3名高中生，只用課余時(shí)間，重新證明了100年前的數(shù)學(xué)定理。

不只是圓，你可以在門格海綿（Menger Sponge）中找到任何一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)（knot）！

你可能對(duì)門格海綿還比較陌生，它是Karl Menger（卡爾·門格爾）在1926年創(chuàng)建的一個(gè)非常有趣的概念，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)、圖形學(xué)等領(lǐng)域都很重要。

這個(gè)分形海綿在一百年間吸引了無數(shù)專業(yè)和業(yè)余數(shù)學(xué)家，原因也很簡單：它看起來太有趣了。

2014年，數(shù)百名數(shù)學(xué)愛好者還參與了一個(gè)名為MegaMenger的全球行動(dòng)，用名片制作出了重達(dá)200磅的新版本門格海綿。

由于它有多孔、泡沫狀的結(jié)構(gòu)，還經(jīng)常被用來模擬減震器和特殊的空間-時(shí)間形式。

它的結(jié)構(gòu)非常優(yōu)雅。我們可以從一個(gè)立方體出發(fā)，首先移除位于其中心以及六個(gè)面中心的立方體。然后對(duì)剩下的 20 個(gè)立方體重復(fù)此過程。

在每次迭代中，它的間隙會(huì)呈指數(shù)級(jí)增加，最終結(jié)構(gòu)非常類似我們常見的“海綿”，這也是它名字的由來。

門格海綿也有著非常特別的數(shù)學(xué)性質(zhì)：隨著迭代，立方體的形狀體積會(huì)減少到零，而表面積無限增大。

Menger在1926年提出這個(gè)概念時(shí)，就證明了任何能想象出來的曲線——簡單的線條和圓形，看起來像樹或雪花的結(jié)構(gòu)——都可以變形然后嵌入海綿的某個(gè)地方，也就是說這種海綿是一種“通用曲線”。

而今天的主角，來自加拿大的3名高中生，跟隨當(dāng)時(shí)還在就讀多倫多大學(xué)研究生的Malors Espinosa(馬洛斯·埃斯皮諾薩)，進(jìn)一步擴(kuò)展了這個(gè)定理的證明。

而且他們還發(fā)現(xiàn)，三葉結(jié)所屬類 “普雷策爾結(jié)（pretzel knot）”也都可以映射到四面體版本的門格海綿中。

北卡羅來納州立大學(xué)的拓?fù)鋵W(xué)家Radmila Sazdanovic也評(píng)論說，“這是一種非常巧妙的證明方法?！?/p>

這到底是怎么做到的呢？

用弧形圖與康托爾集表示結(jié)

Malors在閱讀了相關(guān)證明后意識(shí)到，Menger已經(jīng)證明可以在他的海綿中找到任意一個(gè)圓。

那么，如果是另外一種類似于“圓”的形狀，這個(gè)定理還能成立嗎？

比如一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)結(jié)：將一條繩子扭曲并打結(jié)，然后將其兩端封閉形成一個(gè)環(huán)。此時(shí)，如果讓一只螞蟻沿著它行走，最終它會(huì)回到起點(diǎn)，就像在圓上一樣。

這樣一來，每個(gè)結(jié)都與圓等價(jià)，或者說“同胚（homeomorphic）”于圓。

Malors從這個(gè)想法中得到了靈感，他決定從自己授課的高中里找一些學(xué)生來證明：門格海綿中可以找到任何一個(gè)結(jié)。

后來，三名高中生——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth真的做到了！

在參加這個(gè)證明活動(dòng)之前，三位學(xué)生從來沒有做過這種“沒有答案”的題目，但這群14歲的少年都非常激動(dòng)。

他們的目標(biāo)類似于用一根微型針穿過一團(tuán)灰塵，也就是海綿經(jīng)過多次移除后剩下的部分。

他們必須將針插在正確的位置，精確無誤地打結(jié)，而且不能離開海綿。如果他們的線因?yàn)槿魏我粋€(gè)結(jié)而漂浮在海綿的縫隙中，那就失敗了。

雖然這看起來非常困難，但有一種簡化的方法。繩結(jié)可以表示為一張平面上的特殊圖表，稱為弧表示（arc presentations）。

要繪制弧表示圖，首先要了解結(jié)的各股是如何前后移動(dòng)的。然后，運(yùn)用一套規(guī)則將這些信息轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格上的一系列點(diǎn)。網(wǎng)格的每一行和每一列都將包含兩個(gè)點(diǎn)。

用水平和垂直線連接這些點(diǎn)。每當(dāng)兩個(gè)線段交叉時(shí)，將垂直線畫在水平線之上。

每個(gè)結(jié)都可以用這種網(wǎng)格狀的方式表示。雖然弧表示法有時(shí)看起來比其他的繪制方法更復(fù)雜，但它可以讓數(shù)學(xué)家更容易研究結(jié)的一些重要性質(zhì)。

當(dāng)學(xué)生們看到縱橫交錯(cuò)的線條圖時(shí)，他們聯(lián)想起了門格海綿的面。

你可以非常簡單地把弧線的水平線放在海綿的一個(gè)面上，把垂直線放在海綿的另一個(gè)面上。

難點(diǎn)在于如何將結(jié)拉伸回三維空間。在弧線的每一個(gè)轉(zhuǎn)角處，都需要通過海綿的內(nèi)部將兩個(gè)面連接起來，避免碰到洞。

為了確保這一點(diǎn)，他們想到了康托爾集（the Cantor set），它是門格海綿的一維模擬。

要構(gòu)建這個(gè)集合，首先要從一條線段開始，把它分成三份。去掉中間的三分之一，然后對(duì)剩下的兩段做同樣的處理，以此類推，無窮無盡。最后剩下的就是零散的點(diǎn)了。

研究小組的證明同時(shí)利用了門格海綿和康托爾集，它們有相同數(shù)量的移除步驟。

他們發(fā)現(xiàn)，海綿面上坐標(biāo)都在康托爾集中的點(diǎn)不應(yīng)該有洞。而且，由于海綿的重復(fù)設(shè)計(jì)，在這些點(diǎn)的正后方也不應(yīng)該有洞。因此，結(jié)可以自由、清晰地穿過海綿，而不會(huì)不小心跳出海綿的材料。

接下來，學(xué)生們要做的就是證明他們可以壓縮或拉伸任意繩結(jié)的弧線表示，使其所有角都與康托爾集中的坐標(biāo)對(duì)齊。(這種壓縮和拉伸是可行的，因?yàn)樗粫?huì)影響弧線的整體結(jié)構(gòu)，因此也不會(huì)影響它所代表的繩結(jié)）。

為了完成這最后一步，3位同學(xué)走了一條捷徑。

他們證明，他們可以對(duì)任何弧線進(jìn)行變形，使其垂直線段和水平線段的交叉點(diǎn)都在康托爾集中。這就自動(dòng)保證了更多的角也會(huì)與康托爾集對(duì)齊。

換句話說，他們總能將給定的結(jié)嵌入門格爾海綿的某個(gè)迭代中。

這就已經(jīng)完成了Malors最初的證明。不過，他們還想進(jìn)一步推進(jìn)這個(gè)研究：是否所有的結(jié)也可以嵌入門格海綿的四面體版本中？

對(duì)于學(xué)生們的想要在四面體中尋找三葉結(jié)的想法，Malors起初堅(jiān)信是不可能的。

但幾周后，學(xué)生們真的做到了：他們找到了一種新方法，可以將三葉結(jié)的弧表示映射到四面體中。

他們后來證明，這種方法適用于三葉結(jié)所屬的更廣泛的結(jié)類 “普雷策爾結(jié)（pretzel knot）”。

不過目前對(duì)于其他類型的結(jié)的證明還沒能完成。

One More Thing

Malors表示，這次證明過程，讓學(xué)生們真正體會(huì)到了數(shù)學(xué)研究的痛苦。

不同于高中數(shù)學(xué)題目中總是會(huì)給出確定的答案，真正的數(shù)學(xué)研究中，很大一部分時(shí)間都是在有希望的失敗中掙扎。

Malors認(rèn)為學(xué)生們的證明方法可能為更廣泛地測量分形的復(fù)雜性提供了一種新思路。

并非所有的分形都能保證容納所有類型的結(jié)。也許可以根據(jù)它們能容納和不能容納哪些類型的結(jié)來更好地理解它們的結(jié)構(gòu)。

至少，這件作品可以激發(fā)新的藝術(shù)靈感，類似于2014年的MegaMenger大賽等等。

在證明期間，3位同學(xué)都已高中畢業(yè)。只有Broden決定在大學(xué)課業(yè)不忙的時(shí)候繼續(xù)研究四面體問題，但三人也都在考慮從事數(shù)學(xué)職業(yè)。

另一個(gè)同學(xué)Nazareth也表示：”我正在努力為更大的事業(yè)，為真理的本質(zhì)做出貢獻(xiàn)，這感覺很有意義。