首位超越國際奧林匹克競賽金牌得主的AI，剛剛誕生了！

印度理工學院海得拉巴分校、圖賓根AI中心、劍橋大學的研究者發(fā)現(xiàn)——

通過「吳方法」，可以讓AI變成和人類數(shù)學奧賽銀牌得主同樣的水平，而「AI數(shù)學大師」AlphaGeometry，則直接超越了IMO金牌得主。

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吳方法，是吳文俊在1970年代提出的開創(chuàng)性算法。

經(jīng)過改進后，它變得非常強大，可以解決國際數(shù)學奧林匹克競賽30個問題中的27個！直接秒殺人類。

相比之下，之前的AlphaGeometry，僅能解決25個。

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論文地址：https://arxiv.org/abs/2404.06405

項目地址：https://huggingface.co/datasets/bethgelab/simplegeometry

之前曾有人估計，到2026年代，AI才能達到IMO人類金牌得主的水平。而如今，這個時間表再次被打破了。

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AI做IMO奧數(shù)題，有新SOTA了

證明幾何定理是視覺推理的重要表現(xiàn)，它融合了直覺和邏輯思維。

因此，自動化證明奧林匹克級別的幾何題目，代表著人類級自動推理的一個重要里程碑。

此前推出的AlphaGeometry，是一個通過1億個合成樣本訓練的神經(jīng)符號模型，代表了一個重大的突破。

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論文地址：https://www.nature.com/articles/s41586-023-06747-5

它成功解決了國際數(shù)學奧林匹克（IMO）30個問題中的25個，而傳統(tǒng)的基于吳方法的系統(tǒng)，僅能解決10個。

但這一次，研究者們重新評估了AlphaGeometry引入的IMO-AG-30挑戰(zhàn)，有了新的發(fā)現(xiàn)——

吳方法異常強大！

僅靠吳方法，就能解決15個問題，其中一些問題是靠其他方法根本無法解決的。

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而這就帶來了兩個關鍵發(fā)現(xiàn)：

1. 通過將「吳方法」和經(jīng)典的演繹數(shù)據(jù)庫（DD）以及角度、比率和距離追蹤（AR）的合成方法相結合，僅使用一臺配備CPU的筆記本，在每個問題的5分鐘限時內(nèi)，就能解決30個問題中的21個。

這種經(jīng)典組合方法（Wu&DD+AR）僅比AlphaGeometry少解決了4個問題，并建立了第一個完全基于符號的基準，其性能足以與國際數(shù)學奧林匹克（IMO）銀牌得主媲美。

2. 吳方法還解決了AlphaGeometry未能解決的5個問題中的2個。

因此，現(xiàn)在IMO-AG-30有新的SOTA了！

通過將AlphaGeometry與吳方法結合產(chǎn)生的新AI，直接解決了30個問題中的27個，一舉超越IMO金牌得主，成為世上首個達此成就的AI。

歐氏幾何，AI推理能力的試金石

如何測試AI的推理能力強不強？歐幾里得幾何就是一個很好的標準。

因為，歐幾里得幾何已經(jīng)被有限地公理化了，而且這么多年來，有許多非常適合自動定理證明的歐幾里得幾何證明系統(tǒng)被提了出來。

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此外證明的搜索可以通過圖形表示、概率驗證，或是使用人類設計的啟發(fā)式方法，來對角度、面積和距離進行大量推理引導。

國際數(shù)學奧林匹克中，這些方法被參賽者戲稱為「三角破解」和「重心破解」。

還有一件有趣的事，就是這個領域的缺陷——它需要定義特定的證明系統(tǒng)來指定問題，缺乏訓練數(shù)據(jù)，問題時常涉及復雜的退化情況。

這些困難非常棘手，由此坊間有這樣一句戲言——「幾何問題永遠不會解決退化問題?！?/span>

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在幾何自動推理領域，可以將方法分為代數(shù)方法和合成方法。

演繹數(shù)據(jù)庫（DD）這個合成方法就頗受關注。

它會模仿人類的證明技巧，通過將定理證明視為依據(jù)一組幾何公理進行的逐步搜索問題，從而生成易于理解的證明。

比如，DD會采用一組固定的、由專家策劃的幾何規(guī)則，這些規(guī)則會不斷地應用到初始的幾何配置上，直至系統(tǒng)達到一個狀態(tài)，即用現(xiàn)有規(guī)則無法推導出新的事實為止。

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而神經(jīng)符號證明器AlphaGeometry在這一領域取得了突破性的進展。

在DD的基礎上，它增加了新的規(guī)則，用于進行角度、比率和距離的追蹤（AR），并通過大模型（DD+AR+LLM-構造）提出的構建方法，進一步增強了由此生成的符號引擎。該模型是基于1億個合成證明訓練的。

而吳方法和Gr?bner基方法之類的代數(shù)方法，能夠?qū)缀渭僭O，轉(zhuǎn)換成多項式系統(tǒng)，來驗證結論。

這些方法已被證實，能夠有效處理廣泛的幾何問題。

其中，對于所有假設和結論都能用代數(shù)方程表示的問題，吳方法都能處理，并且還能自動產(chǎn)生非退化條件。

而這就表明，吳方法不僅適用于平面幾何問題，也適用于固體和更高維的幾何問題。

5秒解決14個問題

今年1月，谷歌DeepMind團隊同時推出了新的基準測試IMO-AG-30。

這是團隊從2000年至2022年間競賽題中，篩選出30道經(jīng)典幾何問題組成的測試集，目的是為了展示AlphaGeometry的性能。

基準中，問題的解決數(shù)量與IMO選手的平均解題數(shù)量相對應。

如下圖，灰色水平線所示，銅牌、銀牌和金牌得主平均分別解決了19.3個、22.9個和25.9個問題。

所有參賽者平均解題數(shù)為15.2。

IMO-AG-30收集的具體問題集在圖1（B）的左列中有所列出。

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（A）在IMO-AG-30問題集上，符號系統(tǒng)和增強型大模型（LLM-Augmented）的表現(xiàn)，以及與人類表現(xiàn)的對比

（B）展示了不同方法在解決IMO-AG-30問題集時的情況

實驗

研究人員根據(jù)Trinh等人提供的基線和數(shù)據(jù)集，使用IMO-AG-30基準進行性能評估。

他們通過JGEX軟件手動將IMO-AG-30問題轉(zhuǎn)換成兼容格式，并重新實現(xiàn)了吳方法。

同時，研究者也從AlphaGeometry代碼庫中成功重現(xiàn)了必要的DD+AR基線。

經(jīng)過手動驗證了自己翻譯的幾個問題，團隊確認JGEX生成的假設和結論方程是正確的。

吳方法解決了AlphaGeometry未能解決的兩個問題，方案插圖如下所示。

2008-P1B（JGEX）：

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生成的答案：

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2021-P3（JGEX）：

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生成的答案：

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結果

研究結果與的先前結果，已經(jīng)在圖1中進行了展示。

圖1（A）比較了解決問題的數(shù)量，圖1（B）展示了各種方法解決的具體問題，以此可視化不同方法之間的重疊或互補性。

具體來說，研究人員將吳方法與DD+AR結合，創(chuàng)建了一個新的符號性能基準（Wu&DD+AR），該基準比所有傳統(tǒng)方法多解決了6個問題。

這種組合解決了IMO-AG-30問題中的21個，與圖2中未經(jīng)微調(diào)（僅FT-9M）的AlphaGeometry的表現(xiàn)相匹配。

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（A）展示了在IMO-AG-30問題集上，符號方法和LLM增強（LLM-Augmented）方法的表現(xiàn)，以及與人類表現(xiàn)的對比

（B）展示了不同方法在IMO-AG-30問題上的表現(xiàn)

吳方法在非常低的計算需求下實現(xiàn)了這一表現(xiàn)。

在一臺裝有AMD Ryzen 7 5800H處理器和16 GB RAM的筆記本上，研究人員在5秒內(nèi)解決了15個問題中的14個，其中一個問題（2015 P4）需要耗時3分鐘。

在實驗中，吳方法要么幾乎立即解決問題，要么在5分鐘內(nèi)使筆記本內(nèi)存耗盡。

值得一提的是，研究者通過吳方法解決的15個問題中的2個（2021 P3, 2008 P1B），原本是AlphaGeometry難以解決的5個問題之中的2個。

因此，通過簡單地將Wu的方法與AlphaGeometry結合，實現(xiàn)了在IMO-AG-30基準上解決了27個問題，這一成就在圖1的綠色/橙色條形（Wu&AG）中有所展示。

代數(shù)方法攻克IMO

代數(shù)方法，在自動化幾何推理中解決IMO幾何問題中，蘊藏著巨大的潛力。

這項研究恰恰印證了這一點，吳方法也從過往能夠解決10個問題，增加到了15個問題。

而這些問題中，有幾個對于目前流行的合成方法，以及增強LLM的方法，也具有非常高的挑戰(zhàn)性。

研究者表示，其設立的符號基線，是首個在性能上超越一般IMO參賽者，并接近銀牌水平。

此外，AlphaGeomtery和吳方法結合的系統(tǒng)，也是首個在IMO幾何問題上超越人類金牌得主的AI系統(tǒng)。

這一成就證明了，代數(shù)方法與合成方法在這一領域的互補性。特別是，2008 P1B和2021 P3這兩個問題目前僅有吳方法能解決，顯示了代數(shù)方法的獨特價值。

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盡管代數(shù)方法以其理論保證而著稱，但之前因速度慢和難以為人理解而受到質(zhì)疑。

而最新的研究觀察顯示，吳方法在多個問題上的效率遠超預期，作者認為不應僅因其無法生成人類可讀的證明而忽視它。

目前，研究還在進行中，受限于現(xiàn)有實現(xiàn)的不足，包括結構的限制和性能不佳。

研究者相信，傳統(tǒng)方法有可能超越AlphaGeometry的證明能力，并希望這份研究能促進這一領域經(jīng)典計算方法軟件的改進。

另一方面，最新方法取得的顯著成功表明，盡管IMO幾何問題對人類具有挑戰(zhàn)性，但可能并未充分挑戰(zhàn)現(xiàn)代計算求解器的極限。

解題的成功更多依賴于，重復使用人定義的啟發(fā)式方法和有限的構造，而不是深入探索復雜的組合可能性。

這與國際象棋殘局的情況類似，其相對較早就被暴力求解器掌握了。

而研究人員希望這份研究，能激勵開發(fā)幾何領域自動定理證明器的新基準。

參考資料：

https://arxiv.org/abs/2404.06405