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數(shù)學(xué)界神秘的偏微分方程領(lǐng)域，再次被突破了！

來自中科大的陳世炳教授等人，開發(fā)了一套全新的數(shù)學(xué)方法，直接打破了領(lǐng)域內(nèi)專家20多年來的既有認知。

相關(guān)論文已被數(shù)學(xué)四大頂刊之一《數(shù)學(xué)年刊》接受，將在接下來的某一期正式發(fā)表。

這篇論文突破了一個關(guān)鍵的非線性偏微分方程，它與我們機器學(xué)習中熟悉的最優(yōu)傳輸理論息息相關(guān)。

最優(yōu)傳輸理論，類似“找出把物品從A運到B的最佳方法”，用幾何方法來衡量概率分布的距離、給概率分布建模。像機器學(xué)習中的W-GAN，就屬于最優(yōu)傳輸問題。

讓丘成桐院士1982年獲菲爾茨獎的卡拉比猜想證明，就與這個方程相關(guān)。

2018年的菲爾茨獎，再次頒給了在這個方程、以及最優(yōu)傳輸問題上做出貢獻的Alessio Figalli。

究竟是什么方程如此關(guān)鍵，這次數(shù)學(xué)家們又做出了什么重要突破？

一起來看看。

最優(yōu)傳輸“逃不開”的方程

這個關(guān)鍵的非線性偏微分方程，名叫蒙日-安培方程。

它的提出，要從18世紀法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日（Gaspard Monge）對最優(yōu)傳輸問題的研究說起。

最初，這個理論主要用來解決不連續(xù)分布的物體運輸問題，類似于搬箱子：

將ABC初始地的箱子運到CDE目的地，確保每個目的地有1個箱子，求最佳的運輸方法。

后來，蒙日開始思考一類問題：對于連續(xù)分布的物體，例如一團沙子，用什么方法將它運輸?shù)降润w積的洞中，才是最省力的？

他發(fā)現(xiàn)，有不少這類連續(xù)情形下的最優(yōu)傳輸問題，都能轉(zhuǎn)化為一類方程的邊值問題。

蒙日之后，安培進一步對它做了深入研究，方程也被命名為蒙日-安培方程：

△蒙日-安培方程一般形式

這個方程要怎么理解呢？

舉個例子，我們常見的“以圖搜圖”功能，其實就與蒙日-安培方程相關(guān)。

在通過圖像匹配進行搜索時，“搜圖”功能會將輸入圖像與網(wǎng)上的圖像進行一個對比。以黑白照片為例，可以將顏色深度看成是一個概率分布（白色為0，黑色為1）。

因此，兩張照片匹配的問題，可以看成是兩個概率分布的匹配問題。

1991年，Yann Brenier在研究中發(fā)現(xiàn)，這類連續(xù)概率分布的匹配問題，對應(yīng)地可以寫成一個梯度映射y=Du(x), 其中u是一個凸函數(shù), 且滿足

根據(jù)黑塞矩陣（Hessian Matrix），有：

其中λ是u的黑塞矩陣的特征根，是λ的k次初等多項式：

當k=1時，它就是我們熟悉的Laplace方程；當k=n時，它就是蒙日-安培方程。

近幾年，深度學(xué)習飛速發(fā)展，最優(yōu)傳輸問題隨之成為研究熱點，對蒙日-安培方程的研究也進一步興起。

名噪一時的Wasserstein GAN，用求Wasserstein距離的方法改善了GAN的穩(wěn)定性。

求解Wasserstein距離正是一個最優(yōu)傳輸問題，需要用到蒙日-安培方程。

紐約州立大學(xué)石溪分校的顧險峰教授認為，深度學(xué)習用到的數(shù)據(jù)可以看成是高維數(shù)據(jù)空間中一個低維流形上的概率分布。

GAN所學(xué)習的正是這個流形的結(jié)構(gòu)，用編碼、解碼映射來表示，就將GAN隱空間中的數(shù)據(jù)分布轉(zhuǎn)換成了幾何上的最優(yōu)傳輸問題。

據(jù)顧險峰教授介紹，這幾年隨著醫(yī)學(xué)圖像技術(shù)、無線通訊技術(shù)、3D 打印技術(shù)、VR/AR技術(shù)的發(fā)展，以蒙日-安培方程為代表的非線性偏微分方程理論，開始廣泛用于CS和其他工程領(lǐng)域。

那么，這次陳世炳教授等人發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》上的研究，究竟做出了什么突破？

打破二十多年的“定論”

研究一個方程的重要思路，就是研究解的性質(zhì)。

蒙日-安培方程理論也不例外，它主要研究解的存在性、唯一性和光滑性（正則性）。

光滑性（正則性）通常用來描述函數(shù)的光滑程度。如果一個函數(shù)是光滑的，這個函數(shù)在數(shù)學(xué)定義上無窮可導(dǎo)。

其中，存在性證明已經(jīng)由Alexandrov給出，而弱解（某種精確定義的意義下滿足該方程的解）的唯一性也已經(jīng)得到證明。

對光滑性的研究，自1996年來卻一直局限在某些條件下。

1996年，Caffarelli在他里程碑式的工作中，證明了當兩個區(qū)域是一致凸、密度函數(shù)光滑的時候，最優(yōu)傳輸解光滑。

然而這里有一些限制條件：兩個區(qū)域一致凸、密度函數(shù)光滑。

二十多年來，領(lǐng)域里的專家?guī)缀醵颊J為這些條件（尤其是區(qū)域一致凸）必不可少。

但陳世炳等人在這次的研究中，去掉了兩區(qū)域一致凸條件，甚至降低了對邊界的光滑性要求，證明了自然邊界條件下蒙日-安培方程的整體光滑性。

這對于蒙日-安培方程的研究來說，是一大進步，相當于把一個定理的范圍擴大到了更廣泛的領(lǐng)域。

作者介紹

作者陳世炳，現(xiàn)在任中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系特任教授，博士生導(dǎo)師。

據(jù)鎮(zhèn)海中學(xué)梓蔭山下微博賬號消息，陳世炳是寧波鎮(zhèn)海中學(xué)2001屆校友。

鎮(zhèn)海中學(xué)是浙江省強校，除了陳世炳，還有包括IOI金牌得主羅煜翔等人也出自這里。

陳世炳本碩畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，博士畢業(yè)于加拿大多倫多大學(xué)。

曾先后在美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所和澳洲國立大學(xué)任博士后，與菲爾茨獎得主Alessio Figalli以及澳大利亞科學(xué)院院士汪徐家教授有長期合作。

他的主要研究領(lǐng)域為非線性偏微分方程，除了蒙日-安培方程之外也在曲率流、不等式以及 Lp Minkowski問題方面取得了若干成果，目前已發(fā)表SCI論文十余篇。

作者劉佳堃，澳大利亞伍倫貢大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)院教授，本科畢業(yè)于浙江大學(xué)，曾獲陳省身數(shù)學(xué)獎學(xué)金。

作者汪徐家，澳大利亞科學(xué)院院士，曾獲華人數(shù)學(xué)最高獎“晨興數(shù)學(xué)獎”金獎，同樣在蒙日-安培方程上有深入研究，尤其是其中的正則性理論。

據(jù)顧險峰教授介紹，他與合作者給出了Ma-Trudinger-Wang條件，來限定密度函數(shù)，傳輸代價和概率測度支集的幾何性質(zhì)，從而保證最優(yōu)傳輸映射的光滑性。

同時，他還厘清了反射曲面設(shè)計、自由曲面透鏡設(shè)計等價于球面上的最優(yōu)傳輸問題，也等價于球面上的蒙日-安培方程。

國內(nèi)學(xué)者在這一方程上的突破歷程，可以說是非常精彩了。

論文地址：

https://arxiv.org/pdf/1802.07518.pdf

顧險峰教授談蒙日-安培方程（授權(quán)引用）：

https://mp.weixin.qq.com/s/qf_lL4Wl5P9nAKv2fGklRQ