昨天在群里面看到耳濡目染同志發(fā)了這么一張圖。

圖片

問的是 -1155459666 怎么變成 3139507630，這個問題比較有意思，雖然簡單，但涉及到了原碼、反碼、補碼相關的知識，本篇文章就來詳細解釋一下。

拋出一個問題，有兩個整數(shù) 94、78，如果讓你計算它們的和，你會怎么做？不用想，我們都會像下面這樣。

圖片

十進制是逢十進一，當產(chǎn)生溢出時會往前進一位，因此結果就是 110 + 062 等于 172。但計算機在運算時會使用二進制，本質(zhì)是一樣的，只不過二進制是逢二進一。

圖片

我們驗證一下。

print(94 + 78)  # 172
print(0b10101100)  # 172

另外我們知道，與運算時，如果兩個二進制位均是 1，那么結果是 1，否則結果是 0；異或運算時，如果兩個二進制位相同，結果是 0，否則結果是 1。

# 與運算，兩個二進制位均是 1，結果才是 1
print(1 & 1)  # 1
print(1 & 0)  # 0
print(0 & 1)  # 0
print(0 & 0)  # 0

# 異或運算，兩個二進制位相同，結果為 0，相異結果為 1
print(1 ^ 1)  # 0
print(1 ^ 0)  # 1
print(0 ^ 1)  # 1
print(0 ^ 0)  # 0

然后再觀察一下之前的式子。

圖片

所以當兩個整數(shù)相加時，我們還可以這么做。

a = 94
b = 78
# 無進位加法
print(a ^ b)  # 16
# a + b 的進位
# 既然是進位，那么 (a & b) 要左移一位
print((a & b) << 1)  # 156
# 兩者相加
print(
    ((a & b) << 1) + (a ^ b)
)  # 172

當然兩個整數(shù)直接相加的話，這么做沒啥意義，它一般會應用于二分查找。在二分查找中，為了避免兩個整數(shù)相加溢出，求平均值的時候一般會這么做。

l = 123
r = 789
# 對于 C、Java 等語言來說，當 l、r 非常大時，相加可能會產(chǎn)生溢出
print((l + r) // 2)  # 456
# 因此一般都會這么做
print(l + (r - l) // 2)  # 456
# 但顯然還有更高效的做法
print((l & r) + ((l ^ r) >> 1))  # 456

然后來說一說原碼、反碼和補碼，不過首先我們要知道負數(shù)是如何表示的，對于一個有符號整數(shù)來說，它的最高位表示符號位。比如一個 8 位整數(shù)：

圖片

開頭的符號位如果為 0，則表示正數(shù)，為 1 則表示負數(shù)，然后剩余的有效位則表示具體的數(shù)值。比如 15 的二進制是 1111，那么：

• 八位整數(shù) 15 的二進制就是 00001111；
• 八位整數(shù) -15 的二進制就是 10001111；
  

由于 7 個位能表示的最大整數(shù)是 2 的 7 次方減 1，所以八位整數(shù)的最大值就是 127，而最小值是 -128。那么問題來了，為什么最小值是 -128 呢？這就涉及到原碼、反碼和補碼了。

計算機為了人類閱讀方便，會以原碼的形式展示，但在計算和存儲的時候則是以補碼的形式。

• 對于正數(shù)來說，它的原碼、反碼、補碼是相同的。
• 對于負數(shù)來說，它的反碼等于原碼的符號位不變、其它位取反（1 變 0，0 變 1），而補碼則等于反碼加 1。當然這是基于原碼求補碼，反過來也是一樣。反碼也等于補碼的符號位不變、其它位取反，然后再加 1 得到原碼，過程是一樣的。
  

我們舉個例子，假設兩個八位整數(shù) 17 和 -5 相加。

圖片

因此 00001100 就是兩個整數(shù)的補碼相加之后的結果，也就是 12，由于是正數(shù)，它的原碼和反碼也是 12。

再舉個例子，假設兩個八位整數(shù) -17 和 5 相加。

圖片

相信你應該明白整個邏輯了，計算機在存儲整數(shù)時會以補碼存儲，運算也是以補碼的形式，但展示則是以原碼的形式。我們以 C 語言為例，來直觀感受一下這個過程。

#include <stdio.h>

int main(int argc, char const *argv[]) {   
    // 對于有符號整數(shù)來說，最高位表示符號位
    // 但對于無符號整數(shù)來說，所有的位都是有效位
    // 所以無符號八位整數(shù)的范圍是 0 ~ 255
    // 147 的二進制為 0b10010011
    unsigned char num = 147;
    // 由于是正數(shù)，所以原碼、反碼、補碼都是 0b10010011
    printf("%hhu\n", num);  // 147
    // 但 C 語言不看你怎么存，就看你怎么讀
    // 如果以 %hhd 來讀取的話，那么會以有符號的格式打印八位整數(shù)
    // 此時 10010011 開頭的 1 就變成了符號位
    // 而計算機存儲的 10010011 是補碼，展示的時候要轉成原碼
    // 反碼：補碼符號位不變，其它位取反，等于 11101100
    // 原碼：反碼加 1，等于 11101101，轉成十進制打印就是 -109
    printf("%hhd\n", num);  // -109
    return 0;
}

我們再舉個例子：

#include <stdio.h>

int main(int argc, char const *argv[]) {   
    // 八位有符號整數(shù) -1 的原碼是 1000_0001
    // 反碼是 1111_1110，補碼是 1111_1111
    // 所以計算機在存儲 -1 的時候，存的就是二進制的 11111111
    char num = -1;
    // 但我們以無符號形式打印，那么 11111111 就全部都是有效位
    printf("%hhu\n", num);  // 255
    printf("%hhu\n", 0b11111111);  // 255

    // 再比如我們使用 16 位整數(shù)，原碼是 10000000_00000001
    // 那么補碼就是 11111111_11111111
    // 如果以無符號格式打印，結果顯然是 65535
    short num2 = -1;
    printf("%hu\n", num2);  // 65535
    printf("%hu\n", 0b1111111111111111);  // 65535

    // 32 位整數(shù)也是如此
    int num3 = -1;
    // 2 的 32 次方減 1，結果是 4294967295
    printf("%u\n", num3);  // 4294967295
    return 0;
}

總結，對于一個有符號整數(shù)來說：

• 如果是正數(shù)（符號位是 0），它的原碼、反碼、補碼是一致的。
• 如果是負數(shù)（符號位是 1），反碼等于原碼的符號位不變、其它位取反，補碼等于反碼加 1；或者反碼等于補碼的符號位不變、其它位取反，原碼等于反碼加 1。
  
  

計算機存儲和運算使用的都是補碼，但展示的是原碼。

現(xiàn)在回到開頭的問題了，-1155459666 是怎么變成 3139507630 的。

圖片

還是那句話，不看你怎么存，就看你怎么讀，反正存儲的就是這一坨二進制。如果以有符號格式讀取，最高位是符號位，結果就是 -1155459666；以無符號格式讀取，最高位也是有效位，結果就是 3139507630。

from ctypes import c_int, c_uint

print(c_int(-1155459666).value)
"""
-1155459666
"""
print(c_uint(-1155459666).value)
"""
3139507630
"""
print(0b10111011_00100001_00010101_10101110)
"""
3139507630
"""

那么問題來了，為什么要整出補碼這個東西出來呢？很好理解，有了補碼，加法和減法可以共用一套邏輯，無論是 a + b 還是 a - b，底層的運算邏輯是相同的。

最后再來解釋一下，為什么有符號八位整數(shù)的最大值是 127，最小值是 -128。

圖片

兩個整數(shù) a 和 b，首先 a 的值肯定是 0，但問題是 b 的值是多少？難道是 -0 嗎？如果不考慮 0，那么有符號八位整數(shù)能表達的正數(shù)范圍是 1 ~ 127，負數(shù)范圍是 -1 ~ -127，然后還剩下兩個 0。于是讓 00000000 表示 0，讓 10000000 表示 -128。

圖片

不管是多少位的有符號整數(shù)，它的最小值的絕對值一定比最大值多 1，因此八位整數(shù)的最小值是 -128，最大值是 127。

事實上 10000000 表示 -128 有些人為規(guī)定的意思，但它確保了數(shù)字范圍的對稱性，并允許有效地利用二進制位來表達整數(shù)。

以上就是整數(shù)在底層的存儲方式，以及原碼、反碼、補碼之間的關系。