數(shù)，這個函數(shù)被稱為“目標(biāo)函數(shù)”。其中，我們一般把最小化的一類函數(shù)，稱為“損失函數(shù)”。它能根據(jù)預(yù)測結(jié)果，衡量出模型預(yù)測能力的好壞。
在實際應(yīng)用中，選取損失函數(shù)會受到諸多因素的制約，比如是否有異常值、機(jī)器學(xué)習(xí)算法的選擇、梯度下降的時間復(fù)雜度、求導(dǎo)的難易程度以及預(yù)測值的置信度等等。因此，不存在一種損失函數(shù)適用于處理所有類型的數(shù)據(jù)。這篇文章就講介紹不同種類的損失函數(shù)以及它們的作用。
損失函數(shù)大致可分為兩類：分類問題的損失函數(shù)和回歸問題的損失函數(shù)。在這篇文章中，我將著重介紹回歸損失。
本文出現(xiàn)的代碼和圖表我們都妥妥保存在這兒了：
https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb
分類、回歸問題損失函數(shù)對比
均方誤差
均方誤差(MSE)是最常用的回歸損失函數(shù)，計算方法是求預(yù)測值與真實值之間距離的平方和，公式如圖。
下圖是MSE函數(shù)的圖像，其中目標(biāo)值是100，預(yù)測值的范圍從-10000到10000，Y軸代表的MSE取值范圍是從0到正無窮，并且在預(yù)測值為100處達(dá)到最小。
MSE損失(Y軸)-預(yù)測值(X軸)
平均絕對值誤差(也稱L1損失)
平均絕對誤差(MAE)是另一種用于回歸模型的損失函數(shù)。MAE是目標(biāo)值和預(yù)測值之差的絕對值之和。其只衡量了預(yù)測值誤差的平均模長，而不考慮方向，取值范圍也是從0到正無窮(如果考慮方向，則是殘差/誤差的總和——平均偏差(MBE))。
MAE損失(Y軸)-預(yù)測值(X軸)
1. MSE(L2損失)與MAE(L1損失)的比較
簡單來說，MSE計算簡便，但MAE對異常點有更好的魯棒性。下面就來介紹導(dǎo)致二者差異的原因。
訓(xùn)練一個機(jī)器學(xué)習(xí)模型時，我們的目標(biāo)就是找到損失函數(shù)達(dá)到極小值的點。當(dāng)預(yù)測值等于真實值時，這兩種函數(shù)都能達(dá)到最小。
下面是這兩種損失函數(shù)的python代碼。你可以自己編寫函數(shù)，也可以使用sklearn內(nèi)置的函數(shù)。
- # true: Array of true target variable
- # pred: Array of predictions
- def mse(true, pred):
- return np.sum((true - pred)**2)
- def mae(true, pred):
- return np.sum(np.abs(true - pred))
- # also available in sklearn
- from sklearn.metrics import mean_squared_error
- from sklearn.metrics import mean_absolute_error
下面讓我們觀察MAE和RMSE(即MSE的平方根，同MAE在同一量級中)在兩個例子中的計算結(jié)果。第一個例子中，預(yù)測值和真實值很接近，而且誤差的方差也較小。第二個例子中，因為存在一個異常點，而導(dǎo)致誤差非常大。
左圖：誤差比較接近 右圖：有一個誤差遠(yuǎn)大于其他誤差
2. 從圖中可以知道什么?應(yīng)當(dāng)如何選擇損失函數(shù)?
MSE對誤差取了平方(令e=真實值-預(yù)測值)，因此若e>1，則MSE會進(jìn)一步增大誤差。如果數(shù)據(jù)中存在異常點，那么e值就會很大，而e²則會遠(yuǎn)大于|e|。
因此，相對于使用MAE計算損失，使用MSE的模型會賦予異常點更大的權(quán)重。在第二個例子中，用RMSE計算損失的模型會以犧牲了其他樣本的誤差為代價，朝著減小異常點誤差的方向更新。然而這就會降低模型的整體性能。
如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)被異常點所污染，那么MAE損失就更好用(比如，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在大量錯誤的反例和正例標(biāo)記，但是在測試集中沒有這個問題)。
直觀上可以這樣理解：如果我們最小化MSE來對所有的樣本點只給出一個預(yù)測值，那么這個值一定是所有目標(biāo)值的平均值。但如果是最小化MAE，那么這個值，則會是所有樣本點目標(biāo)值的中位數(shù)。眾所周知，對異常值而言，中位數(shù)比均值更加魯棒，因此MAE對于異常值也比MSE更穩(wěn)定。
然而MAE存在一個嚴(yán)重的問題(特別是對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))：更新的梯度始終相同，也就是說，即使對于很小的損失值，梯度也很大。這樣不利于模型的學(xué)習(xí)。為了解決這個缺陷，我們可以使用變化的學(xué)習(xí)率，在損失接近最小值時降低學(xué)習(xí)率。
而MSE在這種情況下的表現(xiàn)就很好，即便使用固定的學(xué)習(xí)率也可以有效收斂。MSE損失的梯度隨損失增大而增大，而損失趨于0時則會減小。這使得在訓(xùn)練結(jié)束時，使用MSE模型的結(jié)果會更精確。
根據(jù)不同情況選擇損失函數(shù)
如果異常點代表在商業(yè)中很重要的異常情況，并且需要被檢測出來，則應(yīng)選用MSE損失函數(shù)。相反，如果只把異常值當(dāng)作受損數(shù)據(jù)，則應(yīng)選用MAE損失函數(shù)。
推薦大家讀一下這篇文章，文中比較了分別使用L1、L2損失的回歸模型在有無異常值時的表現(xiàn)。
文章網(wǎng)址：http://rishy.github.io/ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/
這里L(fēng)1損失和L2損失只是MAE和MSE的別稱。
總而言之，處理異常點時，L1損失函數(shù)更穩(wěn)定，但它的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此求解效率較低。L2損失函數(shù)對異常點更敏感，但通過令其導(dǎo)數(shù)為0，可以得到更穩(wěn)定的封閉解。
二者兼有的問題是：在某些情況下，上述兩種損失函數(shù)都不能滿足需求。例如，若數(shù)據(jù)中90%的樣本對應(yīng)的目標(biāo)值為150，剩下10%在0到30之間。那么使用MAE作為損失函數(shù)的模型可能會忽視10%的異常點，而對所有樣本的預(yù)測值都為150。
這是因為模型會按中位數(shù)來預(yù)測。而使用MSE的模型則會給出很多介于0到30的預(yù)測值，因為模型會向異常點偏移。上述兩種結(jié)果在許多商業(yè)場景中都是不可取的。
這些情況下應(yīng)該怎么辦呢?最簡單的辦法是對目標(biāo)變量進(jìn)行變換。而另一種辦法則是換一個損失函數(shù)，這就引出了下面要講的第三種損失函數(shù)，即Huber損失函數(shù)。
Huber損失，平滑的平均絕對誤差
Huber損失對數(shù)據(jù)中的異常點沒有平方誤差損失那么敏感。它在0也可微分。本質(zhì)上，Huber損失是絕對誤差，只是在誤差很小時，就變?yōu)槠椒秸`差。誤差降到多小時變?yōu)槎握`差由超參數(shù)δ(delta)來控制。當(dāng)Huber損失在[0-δ,0+δ]之間時，等價為MSE，而在[-∞,δ]和[δ,+∞]時為MAE。
Huber損失(Y軸)與預(yù)測值(X軸)圖示。真值取0
這里超參數(shù)delta的選擇非常重要，因為這決定了你對與異常點的定義。當(dāng)殘差大于delta，應(yīng)當(dāng)采用L1(對較大的異常值不那么敏感)來最小化，而殘差小于超參數(shù)，則用L2來最小化。
為何要使用Huber損失?
使用MAE訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大的一個問題就是不變的大梯度，這可能導(dǎo)致在使用梯度下降快要結(jié)束時，錯過了最小點。而對于MSE，梯度會隨著損失的減小而減小，使結(jié)果更加精確。
在這種情況下，Huber損失就非常有用。它會由于梯度的減小而落在最小值附近。比起MSE，它對異常點更加魯棒。因此，Huber損失結(jié)合了MSE和MAE的優(yōu)點。但是，Huber損失的問題是我們可能需要不斷調(diào)整超參數(shù)delta。
Log-Cosh損失
Log-cosh是另一種應(yīng)用于回歸問題中的，且比L2更平滑的的損失函數(shù)。它的計算方式是預(yù)測誤差的雙曲余弦的對數(shù)。
Log-cosh損失(Y軸)與預(yù)測值(X軸)圖示。真值取0
優(yōu)點：對于較小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，對于較大的x，近似等于abs(x)-log(2)。這意味著‘logcosh’基本類似于均方誤差，但不易受到異常點的影響。它具有Huber損失所有的優(yōu)點，但不同于Huber損失的是，Log-cosh二階處處可微。
為什么需要二階導(dǎo)數(shù)?許多機(jī)器學(xué)習(xí)模型如XGBoost，就是采用牛頓法來尋找最優(yōu)點。而牛頓法就需要求解二階導(dǎo)數(shù)(Hessian)。因此對于諸如XGBoost這類機(jī)器學(xué)習(xí)框架，損失函數(shù)的二階可微是很有必要的。
XgBoost中使用的目標(biāo)函數(shù)。注意對一階和二階導(dǎo)數(shù)的依賴性
但Log-cosh損失也并非完美，其仍存在某些問題。比如誤差很大的話，一階梯度和Hessian會變成定值，這就導(dǎo)致XGBoost出現(xiàn)缺少分裂點的情況。
Huber和Log-cosh損失函數(shù)的Python代碼：
- # huber loss
- def huber(true, pred, delta):
- loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2), delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2))
- return np.sum(loss)
- # log cosh loss
- def logcosh(true, pred):
- loss = np.log(np.cosh(pred - true))
- return np.sum(loss)
分位數(shù)損失
在大多數(shù)現(xiàn)實世界預(yù)測問題中，我們通常希望了解預(yù)測中的不確定性。清楚預(yù)測的范圍而非僅是估計點，對許多商業(yè)問題的決策很有幫助。
當(dāng)我們更關(guān)注區(qū)間預(yù)測而不僅是點預(yù)測時，分位數(shù)損失函數(shù)就很有用。使用最小二乘回歸進(jìn)行區(qū)間預(yù)測，基于的假設(shè)是殘差(y-y_hat)是獨立變量，且方差保持不變。
一旦違背了這條假設(shè)，那么線性回歸模型就不成立。但是我們也不能因此就認(rèn)為使用非線性函數(shù)或基于樹的模型更好，而放棄將線性回歸模型作為基線方法。這時，分位數(shù)損失和分位數(shù)回歸就派上用場了，因為即便對于具有變化方差或非正態(tài)分布的殘差，基于分位數(shù)損失的回歸也能給出合理的預(yù)測區(qū)間。
下面讓我們看一個實際的例子，以便更好地理解基于分位數(shù)損失的回歸是如何對異方差數(shù)據(jù)起作用的。
1. 分位數(shù)回歸與最小二乘回歸
左：b/wX1和Y為線性關(guān)系。具有恒定的殘差方差。右：b/wX2和Y為線性關(guān)系，但Y的方差隨著X2增加。(異方差)
橙線表示兩種情況下OLS的估值
分位數(shù)回歸。虛線表示基于0.05和0.95分位數(shù)損失函數(shù)的回歸
附上圖中所示分位數(shù)回歸的代碼：
https://github.com/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/09_Quantile_Regression.ipynb
2. 理解分位數(shù)損失函數(shù)
如何選取合適的分位值取決于我們對正誤差和反誤差的重視程度。損失函數(shù)通過分位值(γ)對高估和低估給予不同的懲罰。例如，當(dāng)分位數(shù)損失函數(shù)γ=0.25時，對高估的懲罰更大，使得預(yù)測值略低于中值。
γ是所需的分位數(shù)，其值介于0和1之間。
分位數(shù)損失(Y軸)與預(yù)測值(X軸)圖示。Y的真值為0
這個損失函數(shù)也可以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或基于樹的模型中計算預(yù)測區(qū)間。以下是用Sklearn實現(xiàn)梯度提升樹回歸模型的示例。
使用分位數(shù)損失(梯度提升回歸器)預(yù)測區(qū)間
上圖表明：在sklearn庫的梯度提升回歸中使用分位數(shù)損失可以得到90%的預(yù)測區(qū)間。其中上限為γ=0.95，下限為γ=0.05。
對比研究
為了證明上述所有損失函數(shù)的特點，讓我們來一起看一個對比研究。首先，我們建立了一個從sinc(x)函數(shù)中采樣得到的數(shù)據(jù)集，并引入了兩項人為噪聲：高斯噪聲分量ε〜N(0，σ2)和脈沖噪聲分量ξ〜Bern(p)。
加入脈沖噪聲是為了說明模型的魯棒效果。以下是使用不同損失函數(shù)擬合GBM回歸器的結(jié)果。
連續(xù)損失函數(shù)：(A)MSE損失函數(shù);(B)MAE損失函數(shù);(C)Huber損失函數(shù);(D)分位數(shù)損失函數(shù)。將一個平滑的GBM擬合成有噪聲的sinc(x)數(shù)據(jù)的示例：(E)原始sinc(x)函數(shù);(F)具有MSE和MAE損失的平滑GBM;(G)具有Huber損失的平滑GBM，且δ={4,2,1};(H)具有分位數(shù)損失的平滑的GBM，且α={0.5,0.1,0.9}。
仿真對比的一些觀察結(jié)果：
- MAE損失模型的預(yù)測結(jié)果受脈沖噪聲的影響較小，而MSE損失函數(shù)的預(yù)測結(jié)果受此影響略有偏移。
- Huber損失模型預(yù)測結(jié)果對所選超參數(shù)不敏感。
- 分位數(shù)損失模型在合適的置信水平下能給出很好的估計。
最后，讓我們將所有損失函數(shù)都放進(jìn)一張圖，我們就得到了下面這張漂亮的圖片!它們的區(qū)別是不是一目了然了呢。
相關(guān)報道：
https://heartbeat.fritz.ai/5-regression-loss-functions-all-machine-learners-should-know-4fb140e9d4b0
【本文是51CTO專欄機(jī)構(gòu)大數(shù)據(jù)文摘的原創(chuàng)譯文，微信公眾號“大數(shù)據(jù)文摘（ id: BigDataDigest）”】
