大模型做奧賽題游刃有余，簡單的數(shù)數(shù)卻屢屢翻車的原因找到了。

谷歌的一項新研究，發(fā)現(xiàn)大模型不會數(shù)數(shù)的原因，并不是簡單的tokenizer所致，而是沒有足夠的空間來存儲用于計數(shù)的向量。

數(shù)出一段話中某個單詞出現(xiàn)的次數(shù)，這樣簡單的任務(wù)可以難倒許多大模型，GPT-4o、Claude 3.5也無法幸免。

如果再進(jìn)一步，想要找到出現(xiàn)頻率最高的一個詞，更是難如登天，即便能蒙對給出的具體數(shù)量也是錯的。

有人認(rèn)為是詞匯的token化導(dǎo)致了大模型看到的“詞”和我們的看法不一致，但論文表明，實(shí)際情況并不是這么簡單。

想數(shù)清單詞，嵌入維度要夠大

Transformer的計數(shù)能力與其嵌入維度d和詞匯量m（指詞匯表中詞的數(shù)量，非序列長度）的關(guān)系密切相關(guān)。

詳細(xì)的原因，就涉及到了Transformer統(tǒng)計詞頻時的機(jī)制。

Transformer通過一種特殊的嵌入方式，利用嵌入空間的線性結(jié)構(gòu)，巧妙地將計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了向量加法。

具體說是將每個詞映射到一個獨(dú)特的正交向量上，在這種表示下，詞頻可以通過對這些正交向量求和來簡單地計算。

然而，這種機(jī)制的局限性在于，它要求詞匯表中的每個詞都有一個獨(dú)立的正交向量表示，因此嵌入維度必須大于詞匯量。

嵌入維度不足時，詞向量就無法保持正交性，詞頻的線性疊加也就無法實(shí)現(xiàn)了。

此時Transformer要實(shí)現(xiàn)計數(shù)，可以通過注意力機(jī)制（CountAttend）來實(shí)現(xiàn)，但需要一個隨序列長度n線性增長的大型“逆轉(zhuǎn)MLP”層。

具體來說，模型首先通過注意力賦予被查詢詞較大的權(quán)重，再利用位置編碼將注意力權(quán)重提取到值向量的最后一個元素，這個元素實(shí)際記錄了被查詢詞的出現(xiàn)頻率的倒數(shù)。

這意味著，模型需要一個大小為O(n)的MLP層來計算1/x函數(shù)（x為某個詞出現(xiàn)的次數(shù)）。

但進(jìn)一步分析表明，任何常數(shù)層ReLU網(wǎng)絡(luò)都無法在o(n)的神經(jīng)元數(shù)量下逼近1/x函數(shù)。

因此，對于固定規(guī)模的Transformer，這種方案無法推廣到任意長度的序列。當(dāng)序列長度超出訓(xùn)練集長度時，模型的計數(shù)能力會急劇惡化。

長度非主要因素，詞匯表中數(shù)量是關(guān)鍵

為了驗證這一結(jié)論，作者一共進(jìn)行了兩個實(shí)驗。

第一個實(shí)驗，是在一個從頭開始訓(xùn)練的Transformer模型上進(jìn)行的，具體有關(guān)參數(shù)如下：

• 使用一個由兩個Transformer層、四個注意力頭組成的標(biāo)準(zhǔn)模型；
• 嵌入維度d的取值范圍為8到128；
• 對每個固定的d，詞匯量m從5到150變化，分別測試20個不同的值；
• 模型使用Adam優(yōu)化器從零開始訓(xùn)練，批量大小為16，學(xué)習(xí)率為10^-4，訓(xùn)練10萬步。

訓(xùn)練和評測數(shù)據(jù)通過隨機(jī)采樣生成。首先從大小為m的詞匯表中均勻采樣n個詞，構(gòu)成一個長度為n的序列。

序列長度n設(shè)置為n=10m，平均每個詞出現(xiàn)的次數(shù)固定為10次，一共使用了1600個樣本進(jìn)行測試。

作者發(fā)現(xiàn)，隨著詞匯量的增加，模型的計數(shù)準(zhǔn)確率呈階梯狀下降，臨界點(diǎn)恰好出現(xiàn)在詞匯量超過嵌入維度的時刻。

為了進(jìn)一步量化模型的計數(shù)能力，作者定義了一個指標(biāo)m_thr，表示模型的計數(shù)準(zhǔn)確率下降到80%時的臨界詞匯量。

直觀地說，m_thr反映了在給定嵌入維度下，模型可以“承受”的最大詞匯量，m_thr越大說明模型的計數(shù)能力越強(qiáng)。

結(jié)果顯示，對于計數(shù)（QC）和找出最高頻詞（MFC）的任務(wù)，m_thr都隨嵌入維度d的增大而近似線性增長。

第二個實(shí)驗則是在預(yù)訓(xùn)練的Gemini 1.5模型上開展，在這個實(shí)驗中，作者更關(guān)注詞匯量對計數(shù)能力的影響。

他們設(shè)計了一系列計數(shù)任務(wù)，每個任務(wù)使用不同大小的詞匯表，并把每個詞在序列中出現(xiàn)的平均次數(shù)固定。

這意味著，在實(shí)驗組當(dāng)中，詞匯量越大，序列長度也就越長。

作為對照，作者還設(shè)置了一個“Binary Baseline”，詞匯表中只有固定為兩個詞，但序列長度與主實(shí)驗組相同。

這樣一來，就可以判斷出帶來模型計數(shù)誤差的究竟是詞匯量還是序列長度。

實(shí)驗結(jié)果顯示，隨著詞匯量的增加，Gemini 1.5在計數(shù)任務(wù)上的平均絕對誤差顯著上升，而“Binary Baseline”的誤差要低得多。

這表明，詞匯量的增加，而非序列長度的增長，是導(dǎo)致大模型計數(shù)能力下降的主要原因。

不過作者也表示，雖然這項研究一定程度上劃定了大模型計數(shù)能力的上下界，但這些界限還不夠緊致，距離理想的結(jié)果還有一定差距。

同時，作者也沒有探究增加Transformer的層數(shù)是否會改變這一結(jié)論，需要未來開發(fā)新的技術(shù)工具才能進(jìn)一步驗證。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2407.15160