在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中,選擇合適的先驗(yàn)分布是一個(gè)關(guān)鍵步驟。本文將詳細(xì)介紹三種主要的先驗(yàn)分布選擇方法:

1. 經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法
2. 信息先驗(yàn)
3. 無(wú)信息/弱信息先驗(yàn)

經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法

經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法是一種最大似然估計(jì)(MLE)方法,通過(guò)最大化先驗(yàn)分布下數(shù)據(jù)的邊際似然來(lái)估計(jì)先驗(yàn)分布的參數(shù)。設(shè)X表示數(shù)據(jù),θ表示參數(shù),則經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)可表示為:

θ = argmax P(X|θ)

信息先驗(yàn)

信息先驗(yàn)是一種基于先前知識(shí)或以前研究結(jié)果,納入了關(guān)于估計(jì)參數(shù)信息或信念的先驗(yàn)分布。信息先驗(yàn)有以下幾個(gè)關(guān)鍵特點(diǎn):

1. 在樣本量小或數(shù)據(jù)有噪聲的情況下,信息先驗(yàn)可以導(dǎo)致更有效和準(zhǔn)確的推斷。
2. 通過(guò)對(duì)先驗(yàn)信息賦予更大的權(quán)重,信息先驗(yàn)可以幫助正則化估計(jì)并避免過(guò)擬合。
3. 信息先驗(yàn)有助于將特定領(lǐng)域的知識(shí)或假設(shè)納入模型,例如對(duì)參數(shù)值的約束或參數(shù)之間的關(guān)系。

以下是一些常見的信息先驗(yàn)及其特點(diǎn):

1. Beta先驗(yàn)

Beta先驗(yàn)的概率密度函數(shù)(PDF)由下式給出:

• Beta分布通常用作二項(xiàng)式或伯努利模型中概率參數(shù)的先驗(yàn)。
• 可以選擇參數(shù)α和β來(lái)反映關(guān)于概率的先驗(yàn)知識(shí)或信念。例如,我們認(rèn)為概率接近0.5,可以選擇α=β=1的Beta先驗(yàn),對(duì)應(yīng)于[0,1]上的均勻分布。如果我們認(rèn)為概率更可能接近0或1,可以選擇較大α和β值的Beta先驗(yàn),給極端值賦予更大的權(quán)重。
• 當(dāng)我們對(duì)概率有一些先驗(yàn)知識(shí)或信念,或者想要對(duì)概率的可能值施加約束時(shí),首選Beta先驗(yàn)。

2. 高斯先驗(yàn)

• 高斯分布或正態(tài)分布是連續(xù)參數(shù)先驗(yàn)的常見選擇。
• 先驗(yàn)的均值和方差可以選擇反映關(guān)于參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)或信念。例如,如果我們認(rèn)為參數(shù)接近某個(gè)值,可以選擇均值等于該值且方差較小的高斯先驗(yàn)。
• 當(dāng)我們對(duì)參數(shù)的分布有一些先驗(yàn)知識(shí)或信念,或者想要正則化估計(jì)并避免過(guò)擬合時(shí),首選高斯先驗(yàn)。

3. 狄利克雷先驗(yàn)

• 狄利克雷分布通常用作多項(xiàng)式或分類模型中概率參數(shù)的先驗(yàn)。
• 可以選擇參數(shù)αi來(lái)反映關(guān)于每個(gè)類別相對(duì)頻率的先驗(yàn)知識(shí)或信念。例如,如果我們認(rèn)為某些類別比其他類別更可能,可以為這些類別選擇較大αi值的狄利克雷先驗(yàn)。
• 當(dāng)我們對(duì)類別的相對(duì)頻率有一些先驗(yàn)知識(shí)或信念,或者想要對(duì)概率的可能組合施加約束時(shí),首選狄利克雷先驗(yàn)。

4. 指數(shù)先驗(yàn)

• 指數(shù)分布通常用作表示速率或時(shí)間參數(shù)的先驗(yàn)。
• 可以選擇參數(shù)λ來(lái)反映關(guān)于速率或時(shí)間尺度的先驗(yàn)知識(shí)或信念。例如,如果我們認(rèn)為速率較低,可以選擇較大λ值的指數(shù)先驗(yàn)。
• 當(dāng)我們對(duì)速率或時(shí)間尺度有一些先驗(yàn)知識(shí)或信念,或者想要正則化估計(jì)并避免過(guò)擬合時(shí),首選指數(shù)先驗(yàn)。

5. Gamma先驗(yàn)

• Gamma分布是指數(shù)分布的推廣,可以用作表示速率或時(shí)間參數(shù)的先驗(yàn)。
• 可以選擇參數(shù)α和β來(lái)反映關(guān)于速率或時(shí)間尺度的先驗(yàn)知識(shí)或信念。
• 當(dāng)我們對(duì)速率或時(shí)間尺度的分布有一些先驗(yàn)知識(shí)或信念,或者想要正則化估計(jì)并避免過(guò)擬合時(shí),首選Gamma先驗(yàn)。

無(wú)信息/弱信息先驗(yàn)

當(dāng)我們對(duì)數(shù)據(jù)沒有先驗(yàn)知識(shí)時(shí),可以在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中為方程的系數(shù)選擇無(wú)信息或弱信息先驗(yàn)分布。無(wú)信息先驗(yàn)不傳達(dá)關(guān)于參數(shù)值的任何強(qiáng)先驗(yàn)信念或假設(shè),而弱信息先驗(yàn)傳達(dá)關(guān)于參數(shù)值的一些弱先驗(yàn)信念或假設(shè)。

以下是一些可用于貝葉斯線性回歸模型中系數(shù)的無(wú)信息先驗(yàn):

無(wú)信息先驗(yàn)

1. 平坦/均勻先驗(yàn)

平坦/均勻先驗(yàn)為參數(shù)的所有可能值分配相等的概率,例如在廣泛的值范圍內(nèi)的均勻分布。其概率密度函數(shù)為:

U(a, b), 其中a和b是分布的下限和上限。

2. 具有大方差的正態(tài)先驗(yàn)

具有大方差的正態(tài)先驗(yàn)假設(shè)參數(shù)在0附近正態(tài)分布,方差很大,表明我們對(duì)參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)很少。例如,均值為0,方差為100的正態(tài)先驗(yàn),表示為:

N(0, σ2), 其中σ2是一個(gè)大值。

3. 柯西先驗(yàn)

柯西先驗(yàn)是一種重尾分布,為參數(shù)的所有可能值分配相等的概率,但與正態(tài)先驗(yàn)相比,它在極端值上放置更多的概率質(zhì)量。當(dāng)數(shù)據(jù)稀疏或包含異常值時(shí),柯西先驗(yàn)可能很有用。其概率密度函數(shù)為:

Cauchy(0, τ), 其中位置參數(shù)為0,比例參數(shù)為τ。

4. Jeffrey先驗(yàn)

Jeffrey先驗(yàn)是一種無(wú)信息先驗(yàn),與Fisher信息的平方根成正比,Fisher信息是數(shù)據(jù)中關(guān)于參數(shù)信息量的度量。該先驗(yàn)在重新參數(shù)化下是不變的,并具有一些理想的數(shù)學(xué)性質(zhì)。由于Fisher信息完全由數(shù)據(jù)確定,不包含任何主觀或先驗(yàn)關(guān)于數(shù)據(jù)的信念,因此Jeffrey先驗(yàn)是無(wú)信息的。其概率密度函數(shù)為:

p(θ) ∝ √I(θ), 其中I(θ)是Fisher信息。

弱信息先驗(yàn)

1. 小方差的正態(tài)先驗(yàn)

小方差的正態(tài)先驗(yàn)假設(shè)參數(shù)在0附近正態(tài)分布,方差很小,表明我們對(duì)參數(shù)有一些弱先驗(yàn)知識(shí)。例如,均值為0,方差為1的正態(tài)先驗(yàn),表示為:

N(0, σ2), 其中σ2是一個(gè)小值。

2. Student's t先驗(yàn)

在樣本量小且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下,可以使用Student's t先驗(yàn)。它與正態(tài)先驗(yàn)類似,但具有更重的尾部,允許更極端的值。當(dāng)數(shù)據(jù)有噪聲或有異常值時(shí),Student's t先驗(yàn)可能很有用。其概率密度函數(shù)為:

t(0, σ, ν), 其中位置參數(shù)為0,比例參數(shù)為σ,自由度為ν。

3. 拉普拉斯先驗(yàn)

拉普拉斯先驗(yàn)的概率密度函數(shù)與exp(-λ|θ|)成正比,其中λ是控制先驗(yàn)強(qiáng)度的超參數(shù)。拉普拉斯先驗(yàn)通過(guò)為接近0的θ值分配更多的概率質(zhì)量來(lái)鼓勵(lì)稀疏解。其概率密度函數(shù)為:

Laplace(0, λ), 其中位置參數(shù)為0,比例參數(shù)為λ。

值得注意的是,先驗(yàn)的選擇取決于具體問題以及我們對(duì)參數(shù)擁有的先驗(yàn)知識(shí)量。在實(shí)踐中,通常使用無(wú)信息先驗(yàn)和弱信息先驗(yàn)的組合,并評(píng)估結(jié)果對(duì)先驗(yàn)選擇的敏感性。

總結(jié)

本文詳細(xì)介紹了貝葉斯統(tǒng)計(jì)中三種常見的先驗(yàn)分布選擇方法:經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法、信息先驗(yàn)和無(wú)信息/弱信息先驗(yàn)。

經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法通過(guò)最大化先驗(yàn)分布下數(shù)據(jù)的邊際似然來(lái)估計(jì)先驗(yàn)分布的參數(shù)。信息先驗(yàn)根據(jù)先前知識(shí)或研究結(jié)果,納入了關(guān)于估計(jì)參數(shù)的信息或信念。常見的信息先驗(yàn)包括Beta先驗(yàn)、高斯先驗(yàn)、狄利克雷先驗(yàn)、指數(shù)先驗(yàn)和Gamma先驗(yàn)。在樣本量小、數(shù)據(jù)有噪聲或需要納入領(lǐng)域知識(shí)時(shí),信息先驗(yàn)特別有用。

無(wú)信息先驗(yàn)和弱信息先驗(yàn)適用于缺乏先驗(yàn)知識(shí)的情況。無(wú)信息先驗(yàn)不傳達(dá)關(guān)于參數(shù)值的任何強(qiáng)先驗(yàn)信念或假設(shè),常見的無(wú)信息先驗(yàn)包括平坦/均勻先驗(yàn)、具有大方差的正態(tài)先驗(yàn)、柯西先驗(yàn)和Jeffrey先驗(yàn)。弱信息先驗(yàn)傳達(dá)關(guān)于參數(shù)值的一些弱先驗(yàn)信念或假設(shè),如小方差的正態(tài)先驗(yàn)、Student's t先驗(yàn)和拉普拉斯先驗(yàn)。

在實(shí)踐中,先驗(yàn)的選擇取決于具體問題和已有的先驗(yàn)知識(shí)量。通常使用無(wú)信息先驗(yàn)和弱信息先驗(yàn)的組合,并評(píng)估結(jié)果對(duì)先驗(yàn)選擇的敏感性。合理的先驗(yàn)分布選擇可以提高貝葉斯推斷的效率和準(zhǔn)確性,幫助我們更好地利用先驗(yàn)知識(shí)和數(shù)據(jù),從而得到可靠的估計(jì)和預(yù)測(cè)結(jié)果。