在數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，許多模型都假設(shè)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)正態(tài)分布，或者假設(shè)數(shù)據(jù)在正態(tài)分布下表現(xiàn)更好。例如，線性回歸假設(shè)殘差呈正態(tài)分布，線性判別分析（LDA）基于正態(tài)分布等假設(shè)進(jìn)行推導(dǎo)。 因此，了解如何測試數(shù)據(jù)正態(tài)性的方法對于數(shù)據(jù)科學(xué)家和機(jī)器學(xué)習(xí)從業(yè)者至關(guān)重要。

本文將介紹測試數(shù)據(jù)正態(tài)性的11種基本方法，幫助讀者更好地理解數(shù)據(jù)分布的特征和如何應(yīng)用合適的方法進(jìn)行分析，以便在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)建模過程中更好地處理數(shù)據(jù)分布對模型性能的影響。

繪圖法Plotting Methods

1.QQ Plot

QQ圖（Quantile-Quantile Plot）是一種用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)分布是否符合正態(tài)分布的常用方法。在QQ圖中，將數(shù)據(jù)的分位數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)進(jìn)行比較，如果數(shù)據(jù)分布接近正態(tài)分布，QQ圖上的點(diǎn)將大致落在一條直線上。

如下示例代碼生成了一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)來演示QQ Plot，運(yùn)行代碼后，既可看到QQ Plot以及與之對應(yīng)的正態(tài)分布曲線，通過觀察圖上的點(diǎn)的分布情況來初步判斷數(shù)據(jù)是否接近正態(tài)分布。

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一組隨機(jī)數(shù)據(jù)，假設(shè)它們服從正態(tài)分布
data = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 繪制QQ圖
stats.probplot(data, dist="norm", plot=plt)
plt.title('Q-Q Plot')
plt.show()

2.KDE Plot

KDE（Kernel Density Estimation）Plot是一種用于可視化數(shù)據(jù)分布的方法，它可以幫助我們檢測數(shù)據(jù)的正態(tài)性。在KDE Plot中，數(shù)據(jù)的密度被估計(jì)并繪制成一條平滑的曲線，這有助于我們觀察數(shù)據(jù)的分布形狀。

如下示例代碼生成了一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)來演示KDE Plot，運(yùn)行代碼后，既可看到KDE Plot以及與之對應(yīng)的正態(tài)分布曲線，從而通過可視化來檢測數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性。

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成隨機(jī)數(shù)據(jù)
np.random.seed(0)
data = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)

# 創(chuàng)建KDE Plot
sns.kdeplot(data, shade=True, label='KDE Plot')

# 添加正態(tài)分布曲線
mu, sigma = np.mean(data), np.std(data)
x = np.linspace(min(data), max(data), 100)
y = (1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-0.5 * ((x - mu) / sigma) ** 2)
plt.plot(x, y, 'r--', label='Normal Distribution')

# 顯示圖表
plt.legend()
plt.show()

3.Violin Plot

通過觀察Violin Plot可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布形狀，從而初步判斷數(shù)據(jù)是否接近正態(tài)分布。如果 Violin Plot 呈現(xiàn)出類似鐘形曲線的形狀，那么數(shù)據(jù)可能是近似正態(tài)分布的。如果 Violin Plot 偏斜嚴(yán)重或者有多個(gè)峰值，那么數(shù)據(jù)可能不是正態(tài)分布的。

如下示例代碼生成了一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)來演示Violin Plot，運(yùn)行代碼后，既可看到Violin Plot以及與之對應(yīng)的正態(tài)分布曲線，通過可視化來檢測數(shù)據(jù)分布的形狀，從而初步判斷數(shù)據(jù)是否接近正態(tài)分布。

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成隨機(jī)數(shù)據(jù)
np.random.seed(0)
data = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100)

# 創(chuàng)建 Violin Plot
sns.violinplot(data, inner="points")

# 添加正態(tài)分布曲線
mu, sigma = np.mean(data), np.std(data)
x = np.linspace(min(data), max(data), 100)
y = (1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-0.5 * ((x - mu) / sigma) ** 2)
plt.plot(x, y, 'r--', label='Normal Distribution')

# 顯示圖表
plt.legend()
plt.show()

4.Histogram

使用直方圖（Histogram）來檢測數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性也是一種常用的方法。直方圖可以幫助你直觀地了解數(shù)據(jù)的分布情況，并且可以初步判斷數(shù)據(jù)是否接近正態(tài)分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats

# 生成一組隨機(jī)數(shù)據(jù)，假設(shè)它們服從正態(tài)分布
data = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 繪制直方圖
plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
plt.title('Histogram of Data')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Frequency')

# 繪制正態(tài)分布的概率密度函數(shù)
xmin, xmax = plt.xlim()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
p = stats.norm.pdf(x, np.mean(data), np.std(data))
plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)

plt.show()

如上圖所示，如果直方圖近似呈現(xiàn)鐘形曲線，并且與對應(yīng)的正態(tài)分布曲線形狀相似，那么數(shù)據(jù)可能符合正態(tài)分布。當(dāng)然，可視化只是一種初步的判斷，如果需要更精確的檢測，可以結(jié)合使用正態(tài)性檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析。

統(tǒng)計(jì)方法Statistical Methods

5.夏皮羅一威爾克(Shapiro-Wilk)檢驗(yàn)

是一種用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)方法，又稱之為W檢驗(yàn)。在進(jìn)行Shapiro-Wilk檢驗(yàn)時(shí)，我們通常會(huì)關(guān)注兩個(gè)主要指標(biāo)：

• 統(tǒng)計(jì)量W：基于觀測數(shù)據(jù)與在正態(tài)分布下的期望值之間的相關(guān)性來計(jì)算統(tǒng)計(jì)量W，W的取值范圍在0和1之間，當(dāng)W接近1時(shí)，表示觀測數(shù)據(jù)與正態(tài)分布的擬合程度較好。
• P值：P值表示觀測到這種相關(guān)性的可能性，如果P值大于顯著水平（通常為0.05），則表明觀測數(shù)據(jù)很可能來自正態(tài)分布。

因此，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量W接近1且P值大于0.05時(shí)，我們可以得出結(jié)論：觀測數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布。

如下代碼中，首先生成一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行Shapiro-Wilk檢驗(yàn)，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和P值。根據(jù)P值與顯著性水平的比較，即可判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布。

from scipy import stats
import numpy as np

# 生成一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)
data = np.random.normal(0, 1, 100)

# 執(zhí)行Shapiro-Wilk檢驗(yàn)
stat, p = stats.shapiro(data)
print('Shapiro-Wilk Statistic:', stat)
print('P-value:', p)

# 根據(jù)P值判斷正態(tài)性
alpha = 0.05
if p > alpha:
    print('樣本數(shù)據(jù)可能來自正態(tài)分布')
else:
    print('樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布')

6.KS檢驗(yàn)

KS檢驗(yàn)（Kolmogorov-Smirnov test）是一種用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合特定分布（比如正態(tài)分布）的統(tǒng)計(jì)方法。它通過測量觀測數(shù)據(jù)與特定理論分布的累積分布函數(shù)(CDF)之間的最大差異來評估二者是否來自同一分布。基本步驟如下：

• 對兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序。
• 計(jì)算兩個(gè)樣本的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)(ECDF)，即計(jì)算每個(gè)值在樣本中的累積百分比。
• 計(jì)算兩個(gè)累積分布函數(shù)之間的差異，通常使用KS統(tǒng)計(jì)量衡量。
• 根據(jù)樣本的大小和顯著性水平，使用參考表活計(jì)算p值判斷兩個(gè)樣本是否來自同一分布。

Python中使用KS檢驗(yàn)來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布時(shí)，可以使用Scipy庫中的kstest函數(shù)。下面是一個(gè)簡單的示例，演示了如何使用Python進(jìn)行KS檢驗(yàn)來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布。

from scipy import stats
import numpy as np

# 生成一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)
data = np.random.normal(0, 1, 100)

# 執(zhí)行KS檢驗(yàn)
statistic, p_value = stats.kstest(data, 'norm')
print('KS Statistic:', statistic)
print('P-value:', p_value)

# 根據(jù)P值判斷正態(tài)性
alpha = 0.05
if p_value > alpha:
    print('樣本數(shù)據(jù)可能來自正態(tài)分布')
else:
    print('樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布')

7.Anderson-Darling檢驗(yàn)

Anderson-Darling檢驗(yàn)是一種用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來自特定分布（例如正態(tài)分布）的統(tǒng)計(jì)方法。它特別強(qiáng)調(diào)觀察值在分布尾部的差異，因此在檢測極端值的偏差方面非常有效。

如下代碼使用stats.anderson函數(shù)執(zhí)行Anderson-Darling檢驗(yàn)，并獲得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、臨界值以及顯著性水平。然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)量與臨界值的比較，即可判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布。

from scipy import stats
import numpy as np

# 生成一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)
data = np.random.normal(0, 1, 100)

# 執(zhí)行Anderson-Darling檢驗(yàn)
result = stats.anderson(data, dist='norm')
print('Anderson-Darling Statistic:', result.statistic)
print('Critical Values:', result.critical_values)
print('Significance Level:', result.significance_level)

# 判斷正態(tài)性
if result.statistic < result.critical_values[2]:
    print('樣本數(shù)據(jù)可能來自正態(tài)分布')
else:
    print('樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布')

8.Lilliefors檢驗(yàn)

Lilliefors檢驗(yàn)（也稱為Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors檢驗(yàn)）是一種用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，它是Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)的一種變體，專門用于小樣本情況。與K-S檢驗(yàn)不同，Lilliefors檢驗(yàn)不需要假定數(shù)據(jù)的分布類型，它基于觀測數(shù)據(jù)來評估是否來自正態(tài)分布。

如下示例中，使用lilliefors函數(shù)執(zhí)行Lilliefors檢驗(yàn)，并獲得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和P值。根據(jù)P值與顯著性水平的比較，即可以判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布。

import numpy as np
from statsmodels.stats.diagnostic import lilliefors

# 生成一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)
data = np.random.normal(0, 1, 100)

# 執(zhí)行Lilliefors檢驗(yàn)
statistic, p_value = lilliefors(data)
print('Lilliefors Statistic:', statistic)
print('P-value:', p_value)

# 根據(jù)P值判斷正態(tài)性
alpha = 0.05
if p_value > alpha:
    print('樣本數(shù)據(jù)可能來自正態(tài)分布')
else:
    print('樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布')

9.距離測量Distance Measures

距離測量（Distance measures）是一種有效的測試數(shù)據(jù)正態(tài)性的方法，它提供了更直觀的方式來比較觀察數(shù)據(jù)分布與參考分布之間的差異。

下面是一些常見的距離測量方法及其在測試正態(tài)性時(shí)的應(yīng)用：

(1) 「巴氏距離（Bhattacharyya distance）」：

• 測量兩個(gè)分布之間的重疊，通常被解釋為兩個(gè)分布之間的接近程度。
• 選擇與觀察到的分布具有最小Bhattacharyya距離的參考分布，作為最接近的分布。

(2) 「海林格距離（Hellinger distance）」：

• 用于衡量兩個(gè)分布之間的相似度，類似于Bhattacharyya距離。
• 與Bhattacharyya距離不同的是，Hellinger距離滿足三角不等式，這使得它在一些情況下更為實(shí)用。

(3) 「KL 散度（KL Divergence）」：

• 它本身并不是嚴(yán)格意義上的“距離度量”，但在測試正態(tài)性時(shí)可以用作衡量信息丟失的指標(biāo)。
• 選擇與觀察到的分布具有最小KL散度的參考分布，作為最接近的分布。

這些距離測量方法可以幫助我們比較觀察到的分布與多個(gè)參考分布之間的差異，從而更好地評估數(shù)據(jù)的正態(tài)性。通過選擇與觀察到的分布距離最小的參考分布，我們可以更準(zhǔn)確地判斷數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布。