聊聊十五周算法訓(xùn)練營——背包問題
今天是十五周算法訓(xùn)練營的第十三周，主要講背包問題專題。（歡迎加入十五周算法訓(xùn)練營，與小伙伴一起卷算法）
「背包問題：給你一個可裝載重量為W的背包和N個物品，每個物品有重量和價(jià)值兩個屬性。其中第i個物品的重量為wt[i]，價(jià)值為val[i]，現(xiàn)在讓你用這個背包裝物品，最多能裝的價(jià)值是多少？」
0-1背包動態(tài)規(guī)劃思路
明確狀態(tài)和選擇
狀態(tài)有兩個：背包的容量和可選擇的物品
選擇就是：裝進(jìn)背包或者不裝進(jìn)背包
dp數(shù)組的含義
剛才明確了狀態(tài)，現(xiàn)在需要用dp數(shù)組把狀態(tài)表達(dá)出來，剛才找到的「狀態(tài)」，有兩個，也就是說我們需要一個二維dp數(shù)組，一維表示可選擇的物品，一維表示背包的容量。
dp[i][w]表示的就是對于[0……i]個物品，當(dāng)前背包容量為w時(shí)的最大價(jià)值
根據(jù)選擇，思考狀態(tài)轉(zhuǎn)移的邏輯
dp[i][w]表示：對于前i個物品，當(dāng)前背包的容量為w時(shí)，這種情況下可以裝下的最大價(jià)值是dp[i][w]。
如果你沒有把這第i個物品裝入背包，那么很顯然，最大價(jià)值dp[i][w]應(yīng)該等于dp[i-1][w]。你不裝嘛，那就繼承之前的結(jié)果。
如果你把這第i個物品裝入了背包，那么dp[i][w]應(yīng)該等于dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1]。
首先，由于i是從 1 開始的，所以對val和wt的取值是i-1。
明確base case: 此處的base case就是dp[ 0 ][ …… ]和dp[……][0]的時(shí)候，這個時(shí)候沒有物品或者背包沒有容量，此時(shí)價(jià)值為0
背包問題動態(tài)規(guī)劃的結(jié)構(gòu)
for 狀態(tài)1 in 狀態(tài)1的所有取值：
for 狀態(tài)2 in 狀態(tài)2的所有取值：
for ...
dp[狀態(tài)1][狀態(tài)2][...] = 擇優(yōu)(選擇1，選擇2...)0-1背包解題思路
/**
* 0-1背包問題解題思路
*
* 給你一個可裝載重量為W的背包和N個物品，每個物品有重量和價(jià)值兩個屬性。其中第i個物品的重量為wt[i]，價(jià)值為val[i]，現(xiàn)在讓你用這個背包裝物品，最多能裝的價(jià)值是多少？
*/
// 該問題是一個典型的動態(tài)規(guī)劃問題
// 1. 明確狀態(tài)和選擇
// 狀態(tài)就是背包的容量和可選的物品
// 選擇就是要不要裝該物品
// 2. dp數(shù)組含義
// dp[i][w]表示前i個物品、當(dāng)前背包容量為w時(shí)，能裝的最大價(jià)值
// 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移邏輯
// 為了獲取dp[i][w]的時(shí)候需要考慮當(dāng)前要放入物品的重量是否可以放到背包中，即比較當(dāng)前背包容量和要放入物品重量
// 若不能放進(jìn)去:dp[i][w] = dp[i - 1][w]
// 若可以放進(jìn)去,則此時(shí)就需要比較放入和不放入后的價(jià)值dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - wtPresent] + valPresent)
function knapsack(W, N, wt, val) {
// 定義dp
const dp = new Array(N + 1);
for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i] = (new Array(W + 1)).fill(0);
}
// base case
// 當(dāng)在定義dp的時(shí)候已經(jīng)進(jìn)行了初始化為0，0就是起base case
for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
for (let w = 1; w < dp[0].length; w++) {
// 判斷當(dāng)前物品是否可以放到背包中，如果不能放進(jìn)去
if (w - wt[i - 1] < 0) {
dp[i][w] = dp[i - 1][w];
} else {
// 如果可以放進(jìn)去
dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - wt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
// 最終結(jié)果
return dp[N][W];
}分割等和子集
給你一個 只包含正整數(shù) 的 非空 數(shù)組 nums 。請你判斷是否可以將這個數(shù)組分割成兩個子集，使得兩個子集的元素和相等。
示例 1：
輸入：nums = [1,5,11,5] 輸出：true 解釋：數(shù)組可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
// 對于經(jīng)典背包問題，是給你一個可裝載重量為W的背包和N個物品，每個物品有重量和價(jià)值兩個屬性。其中第i個物品的重量為wt[i]，價(jià)值為val[i]，現(xiàn)在讓你用這個背包裝物品，最多能裝的價(jià)值是多少？
// 該問題其實(shí)是經(jīng)典背包問題的變形，可以先對集合求和，得出sum,該問題就可以轉(zhuǎn)換為背包問題：
// 給一個可裝載重量為sum / 2的背包和N個物品，每個物品的重量為nums[i],現(xiàn)在讓你裝物品，是否存在一種裝法，能夠恰好將背包裝滿
// 1. 明確狀態(tài)和選擇
// 狀態(tài)就是背包容量和可選擇的物品
// 選擇就是裝進(jìn)背包和不裝進(jìn)背包
// 2. dp數(shù)組函數(shù)
// dp[i][j] = x表示，對于前i個物品，當(dāng)前背包的容量為j時(shí)，若x為true，則說明可以恰好將背包裝滿，若x為false，則說明不能恰好將背包裝滿。
// 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移邏輯
// 若放不進(jìn)去，dp[i][j] = dp[i - 1][j]
// 若能夠放進(jìn)去dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]]
// 4. base case
// base case就是：
// (1)有物品但是容量為0,肯定能裝滿，此時(shí)即dp[……][0] = true
// (2)沒有物品但是有容量時(shí)，肯定裝不滿，此時(shí)即dp[0][……] = false
function canPartition(nums) {
let sums = 0;
nums.forEach(num => sums += num);
// 如果是奇數(shù)，不能被劃分，直接返回false
if (sums % 2 === 1) {
return false;
}
const numsLen = nums.length;
const dp = new Array(numsLen + 1);
for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i] = (new Array(sums / 2 + 1)).fill(false);
}
// base case
for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i][0] = true;
}
for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
for (let j = 1; j < dp[0].length; j++) {
if (j - nums[i - 1] < 0) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
}
}
}
// 最終其dp[n][sum / 2]就是起結(jié)果,因?yàn)榇藭r(shí)能找到和的一半，另一半也是和的一半
return dp[numsLen][sums / 2];
}零錢兌換II
給你一個整數(shù)數(shù)組 coins 表示不同面額的硬幣，另給一個整數(shù) amount 表示總金額。
請你計(jì)算并返回可以湊成總金額的硬幣組合數(shù)。如果任何硬幣組合都無法湊出總金額，返回 0 。
假設(shè)每一種面額的硬幣有無限個。
題目數(shù)據(jù)保證結(jié)果符合 32 位帶符號整數(shù)。
示例 1：
輸入：amount = 5, coins = [1, 2, 5] 輸出：4 解釋：有四種方式可以湊成總金額： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
// 該問題可轉(zhuǎn)換為有一個背包，最大容量為amount，有一系列物品coins，每個物品的重量為coins[i]，每個物品的數(shù)量無限。請問有多少種方法，能夠把背包恰好裝滿？
// 與經(jīng)典背包區(qū)別的是每個物品的數(shù)量是無限的，這也就是完全背包問題。
// 1. 狀態(tài)和選擇
// 狀態(tài)：背包的容量和可選擇的物品
// 選擇：放進(jìn)背包和不放進(jìn)背包
// 2. 定義dp
// dp[i][j]:若只使用前i個物品，當(dāng)背包容量為j時(shí)，有dp[i][j]種方法可以裝滿背包。換句話說：若只使用coins中的前i個硬幣的面值，若想湊出金額j，有dp[i][j]中湊法
// 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移邏輯
// 若不能放進(jìn)去：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
// 若能夠放進(jìn)去：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - coins[i]]
// 4. base case
// (1)有硬幣，但是目標(biāo)結(jié)果為0，即dp[0……n][0] = 1
// (2)沒有硬幣，即dp[0][0……n] = 0
function change(amount, coins) {
const n = coins.length;
const dp = new Array(n + 1);
for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i] = (new Array(amount + 1)).fill(0);
}
// base case
for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
// 遍歷dp
for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
for (let j = 1; j < dp[0].length; j++) {
// 如果當(dāng)前硬幣不能放進(jìn)背包
if (j < coins[i - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
// 能放進(jìn)去，則結(jié)果就是放進(jìn)去與不放進(jìn)去的加和
// 為什么當(dāng)放進(jìn)去的時(shí)候?yàn)閕，因?yàn)榇藭r(shí)已經(jīng)決定使用coins[i - 1]的值
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]];
}
}
}
// 目標(biāo)結(jié)果就是[N, amount]
return dp[n][amount];
}
// 通過觀察發(fā)現(xiàn)dp[i][j]之和dp[i][……]和dp[i - 1][……]相關(guān)
// 則可進(jìn)行狀態(tài)壓縮
function change1(amount, coins) {
// 定義dp
const dp = (new Array(amount + 1)).fill(0);
// base case
dp[0] = 1;
// 進(jìn)行遍歷
for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
for (let j = 1; j < dp.length; j++) {
if (j >= coins[i]) {
dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
}
}
}
return dp[dp.length - 1];
}
const amount = 5;
const coins = [1, 2, 5];
console.log(change1(amount, coins));最后一塊石頭的重量II
有一堆石頭，用整數(shù)數(shù)組 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 塊石頭的重量。
每一回合，從中選出任意兩塊石頭，然后將它們一起粉碎。假設(shè)石頭的重量分別為 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能結(jié)果如下：
如果 x == y，那么兩塊石頭都會被完全粉碎； 如果 x != y，那么重量為 x 的石頭將會完全粉碎，而重量為 y 的石頭新重量為 y-x。 最后，最多只會剩下一塊 石頭。返回此石頭 最小的可能重量 。如果沒有石頭剩下，就返回 0。
示例 1：
輸入：stones = [2,7,4,1,8,1] 輸出：1 解釋： 組合 2 和 4，得到 2，所以數(shù)組轉(zhuǎn)化為 [2,7,1,8,1]， 組合 7 和 8，得到 1，所以數(shù)組轉(zhuǎn)化為 [2,1,1,1]， 組合 2 和 1，得到 1，所以數(shù)組轉(zhuǎn)化為 [1,1,1]， 組合 1 和 1，得到 0，所以數(shù)組轉(zhuǎn)化為 [1]，這就是最優(yōu)值。
// 該問題和分割等和子集問題（416）處理方式類似，就是背包問題
// 1. 狀態(tài)和選擇
// 狀態(tài)：背包和當(dāng)前可選物品
// 選擇：是否裝進(jìn)背包
// 2. dp數(shù)組含義
// dp[w][i]表示背包容量為w時(shí)，前i個物品，最多能夠裝的物品重量
// 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移邏輯
// 不能裝進(jìn)去：dp[w][i] = dp[w][i - 1]
// 能夠裝進(jìn)去：dp[w][i] = Math.max(dp[w][i - 1], dp[w - stones[i]][i - 1] + stones[i])
// 4. base case
// 當(dāng)i = 0時(shí)，dp[0……w][0] = 0
// 當(dāng)w = 0時(shí)，dp[0][……] = 0
function lastStoneWeightII(stones) {
// 得到總重量
let sum = 0;
stones.forEach(stone => {
sum += stone;
});
const weight = Math.floor(sum / 2);
// 定義dp
const dp = new Array(weight + 1);
for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i] = (new Array(stones.length + 1)).fill(0);
}
// base case 在初始化時(shí)已經(jīng)完成
// 循環(huán)遍歷
for (let w = 1; w < dp.length; w++) {
for (let i = 1; i < dp[0].length; i++) {
// 判斷是否可以裝進(jìn)去
if (w - stones[i - 1] < 0) {
dp[w][i] = dp[w][i - 1];
} else {
dp[w][i] = Math.max(dp[w][i - 1], dp[w - stones[i - 1]][i - 1] + stones[i - 1]);
}
}
}
return sum - 2 * dp[weight][stones.length];
}
const stones = [31,26,33,21,40];
console.log(lastStoneWeightII(stones));目標(biāo)和
給你一個整數(shù)數(shù)組 nums 和一個整數(shù) target 。
向數(shù)組中的每個整數(shù)前添加 '+' 或 '-' ，然后串聯(lián)起所有整數(shù)，可以構(gòu)造一個 表達(dá)式 ：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串聯(lián)起來得到表達(dá)式 "+2-1" 。 返回可以通過上述方法構(gòu)造的、運(yùn)算結(jié)果等于 target 的不同 表達(dá)式 的數(shù)目。
示例 1：
輸入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3 輸出：5 解釋：一共有 5 種方法讓最終目標(biāo)和為 3 。 -1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
// 該方法可以用背包解決
// 如何轉(zhuǎn)換為01背包問題呢？
// 假設(shè)加法的總和為x，那么減法對應(yīng)的總和就是sum - x
// 所以我們要求的就是x - (sum - x) = S
// x = (S + sum) / 2
// 此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化為：裝滿容量為x背包，有幾種方法
// 1. 狀態(tài)和選擇
// 2. dp數(shù)組含義
// dp[i][w]：前i個物品、背包容量為w時(shí)，有幾種方式裝滿
// 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移邏輯
// 裝不進(jìn)去：dp[i][w] = dp[i - 1][w]
// 能裝進(jìn)去：dp[i][w] = dp[i - 1][w - nums[i]] + dp[i - 1][w]
// 4. base case
// dp[0][0] = 1
function findTargetSumWays(nums, target) {
// 求和
const sum = nums.reduce((total, num) => total + num);
// weight必須大于0且為整數(shù)
if (target + sum < 0 || (target + sum) % 2 === 1) {
return 0;
}
// 求weight
const weight = (target + sum) / 2;
// dp
const dp = new Array(nums.length + 1);
for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i] = (new Array(weight + 1)).fill(0);
}
// base case
dp[0][0] = 1;
// 循環(huán)
for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
for (let w = 0; w < dp[i].length; w++) {
// 不能裝進(jìn)去
if (w - nums[i - 1] >= 0) {
dp[i][w] = dp[i - 1][w] + dp[i - 1][w - nums[i - 1]];
} else {
dp[i][w] = dp[i - 1][w];
}
}
}
return dp[nums.length][weight];
}
// 用回溯算法實(shí)現(xiàn)一遍
function findTargetSumWays1(nums, target) {
let result = 0;
const backtrack = (index, sum) => {
// 結(jié)束條件
if (index === nums.length) {
if (sum === target) {
result++;
}
return;
}
backtrack(index + 1, sum + nums[index]);
backtrack(index + 1, sum - nums[index]);
};
backtrack(0, 0);
return result;
}
const nums = [0, 0, 0, 1];
const target = 1;
console.log(findTargetSumWays1(nums, target));
