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 前言

大家好，我是bigsai!最近，大數(shù)加減頻頻登上筆試的舞臺(tái)，小伙伴們?cè)谌豪镆卜窒碜约河龅矫嬖嚬倥龅酱髷?shù)運(yùn)算的題目，想著這么重要而簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)我還沒(méi)寫(xiě)過(guò)，那得好好和大家一起總結(jié)一下。

群內(nèi)情況

各位有過(guò)分類(lèi)刷題的小伙伴，可能看到很多人分類(lèi) 字符串、貪心、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、bfs、dfs、大數(shù)、數(shù)論等，初聽(tīng)大數(shù)，你可能會(huì)差異：大數(shù)是個(gè)啥?聽(tīng)起來(lái)怪高大上的。

大數(shù)，其實(shí)就是很大很大數(shù)字(可能遠(yuǎn)超32、64位，基礎(chǔ)類(lèi)型無(wú)法表示)的加減法，在Java中我們可以使用一個(gè)大數(shù)類(lèi)(BigInteger等)很容易解決大數(shù)的各種運(yùn)算，但如果遇到面試官他肯定會(huì)讓你手寫(xiě)的。

這個(gè)數(shù)字一般用字符串、鏈表等形式表示、返回，大數(shù)運(yùn)算的核心就是：模擬，模擬我們?nèi)粘Ｓ眉埞P算數(shù)字的加減乘除流程，然后再根據(jù)計(jì)算機(jī)、編程語(yǔ)言等特性適當(dāng)存儲(chǔ)計(jì)算即可，不過(guò)，大數(shù)除法運(yùn)算稍微特殊一點(diǎn)，和我們直接模擬的思維方式稍有不同，它就是轉(zhuǎn)換了一下成特殊的加減法運(yùn)算，后面會(huì)細(xì)談。

大數(shù)加法

大數(shù)加法是最簡(jiǎn)單的，簡(jiǎn)單模擬即可。首先，我們想一下兩個(gè)數(shù)加法的流程：從右向左計(jì)算求和、進(jìn)位，一直到最后。

在編程語(yǔ)言中同樣也是模擬從右向左逐位相加的過(guò)程，不過(guò)在具體實(shí)現(xiàn)上需要注意一些細(xì)節(jié)。

1、枚舉字符串將其轉(zhuǎn)換成char[]提高效率

2、從右往左進(jìn)行計(jì)算，可以將結(jié)果放到一個(gè)數(shù)組中最后組成字符串，也可以使用StringBuider拼接，拼接的時(shí)候最后要逆置一下順序。

3、余數(shù)每次疊加過(guò)需要清零，兩數(shù)相加如果大于等于10即有余數(shù)，添加到結(jié)果中該位置的數(shù)也應(yīng)該是該數(shù)%10的結(jié)果。

4、計(jì)算完最后還要看看余數(shù)是否為1，如果為1需要將其添加到結(jié)果，例如 "991"+"11"算三個(gè)位置為002但還有一個(gè)余數(shù)需要添加，所以應(yīng)該是1002。

一個(gè)加法流程

當(dāng)然在具體實(shí)現(xiàn)上方法較多，你可以首先就將字符串逆置然后從前往后就可以計(jì)算了。當(dāng)然我這里實(shí)現(xiàn)的是字符串從后向前各個(gè)位對(duì)應(yīng)計(jì)算，然后將結(jié)果順序添加到StringBuilder上。

這題在力扣【415兩數(shù)相加】可以檢驗(yàn)自己代碼，實(shí)現(xiàn)代碼為：

public String addStrings(String num1, String num2) { 
// 公眾號(hào)：bigsai 歡迎你的關(guān)注 
    int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1; 
    char ch1[]=num1.toCharArray(); 
    char ch2[]=num2.toCharArray(); 
 
    StringBuilder sb=new StringBuilder(); 
    int remainder =0;//計(jì)算余數(shù) 
    while (len1>=0||len2>=0) 
    { 
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; 
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; 
        int num=n1+n2+remainder;//求和對(duì)應(yīng)數(shù)字 
        remainder=num/10;//是否進(jìn)位 
        sb.append(num%10);// 添加到結(jié)果字符串中 
    } 
 
    if(remainder>0)//是否還需要進(jìn)位 
    { 
        sb.append(remainder); 
    } 
    //反裝即為結(jié)果 
    return sb.reverse().toString(); 
} 

大數(shù)減法

加法對(duì)應(yīng)的就是減法，有了上面大數(shù)加法的實(shí)現(xiàn)思路，那么我想你在大數(shù)減法也應(yīng)該有點(diǎn)想法，但是減法和加法不同的是減法有位置的區(qū)別，加法需要進(jìn)位而減法需要借位。并且大整正數(shù)減法可能產(chǎn)生正負(fù)也不一定。

兩個(gè)正數(shù)，如果大數(shù)減去小數(shù)，那么一切正常，結(jié)果是一個(gè)正數(shù);但如果小數(shù)減去大數(shù)，那么結(jié)果將是一個(gè)負(fù)數(shù)，并且結(jié)果處理起來(lái)比較麻煩。所以在這里全部轉(zhuǎn)成大-小處理(大-小不存在不能借位的情況)。

減法轉(zhuǎn)成大-小

1、執(zhí)行計(jì)算前首先比較減數(shù)(num1)和被減數(shù)(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模擬num1-num2的過(guò)程，如果num1

2、在比較兩個(gè)數(shù)字大小的時(shí)候，因?yàn)槭亲址问?，首先比較兩個(gè)字符串的長(zhǎng)度，長(zhǎng)的那個(gè)更大短的那個(gè)更小，如果兩個(gè)字符串等大，那么就可以通過(guò)字典序從前往后進(jìn)行比較(Java可直接使用compareTo方法)。

3、和加法不同的是，減法前面可能產(chǎn)生若干前綴0，這些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"計(jì)算得到的結(jié)果為"0100",你就要把前面的0去掉返回"100"。

4、具體實(shí)現(xiàn)的時(shí)候和加法相似，如果使用StringBuilder存儲(chǔ)，需要逆置順序，如果是個(gè)負(fù)數(shù)，前面還要加上'-'.

5、每個(gè)位置正常進(jìn)行減法運(yùn)算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么處理上一位進(jìn)行減法時(shí)候還要將借位的處理一下。

一個(gè)減法大概流程

這題在力扣上沒(méi)有原題，但是可以在小米OJ【大數(shù)相減】上驗(yàn)證自己代碼的正確性，具體實(shí)現(xiàn)的代碼為：

public static boolean compare(String num1,String num2) 
{ 
    if(num1.length()<num2.length()) 
        return  false; 
    else if(num1.length()>num2.length()) 
        return true; 
    else 
        return num1.compareTo(num2)>0; 
} 
public static  String subtractString(String num1,String num2) { 
    char sign='+';//正負(fù)號(hào) 
    //讓num1>num2 如果num1<num2 那么結(jié)果就是—(num2-num1)  
    //可以先將num1和num2交換和前面情況統(tǒng)一 
    if(!compare(num1,num2)) 
    { 
        sign='-'; 
        String team = num2; 
        num2 = num1; 
        num1 = team; 
    } 
    int len1=num1.length()-1; 
    int len2=num2.length()-1; 
 
    char ch1[] = num1.toCharArray(); 
    char ch2[] = num2.toCharArray(); 
    StringBuilder sb=new StringBuilder(); 
    int borrow=0;//借位 
    while (len1>=0||len2>=0) 
    { 
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; 
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; 
 
        int num=n1-n2-borrow; 
        borrow=0; 
        if(num<0)//需要向前借位 
        { 
            borrow=1; 
            num+=10; 
        } 
        sb.append(num); 
    } 
 
    sb=sb.reverse();//需要先翻轉(zhuǎn) 
    int index = 0;//去掉前面沒(méi)用的’0‘ 
    while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0') 
    { 
        index++; 
    } 
    //如果兩個(gè)數(shù)相同 直接返回"0" 
    if(index==sb.length()) 
        return "0"; 
    if(sign=='+')//如果正數(shù)  
        return  sb.substring(index); 
    else  return sign+sb.substring(index);//負(fù)數(shù)需要返回 
} 

 大數(shù)乘法

大數(shù)乘法乍一想可能比較復(fù)雜，因?yàn)槌朔ū绕鸺臃赡苓M(jìn)位不光是1，還有兩個(gè)數(shù)各種位置都需要相乘計(jì)算，這時(shí)候就需要我們化繁為簡(jiǎn)了。

多*多考慮起來(lái)可能有些麻煩，但是如果多*一考慮起來(lái)呢?如果是多位乘以一位數(shù)，那么就拿一位的分別乘以多位數(shù)的個(gè)位、十位、百位，在計(jì)算的同時(shí)考慮一下進(jìn)位的情況。

但是也可以先直接用int類(lèi)型數(shù)組存儲(chǔ)各位的乘積然后從右向左進(jìn)行進(jìn)位，如下圖所示。

先計(jì)算后進(jìn)位

而多*多 也是這個(gè)道理，將不同位乘積先疊加到對(duì)應(yīng)位置上，然后從右向左進(jìn)位，一直到不需要進(jìn)位為止。

一個(gè)乘法流程

你可能會(huì)疑問(wèn)，如果兩個(gè)數(shù)組的長(zhǎng)度分別為a和b這個(gè)數(shù)組到底該開(kāi)多大呢?

• a+b大小就夠了，怎么分析呢?其中一個(gè)a不變。另一個(gè)b變成最小b+1數(shù)字即十的倍數(shù)，那么這樣在相乘的時(shí)候也不過(guò)是a+b長(zhǎng)度，所以這里a+b長(zhǎng)度就夠了。

這題有力扣對(duì)應(yīng)題可以去試試【43字符串相乘】，具體代碼為：

public String multiply(String num1, String num2) { 
    if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0"; 
    char a[]=num1.toCharArray(); 
    char b[]=num2.toCharArray(); 
 
    int value[]=new int[a.length+b.length]; 
 
    for(int i=a.length-1;i>=0;i--) 
    { 
        for(int j=b.length-1;j>=0;j--) 
        { 
            int index=a.length-1-i+b.length-1-j; 
            value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0'); 
        } 
    } 
    for(int i=0;i<value.length-1;i++) 
    { 
        value[i+1]+=value[i]/10; 
        value[i]=value[i]%10; 
    } 
    int index=value.length-1; 
    while(value[index]==0) 
    {index--;} 
    StringBuilder sBuilder=new StringBuilder(); 
    while (index>=0) { 
        sBuilder.append(value[index--]); 
    } 
    return sBuilder.toString(); 
} 

大數(shù)除法

大數(shù)加減乘都搞定了，通過(guò)模擬來(lái)實(shí)現(xiàn)，但是大數(shù)除法也通過(guò)模擬來(lái)實(shí)現(xiàn)?

并不是，對(duì)于大數(shù)a/b，一般最多要求求到其整數(shù)解或者余數(shù)，即a/b=c……d(a,b,c,d均為整);也就是a里面有c個(gè)b，并且還剩下d。核心是先求c是多少，對(duì)于程序來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)枚舉啊，將除法變成減法，從a中不斷減d，一直到不能減為止。

除法轉(zhuǎn)成減法運(yùn)算

但是有個(gè)問(wèn)題，如果被除數(shù)a很大很大，可能有居多個(gè)b，那么這樣時(shí)間復(fù)雜度太高了，不可能執(zhí)行那么多次，那么需要怎么樣去優(yōu)化這個(gè)方法呢?

那就要加速尋找次數(shù)，減少這個(gè)減法的次數(shù)了，減法次數(shù)減小的一個(gè)最好方案就是能不能擴(kuò)大除數(shù)b。如果b后面加個(gè)'0'，那么算出來(lái)的結(jié)果就乘以10，減法的次數(shù)變成原來(lái)十分之一。根據(jù)這個(gè)思想我們可以一直每次找到b的最大10的倍數(shù)(小于a)計(jì)算減的次數(shù)再換算成減b的總詞數(shù)，將結(jié)果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后為止,這雖然是一道除法運(yùn)算的題，但是也蘊(yùn)含減法和加法(次數(shù)疊加到結(jié)果中)。

計(jì)算思想

當(dāng)然，也有一些人使用二分法來(lái)壓縮尋找可以被減的次數(shù)也是可以的(加法可以迭代數(shù)字實(shí)現(xiàn)二分倍數(shù))，具體實(shí)現(xiàn)的話(huà)也不是很困難，但是代碼量可能比較多所以一般的面試筆試不會(huì)讓你現(xiàn)場(chǎng)寫(xiě)的，所以好好掌握前面的減法、減法、乘法的代碼即可。

當(dāng)然，如果你依然很想看大數(shù)除法部分的代碼，可以百度搜一下或者在文末評(píng)論催更一下，如果有感興趣的可以后面把代碼補(bǔ)充上。

結(jié)語(yǔ)

到這里，大數(shù)的加減乘除基本都講解完啦，不知道你有沒(méi)有收獲，因?yàn)檫@里的大數(shù)都是用字符串的方式存儲(chǔ)和處理，遇到的最多，但是也可能遇到一些鏈表、數(shù)組等其他形式存儲(chǔ)的需要處理，但是整體的思想都是一樣的。