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構(gòu)造二叉搜索樹，一不小心就平衡了

將有序數(shù)組轉(zhuǎn)換為二叉搜索樹

力扣題目鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/convert-sorted-array-to-binary-search-tree

將一個(gè)按照升序排列的有序數(shù)組，轉(zhuǎn)換為一棵高度平衡二叉搜索樹。

本題中，一個(gè)高度平衡二叉樹是指一個(gè)二叉樹每個(gè)節(jié)點(diǎn) 的左右兩個(gè)子樹的高度差的絕對(duì)值不超過 1。

示例:

思路

做這道題目之前大家可以了解一下這幾道：

• 從中序與后序遍歷序列構(gòu)造二叉樹
• 最大二叉樹
• 二叉搜索樹中的插入操作
• 刪除二叉搜索樹中的節(jié)點(diǎn)

進(jìn)入正題：

題目中說要轉(zhuǎn)換為一棵高度平衡二叉搜索樹。這和轉(zhuǎn)換為一棵普通二叉搜索樹有什么差別呢?

其實(shí)這里不用強(qiáng)調(diào)平衡二叉搜索樹，數(shù)組構(gòu)造二叉樹，構(gòu)成平衡樹是自然而然的事情，因?yàn)榇蠹夷J(rèn)都是從數(shù)組中間位置取值作為節(jié)點(diǎn)元素，一般不會(huì)隨機(jī)取，所以想構(gòu)成不平衡的二叉樹是自找麻煩。

在二叉樹：構(gòu)造二叉樹登場!和二叉樹：構(gòu)造一棵最大的二叉樹中其實(shí)已經(jīng)講過了，如果根據(jù)數(shù)組構(gòu)造一顆二叉樹。

本質(zhì)就是尋找分割點(diǎn)，分割點(diǎn)作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，然后遞歸左區(qū)間和右區(qū)間。

本題其實(shí)要比二叉樹：構(gòu)造二叉樹登場! 和 二叉樹：構(gòu)造一棵最大的二叉樹簡單一些，因?yàn)橛行驍?shù)組構(gòu)造二叉搜索樹，尋找分割點(diǎn)就比較容易了。

分割點(diǎn)就是數(shù)組中間位置的節(jié)點(diǎn)。

那么為問題來了，如果數(shù)組長度為偶數(shù)，中間節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)，取哪一個(gè)?

取哪一個(gè)都可以，只不過構(gòu)成了不同的平衡二叉搜索樹。

例如：輸入：[-10,-3,0,5,9]

如下兩棵樹，都是這個(gè)數(shù)組的平衡二叉搜索樹：

將有序數(shù)組轉(zhuǎn)換為二叉搜索樹

如果要分割的數(shù)組長度為偶數(shù)的時(shí)候，中間元素為兩個(gè)，是取左邊元素 就是樹1，取右邊元素就是樹2。

這也是題目中強(qiáng)調(diào)答案不是唯一的原因。理解這一點(diǎn)，這道題目算是理解到位了。

遞歸

遞歸三部曲：

• 確定遞歸函數(shù)返回值及其參數(shù)

刪除二叉樹節(jié)點(diǎn)，增加二叉樹節(jié)點(diǎn)，都是用遞歸函數(shù)的返回值來完成，這樣是比較方便的。

相信大家如果仔細(xì)看了二叉樹：搜索樹中的插入操作和二叉樹：搜索樹中的刪除操作，一定會(huì)對(duì)遞歸函數(shù)返回值的作用深有感觸。

那么本題要構(gòu)造二叉樹，依然用遞歸函數(shù)的返回值來構(gòu)造中節(jié)點(diǎn)的左右孩子。

再來看參數(shù)，首先是傳入數(shù)組，然后就是左下表left和右下表right，我們?cè)诙鏄洌簶?gòu)造二叉樹登場!中提過，在構(gòu)造二叉樹的時(shí)候盡量不要重新定義左右區(qū)間數(shù)組，而是用下表來操作原數(shù)組。

所以代碼如下：

// 左閉右閉區(qū)間[left, right] 
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) 

這里注意，我這里定義的是左閉右閉區(qū)間，在不斷分割的過程中，也會(huì)堅(jiān)持左閉右閉的區(qū)間，這又涉及到我們講過的循環(huán)不變量。

數(shù)組：每次遇到二分法，都是一看就會(huì)，一寫就廢;nj 在二叉樹：構(gòu)造二叉樹登場!，704. 二分查找 和59.螺旋矩陣II都詳細(xì)講過循環(huán)不變量。

• 確定遞歸終止條件

這里定義的是左閉右閉的區(qū)間，所以當(dāng)區(qū)間 left > right的時(shí)候，就是空節(jié)點(diǎn)了。

代碼如下：

if (left > right) return nullptr; 

• 確定單層遞歸的邏輯

首先取數(shù)組中間元素的位置，不難寫出int mid = (left + right) / 2;，這么寫其實(shí)有一個(gè)問題，就是數(shù)值越界，例如left和right都是最大int，這么操作就越界了，在二分法中尤其需要注意!

所以可以這么寫：int mid = left + ((right - left) / 2);

但本題leetcode的測(cè)試數(shù)據(jù)并不會(huì)越界，所以怎么寫都可以。但需要有這個(gè)意識(shí)!

取了中間位置，就開始以中間位置的元素構(gòu)造節(jié)點(diǎn)，代碼：TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);。

接著劃分區(qū)間，root的左孩子接住下一層左區(qū)間的構(gòu)造節(jié)點(diǎn)，右孩子接住下一層右區(qū)間構(gòu)造的節(jié)點(diǎn)。

最后返回root節(jié)點(diǎn)，單層遞歸整體代碼如下：

int mid = left + ((right - left) / 2); 
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]); 
root->left = traversal(nums, left, mid - 1); 
root->right = traversal(nums, mid + 1, right); 
return root; 

這里int mid = left + ((right - left) / 2);的寫法相當(dāng)于是如果數(shù)組長度為偶數(shù)，中間位置有兩個(gè)元素，取靠左邊的。

• 遞歸整體代碼如下：

class Solution { 
private: 
    TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) { 
        if (left > right) return nullptr; 
        int mid = left + ((right - left) / 2); 
        TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]); 
        root->left = traversal(nums, left, mid - 1); 
        root->right = traversal(nums, mid + 1, right); 
        return root; 
    } 
public: 
    TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) { 
        TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1); 
        return root; 
    } 
}; 

注意：在調(diào)用traversal的時(shí)候?yàn)槭裁磦魅氲膌eft和right為什么是0和nums.size() - 1，因?yàn)槎x的區(qū)間為左閉右閉。

迭代法

迭代法可以通過三個(gè)隊(duì)列來模擬，一個(gè)隊(duì)列放遍歷的節(jié)點(diǎn)，一個(gè)隊(duì)列放左區(qū)間下表，一個(gè)隊(duì)列放右區(qū)間下表。

模擬的就是不斷分割的過程，C++代碼如下：(我已經(jīng)詳細(xì)注釋)

class Solution { 
public: 
    TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) { 
        if (nums.size() == 0) return nullptr; 
 
        TreeNode* root = new TreeNode(0);   // 初始根節(jié)點(diǎn) 
        queue<TreeNode*> nodeQue;           // 放遍歷的節(jié)點(diǎn) 
        queue<int> leftQue;                 // 保存左區(qū)間下表 
        queue<int> rightQue;                // 保存右區(qū)間下表 
        nodeQue.push(root);                 // 根節(jié)點(diǎn)入隊(duì)列 
        leftQue.push(0);                    // 0為左區(qū)間下表初始位置 
        rightQue.push(nums.size() - 1);     // nums.size() - 1為右區(qū)間下表初始位置 
 
        while (!nodeQue.empty()) { 
            TreeNode* curNode = nodeQue.front(); 
            nodeQue.pop(); 
            int left = leftQue.front(); leftQue.pop(); 
            int right = rightQue.front(); rightQue.pop(); 
            int mid = left + ((right - left) / 2); 
 
            curNode->val = nums[mid];       // 將mid對(duì)應(yīng)的元素給中間節(jié)點(diǎn) 
 
            if (left <= mid - 1) {          // 處理左區(qū)間 
                curNode->left = new TreeNode(0); 
                nodeQue.push(curNode->left); 
                leftQue.push(left); 
                rightQue.push(mid - 1); 
            } 
 
            if (right >= mid + 1) {         // 處理右區(qū)間 
                curNode->right = new TreeNode(0); 
                nodeQue.push(curNode->right); 
                leftQue.push(mid + 1); 
                rightQue.push(right); 
            } 
        } 
        return root; 
    } 
}; 

總結(jié)

在二叉樹：構(gòu)造二叉樹登場! 和 二叉樹：構(gòu)造一棵最大的二叉樹之后，我們順理成章的應(yīng)該構(gòu)造一下二叉搜索樹了，一不小心還是一棵平衡二叉搜索樹。

其實(shí)思路也是一樣的，不斷中間分割，然后遞歸處理左區(qū)間，右區(qū)間，也可以說是分治。

此時(shí)相信大家應(yīng)該對(duì)通過遞歸函數(shù)的返回值來增刪二叉樹很熟悉了，這也是常規(guī)操作。

在定義區(qū)間的過程中我們又一次強(qiáng)調(diào)了循環(huán)不變量的重要性。

最后依然給出迭代的方法，其實(shí)就是模擬取中間元素，然后不斷分割去構(gòu)造二叉樹的過程。

其他語言版本

Java

遞歸: 左閉右閉 [left,right]

class Solution { 
 public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) { 
  TreeNode root = traversal(nums, 0, nums.length - 1); 
  return root; 
 } 
 
 // 左閉右閉區(qū)間[left, right) 
 private TreeNode traversal(int[] nums, int left, int right) { 
  if (left > right) return null; 
 
  int mid = left + ((right - left) >> 1); 
  TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]); 
  root.left = traversal(nums, left, mid - 1); 
  root.right = traversal(nums, mid + 1, right); 
  return root; 
 } 
} 

迭代: 左閉右閉 [left,right]

class Solution { 
 public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) { 
  if (nums.length == 0) return null; 
 
  //根節(jié)點(diǎn)初始化 
  TreeNode root = new TreeNode(-1); 
  Queue<TreeNode> nodeQueue = new LinkedList<>(); 
  Queue<Integer> leftQueue = new LinkedList<>(); 
  Queue<Integer> rightQueue = new LinkedList<>(); 
 
  // 根節(jié)點(diǎn)入隊(duì)列 
  nodeQueue.offer(root); 
  // 0為左區(qū)間下表初始位置 
  leftQueue.offer(0); 
  // nums.size() - 1為右區(qū)間下表初始位置 
  rightQueue.offer(nums.length - 1); 
 
  while (!nodeQueue.isEmpty()) { 
   TreeNode currNode = nodeQueue.poll(); 
   int left = leftQueue.poll(); 
   int right = rightQueue.poll(); 
   int mid = left + ((right - left) >> 1); 
 
   // 將mid對(duì)應(yīng)的元素給中間節(jié)點(diǎn) 
   currNode.val = nums[mid]; 
 
   // 處理左區(qū)間 
   if (left <= mid - 1) { 
    currNode.left = new TreeNode(-1); 
    nodeQueue.offer(currNode.left); 
    leftQueue.offer(left); 
    rightQueue.offer(mid - 1); 
   } 
 
   // 處理右區(qū)間 
   if (right >= mid + 1) { 
    currNode.right = new TreeNode(-1); 
    nodeQueue.offer(currNode.right); 
    leftQueue.offer(mid + 1); 
    rightQueue.offer(right); 
   } 
  } 
  return root; 
 } 
} 

Python

遞歸法：

class Solution: 
    def sortedArrayToBST(self, nums: List[int]) -> TreeNode: 
        def buildaTree(left,right): 
            if left > right: return None  #左閉右閉的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間 left > right的時(shí)候，就是空節(jié)點(diǎn),當(dāng)left = right的時(shí)候，不為空 
            mid = left + (right - left) // 2 #保證數(shù)據(jù)不會(huì)越界 
            val = nums[mid] 
            root = TreeNode(val) 
            root.left = buildaTree(left,mid - 1) 
            root.right = buildaTree(mid + 1,right) 
            return root 
        root = buildaTree(0,len(nums) - 1)  #左閉右閉區(qū)間 
        return root 

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