相互作用的電子在不同能量和溫度下表現(xiàn)出多樣的獨(dú)特現(xiàn)象，假如我們對其周圍環(huán)境進(jìn)行改變，它們又會出現(xiàn)新的集體行為，例如自旋、配對波動等，然而處理電子之間的這些現(xiàn)象還存在很多困難。很多研究者使用重整化群（Renormalization Group, RG）來解決。

在高維數(shù)據(jù)背景下，機(jī)器學(xué)習(xí) (ML) 技術(shù)和數(shù)據(jù)驅(qū)動方法的出現(xiàn)在量子物理中引發(fā)了研究者巨大的興趣，到目前為止，ML 思想已被用于電子系統(tǒng)的相互作用。

本文中，來自博洛尼亞大學(xué)等機(jī)構(gòu)的物理學(xué)家利用人工智能，將一個迄今為止需要 10 萬個方程的量子問題，壓縮為一個只需 4 個方程的小任務(wù)，而所有這些都在不犧牲準(zhǔn)確率的情況下完成，這項研究于近日發(fā)表在《物理評論快報》上。

論文地址：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.129.136402

該研究的第一作者、博洛尼亞大學(xué)助理教授 Domenico Di Sante 表示：我們將這個浩大的工程耦合在一起，之后使用機(jī)器學(xué)習(xí)濃縮成一個手指都能數(shù)得過來的任務(wù)。

這項研究涉及這一問題，即電子在網(wǎng)格狀晶格上運(yùn)動時動作是怎樣的。根據(jù)已有的經(jīng)驗，當(dāng)兩個電子占據(jù)同一晶格點(diǎn)陣時，它們就會產(chǎn)生相互作用。這一現(xiàn)象可以稱為 Hubbard 模型，其是有些材料的理想化設(shè)置，基于此，科學(xué)家能夠了解電子行為如何產(chǎn)生物質(zhì)相，例如超導(dǎo)性，電子在沒有阻力的情況下流過材料。在將新方法應(yīng)用于更復(fù)雜的量子系統(tǒng)之前，該模型還可以作為新方法的試驗場。

二維 Hubbard 模型示意圖

Hubbard 模型看似簡單，但即使是使用尖端計算方法處理少量的電子，也需要強(qiáng)大的算力。這是因為當(dāng)電子相互作用時，電子之間就變成了量子力學(xué)糾纏問題：即使電子所處晶格的位置相距很遠(yuǎn)，也不能單獨(dú)處理這兩個電子，所以物理學(xué)家必須同時處理所有電子，而不是每次只處理一個電子。電子越多，量子力學(xué)糾纏就會越多，計算難度就會成倍增加。

研究量子系統(tǒng)的一個常用方法是重整化群。作為一種數(shù)學(xué)裝置，物理學(xué)家用它來觀察一個系統(tǒng)的行為，比如可以用來觀察 Hubbard 模型。遺憾的是，一個重整化群記錄了電子之間所有可能的耦合，這些耦合可能包含成千上萬、數(shù)十萬甚至數(shù)百萬個需要求解的獨(dú)立方程。最重要的是，方程很復(fù)雜：每個方程都代表一對相互作用的電子。

Di Sante 團(tuán)隊想知道他們是否可以使用一種稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器學(xué)習(xí)工具來使重整化群更易于管理。

就神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言，首先，研究者使用機(jī)器學(xué)習(xí)程序?qū)θ叽缰卣航⑦B接；然后神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)整這些連接的強(qiáng)度，直到它找到一個小的方程集，生成與原始的、超大的重整化群相同的解。最后得出四個方程，即使只有四個，該程序的輸出也捕捉到了 Hubbard 模型的物理性質(zhì)。

Di Sante 表示：「神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上是一臺能夠發(fā)現(xiàn)隱藏模式的機(jī)器，這一結(jié)果超出了我們的預(yù)期。」

訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)程序需要大量的算力，因而他們花費(fèi)了數(shù)周的時間才完成。好消息是，現(xiàn)在他們的程序已經(jīng)開始投入使用，稍微調(diào)整就能解決其他問題，而無需從頭開始。

在談到之后的研究方向時，Di Sante 表示需要驗證新方法在更復(fù)雜的量子系統(tǒng)上的效果如何。此外，Di Sante 還表示，在關(guān)于重整化群的其他領(lǐng)域中使用該技術(shù)也有很大的可能性，例如宇宙學(xué)和神經(jīng)科學(xué)。

論文概述

針對描述了正方形晶體上廣泛研究的二維 t-t' Hubbard 模型的功能重整化群（fRG）流特征的尺度相關(guān)四頂點(diǎn)函數(shù)，研究者執(zhí)行了數(shù)據(jù)驅(qū)動降維。他們證明在低維潛在空間中基于神經(jīng)常微分方程（NODE）求解器的一個深度學(xué)習(xí)架構(gòu)能夠高效學(xué)習(xí)描述 Hubbard 模型各種磁性和 d-wave 超導(dǎo)狀態(tài)的 fRG 動力學(xué)。

研究者進(jìn)一步提出了動態(tài)模式分解分析，它能夠確認(rèn)少數(shù)模式確實足以捕獲 fRG 動力學(xué)。研究證明了使用人工智能提取相關(guān)電子四頂點(diǎn)函數(shù)的緊湊表示的可能性，這是成功實現(xiàn)尖端量子場理論方法并解決多電子問題的最重要目標(biāo)。

fRG 中的基本對象是頂點(diǎn)函數(shù) V（k_1, k_2, k_3），在原則上需要計算和存儲三個連續(xù)動量變量組成的一個函數(shù)。通過研究特定的理論模式，二維  Hubbard 模型認(rèn)為這與 cuprates 以及廣泛的有機(jī)導(dǎo)體相關(guān)。研究者表明，較低的維數(shù)表示可以捕獲高維頂點(diǎn)函數(shù)的 fRG 流。

Hubbard 模型的 fRG 接地狀態(tài)。研究者考慮的微觀哈密頓量（Hamiltonian）如下公式（1）所示。

Hubbard 模型的 2 粒子特性通過溫度流的一環(huán)（one-loop）fRG 方案進(jìn)行研究，其中的 RG 流如下公式（2）所示。

下圖 1 a)為 2 粒子頂點(diǎn)函數(shù) V^Λ的一環(huán) fRG 流方程圖解表示。

接下來看深度學(xué)習(xí) fRG。如下圖 2 b)所示，通過在 fRG 流趨向強(qiáng)耦合以及一環(huán)近似分解之前檢查 2 粒子頂點(diǎn)函數(shù)的耦合， 研究者認(rèn)識到它們中的很多要么保持邊緣狀態(tài)要么在 RG 流下變得不相關(guān)。

研究者在基于適合當(dāng)前高維問題的參數(shù)化 NODE 架構(gòu)實現(xiàn)靈活的降維方案，該方法如下圖 2 a）所示，重點(diǎn)關(guān)注深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

下圖 3 展示了在潛在空間的 fRG 動力學(xué)過程中，三個統(tǒng)計上高度相關(guān)的潛在空間表示 z 作為 NODE 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)得特征。

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