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本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號「bigsai」，作者bigsai。轉(zhuǎn)載本文請聯(lián)系bigsai公眾號。

前言

大家好，我是bigsai!(上次發(fā)布的忘加原創(chuàng)并且今天的把內(nèi)容擴充了一下)最近，大數(shù)加減頻頻登上筆試的舞臺，小伙伴們在群里也分享自己遇到面試官碰到大數(shù)運算的題目，想著這么重要而簡單的知識點我還沒寫過，那得好好和大家一起總結(jié)一下。

群內(nèi)情況

各位有過分類刷題的小伙伴，可能看到很多人分類 字符串、貪心、動態(tài)規(guī)劃、bfs、dfs、大數(shù)、數(shù)論等，初聽大數(shù)，你可能會差異：大數(shù)是個啥?聽起來怪高大上的。

大數(shù)，其實就是很大很大數(shù)字(可能遠(yuǎn)超32、64位，基礎(chǔ)類型無法表示)的加減法，在Java中我們可以使用一個大數(shù)類(BigInteger等)很容易解決大數(shù)的各種運算，但如果遇到面試官他肯定會讓你手寫的。

這個數(shù)字一般用字符串、鏈表等形式表示、返回，大數(shù)運算的核心就是：模擬，模擬我們?nèi)粘Ｓ眉埞P算數(shù)字的加減乘除流程，然后再根據(jù)計算機、編程語言等特性適當(dāng)存儲計算即可，不過，大數(shù)除法運算稍微特殊一點，和我們直接模擬的思維方式稍有不同，它就是轉(zhuǎn)換了一下成特殊的加減法運算，后面會細(xì)談。

大數(shù)加法

大數(shù)加法是最簡單的，簡單模擬即可。首先，我們想一下兩個數(shù)加法的流程：從右向左計算求和、進(jìn)位，一直到最后。

在編程語言中同樣也是模擬從右向左逐位相加的過程，不過在具體實現(xiàn)上需要注意一些細(xì)節(jié)。

1、枚舉字符串將其轉(zhuǎn)換成char[]提高效率

2、從右往左進(jìn)行計算，可以將結(jié)果放到一個數(shù)組中最后組成字符串，也可以使用StringBuider拼接，拼接的時候最后要逆置一下順序。

3、余數(shù)每次疊加過需要清零，兩數(shù)相加如果大于等于10即有余數(shù)，添加到結(jié)果中該位置的數(shù)也應(yīng)該是該數(shù)%10的結(jié)果。

4、計算完最后還要看看余數(shù)是否為1，如果為1需要將其添加到結(jié)果，例如 "991"+"11"算三個位置為002但還有一個余數(shù)需要添加，所以應(yīng)該是1002。

一個加法流程

當(dāng)然在具體實現(xiàn)上方法較多，你可以首先就將字符串逆置然后從前往后就可以計算了。當(dāng)然我這里實現(xiàn)的是字符串從后向前各個位對應(yīng)計算，然后將結(jié)果順序添加到StringBuilder上。

這題在力扣【415兩數(shù)相加】可以檢驗自己代碼，實現(xiàn)代碼為：

public String addStrings(String num1, String num2) { 
// 公眾號：bigsai 歡迎你的關(guān)注 
    int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1; 
    char ch1[]=num1.toCharArray(); 
    char ch2[]=num2.toCharArray(); 
 
    StringBuilder sb=new StringBuilder(); 
    int remainder =0;//計算余數(shù) 
    while (len1>=0||len2>=0) 
    { 
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; 
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; 
        int num=n1+n2+remainder;//求和對應(yīng)數(shù)字 
        remainder=num/10;//是否進(jìn)位 
        sb.append(num%10);// 添加到結(jié)果字符串中 
    } 
 
    if(remainder>0)//是否還需要進(jìn)位 
    { 
        sb.append(remainder); 
    } 
    //反裝即為結(jié)果 
    return sb.reverse().toString(); 
} 

大數(shù)減法

加法對應(yīng)的就是減法，有了上面大數(shù)加法的實現(xiàn)思路，那么我想你在大數(shù)減法也應(yīng)該有點想法，但是減法和加法不同的是減法有位置的區(qū)別，加法需要進(jìn)位而減法需要借位。并且大整正數(shù)減法可能產(chǎn)生正負(fù)也不一定。

兩個正數(shù)，如果大數(shù)減去小數(shù)，那么一切正常，結(jié)果是一個正數(shù);但如果小數(shù)減去大數(shù)，那么結(jié)果將是一個負(fù)數(shù)，并且結(jié)果處理起來比較麻煩。所以在這里全部轉(zhuǎn)成大-小處理(大-小不存在不能借位的情況)。

減法轉(zhuǎn)成大-小

1、執(zhí)行計算前首先比較減數(shù)(num1)和被減數(shù)(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模擬num1-num2的過程，如果num1

2、在比較兩個數(shù)字大小的時候，因為是字符形式，首先比較兩個字符串的長度，長的那個更大短的那個更小，如果兩個字符串等大，那么就可以通過字典序從前往后進(jìn)行比較(Java可直接使用compareTo方法)。

3、和加法不同的是，減法前面可能產(chǎn)生若干前綴0，這些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"計算得到的結(jié)果為"0100",你就要把前面的0去掉返回"100"。

4、具體實現(xiàn)的時候和加法相似，如果使用StringBuilder存儲，需要逆置順序，如果是個負(fù)數(shù)，前面還要加上'-'.

5、每個位置正常進(jìn)行減法運算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么處理上一位進(jìn)行減法時候還要將借位的處理一下。

一個減法大概流程

這題在力扣上沒有原題，但是可以在小米OJ【大數(shù)相減】上驗證自己代碼的正確性，具體實現(xiàn)的代碼為：

public static boolean compare(String num1,String num2) 
{ 
    if(num1.length()<num2.length()) 
        return  false; 
    else if(num1.length()>num2.length()) 
        return true; 
    else 
        return num1.compareTo(num2)>0; 
} 
public static  String subtractString(String num1,String num2) { 
    char sign='+';//正負(fù)號 
    //讓num1>num2 如果num1<num2 那么結(jié)果就是—(num2-num1)  
    //可以先將num1和num2交換和前面情況統(tǒng)一 
    if(!compare(num1,num2)) 
    { 
        sign='-'; 
        String team = num2; 
        num2 = num1; 
        num1 = team; 
    } 
    int len1=num1.length()-1; 
    int len2=num2.length()-1; 
 
    char ch1[] = num1.toCharArray(); 
    char ch2[] = num2.toCharArray(); 
    StringBuilder sb=new StringBuilder(); 
    int borrow=0;//借位 
    while (len1>=0||len2>=0) 
    { 
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; 
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; 
 
        int num=n1-n2-borrow; 
        borrow=0; 
        if(num<0)//需要向前借位 
        { 
            borrow=1; 
            num+=10; 
        } 
        sb.append(num); 
    } 
 
    sb=sb.reverse();//需要先翻轉(zhuǎn) 
    int index = 0;//去掉前面沒用的’0‘ 
    while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0') 
    { 
        index++; 
    } 
    //如果兩個數(shù)相同 直接返回"0" 
    if(index==sb.length()) 
        return "0"; 
    if(sign=='+')//如果正數(shù)  
        return  sb.substring(index); 
    else  return sign+sb.substring(index);//負(fù)數(shù)需要返回 
} 

大數(shù)乘法

大數(shù)乘法乍一想可能比較復(fù)雜，因為乘法比起加法可能進(jìn)位不光是1，還有兩個數(shù)各種位置都需要相乘計算，這時候就需要我們化繁為簡了。

多*多考慮起來可能有些麻煩，但是如果多*一考慮起來呢?如果是多位乘以一位數(shù)，那么就拿一位的分別乘以多位數(shù)的個位、十位、百位，在計算的同時考慮一下進(jìn)位的情況。

但是也可以先直接用int類型數(shù)組存儲各位的乘積然后從右向左進(jìn)行進(jìn)位，如下圖所示。

先計算后進(jìn)位

而多*多 也是這個道理，將不同位乘積先疊加到對應(yīng)位置上，然后從右向左進(jìn)位，一直到不需要進(jìn)位為止。

一個乘法流程

你可能會疑問，如果兩個數(shù)組的長度分別為a和b這個數(shù)組到底該開多大呢?

• a+b大小就夠了，怎么分析呢?其中一個a不變。另一個b變成最小b+1數(shù)字即十的倍數(shù)，那么這樣在相乘的時候也不過是a+b長度，所以這里a+b長度就夠了。

這題有力扣對應(yīng)題可以去試試【43字符串相乘】，具體代碼為：

public String multiply(String num1, String num2) { 
    if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0"; 
    char a[]=num1.toCharArray(); 
    char b[]=num2.toCharArray(); 
 
    int value[]=new int[a.length+b.length]; 
 
    for(int i=a.length-1;i>=0;i--) 
    { 
        for(int j=b.length-1;j>=0;j--) 
        { 
            int index=a.length-1-i+b.length-1-j; 
            value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0'); 
        } 
    } 
    for(int i=0;i<value.length-1;i++) 
    { 
        value[i+1]+=value[i]/10; 
        value[i]=value[i]%10; 
    } 
    int index=value.length-1; 
    while(value[index]==0) 
    {index--;} 
    StringBuilder sBuilder=new StringBuilder(); 
    while (index>=0) { 
        sBuilder.append(value[index--]); 
    } 
    return sBuilder.toString(); 
} 

大數(shù)除法

大數(shù)加減乘都搞定了，通過模擬來實現(xiàn)，但是大數(shù)除法也通過模擬來實現(xiàn)?

并不是，對于大數(shù)a/b，一般最多要求求到其整數(shù)解或者余數(shù)，即a/b=c……d(a,b,c,d均為整);也就是a里面有c個b，并且還剩下d。核心是先求c是多少，對于程序來說，可以通過枚舉啊，將除法變成減法，從a中不斷減d，一直到不能減為止。

除法轉(zhuǎn)成減法運算

但是有個問題，如果被除數(shù)a很大很大，可能有居多個b，那么這樣時間復(fù)雜度太高了，不可能執(zhí)行那么多次，那么需要怎么樣去優(yōu)化這個方法呢?

那就要加速尋找次數(shù)，減少這個減法的次數(shù)了，減法次數(shù)減小的一個最好方案就是能不能擴大除數(shù)b。如果b后面加個'0'，那么算出來的結(jié)果就乘以10，減法的次數(shù)變成原來十分之一。根據(jù)這個思想我們可以一直每次找到b的最大10的倍數(shù)(小于a)計算減的次數(shù)再換算成減b的總詞數(shù)，將結(jié)果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后為止,這雖然是一道除法運算的題，但是也蘊含減法和加法(次數(shù)疊加到結(jié)果中)。

計算思想

當(dāng)然，也有一些人使用二分法來壓縮尋找可以被減的次數(shù)也是可以的(加法可以迭代數(shù)字實現(xiàn)二分倍數(shù))，具體實現(xiàn)的話也不是很困難，但是代碼量可能比較多所以一般的面試筆試不會讓你現(xiàn)場寫的，所以好好掌握前面的減法、減法、乘法的代碼即可。

這部分代碼我也簡單給一下(其他函數(shù)上面貼過就不重復(fù)貼啦)：

//假設(shè) num1>num2 
public static String divideString(String num1,String num2) 
{ 
    String value="0";//結(jié)果 
    while (compare(num1,num2)) 
    { 
        StringBuilder sbTeam=new StringBuilder(num2);//用這個往后面不斷加0 和num做減法 
        StringBuilder sbCount=new StringBuilder("1");//次數(shù) 可能很大 
        int subLen=num1.length()-num2.length();//統(tǒng)計大概要加幾個零  
        for(int i=0;i<subLen;i++) 
        { 
            sbTeam.append('0'); 
            sbCount.append('0'); 
        } 
        //如果0 加多了 那么要刪一個 類似"12300" / "23" "12300"比"23000"小 
        //所以要 "2300" 對應(yīng)比"23"擴大 "100"倍數(shù)，每減一次"2300" 則結(jié)果加"100" 
        if(!compare(num1,sbTeam.toString())) 
        { 
            sbTeam=sbTeam.deleteCharAt(sbTeam.length()-1); 
            sbCount=sbCount.deleteCharAt(sbCount.length()-1); 
        } 
        // 一直能減的時候 
        while (compare(num1,sbTeam.toString())) 
        { 
            num1=subtractString(num1,sbTeam.toString()); 
            value=addStrings(sbCount.toString(),value); 
        } 
    } 
    return  value; 
} 

簡單測試了下，正確性還是ok的：

除法測試

番外篇

除了上面直接的大數(shù)加減乘除，還有一些變形的題目需要我們特殊處理一下，比如可能會使用鏈表等存儲處理，下面分享兩道題。

兩數(shù)相加(力扣02)

題目描述：

給你兩個 非空 的鏈表，表示兩個非負(fù)的整數(shù)。它們每位數(shù)字都是按照 逆序 的方式存儲的，并且每個節(jié)點只能存儲 一位 數(shù)字。請你將兩個數(shù)相加，并以相同形式返回一個表示和的鏈表

你可以假設(shè)除了數(shù)字 0 之外，這兩個數(shù)都不會以 0 開頭。

提示：

• 每個鏈表中的節(jié)點數(shù)在范圍 [1, 100] 內(nèi)
• 0 <= Node.val <= 9
• 題目數(shù)據(jù)保證列表表示的數(shù)字不含前導(dǎo)零

本題其實就是用一個鏈表存儲一個數(shù)字(逆序存儲)，你需要給它計算出結(jié)果后在 逆序 存儲到一個鏈表中返回。

所謂加法的運算規(guī)則：從兩個數(shù)的最低位進(jìn)行計算，進(jìn)行到下一位的時候需要考慮進(jìn)位問題。一直到最后，而本題所給的鏈表剛好可以用來直接計算，因為鏈表頭都是數(shù)字最低位可以直接相加，然后一直遍歷到結(jié)束?？梢杂靡粋€常數(shù)表示進(jìn)位。

運算邏輯

在具體實現(xiàn)(鏈表)的時候：

• 創(chuàng)建新的鏈表，每次將計算的數(shù)值插入到鏈表尾部即可。
• 需要準(zhǔn)確表示進(jìn)位，并且最后要考慮以下進(jìn)位
• 妥善返回正確節(jié)點，可以用一個頭節(jié)點用來使得所有節(jié)點都正常操作，而不需要特殊判斷。

通過代碼第一次比較啰嗦的寫法：

當(dāng)然，如果你遍歷鏈表把各個數(shù)字取出來，使用字符串、數(shù)字轉(zhuǎn)換然后相加得到一個數(shù)字，最后在轉(zhuǎn)成字符串、鏈表的理論可以，可以自行實現(xiàn)。

優(yōu)化后的代碼為：

//更簡潔的寫法 
ublic ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) { 
 ListNode node=new ListNode(0); 
 ListNode team=node; 
 int jin=0;//進(jìn)位 
 while(l1!=null||l2!=null) 
 { 
   int num=jin; 
   if(l1!=null) 
   { 
     num+=l1.val;l1=l1.next; 
   } 
   if(l2!=null) 
   { 
     num+=l2.val;l2=l2.next; 
   } 
   jin=num/10; 
   num%=10; 
   team.next=new ListNode(num); 
   team=team.next; 
 
 } 
 if(jin!=0)team.next=new ListNode(jin); 
 return node.next; 

兩數(shù)相加2(力扣445)

題目描述：

給你兩個 非空 鏈表來代表兩個非負(fù)整數(shù)。數(shù)字最高位位于鏈表開始位置。它們的每個節(jié)點只存儲一位數(shù)字。將這兩數(shù)相加會返回一個新的鏈表。

你可以假設(shè)除了數(shù)字 0 之外，這兩個數(shù)字都不會以零開頭。

進(jìn)階：如果輸入鏈表不能修改該如何處理?換句話說，你不能對列表中的節(jié)點進(jìn)行翻轉(zhuǎn)。

示例：

輸入：(7 -> 2 -> 4 -> 3) + (5 -> 6 -> 4)

輸出：7 -> 8 -> 0 -> 7

本題的話和上面不一樣鏈表不是逆置的，但是加法運算其實需要從最后面對齊開始，也就是理論上應(yīng)該從鏈表尾部開始向前，但是這是個單鏈表，這樣運算的話時間復(fù)雜度太高，所以我們要用空間換時間：用棧來解決。

將鏈表的節(jié)點依次放到兩個棧中，然后兩個棧同時取數(shù)計算。但是待返回的是個鏈表，所以采取頭插法即可(如果不頭插最后反轉(zhuǎn)也可)，具體流程可以參考如下圖：

邏輯

實現(xiàn)代碼為：

//更簡潔的寫法 
ublic ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) { 
 ListNode node=new ListNode(0); 
 ListNode team=node; 
 int jin=0;//進(jìn)位 
 while(l1!=null||l2!=null) 
 { 
   int num=jin; 
   if(l1!=null) 
   { 
     num+=l1.val;l1=l1.next; 
   } 
   if(l2!=null) 
   { 
     num+=l2.val;l2=l2.next; 
   } 
   jin=num/10; 
   num%=10; 
   team.next=new ListNode(num); 
   team=team.next; 
 
 } 
 if(jin!=0)team.next=new ListNode(jin); 
 return node.next; 

結(jié)語

到這里，大數(shù)的加減乘除基本都講解完啦，不知道你有沒有收獲，因為這里的大數(shù)都是用字符串的方式存儲和處理，遇到的最多，但是也可能遇到一些鏈表、數(shù)組等其他形式存儲的需要處理，但是整體的思想都是一樣的。