機器學習方法之決策樹建模
決策樹是一種簡單的機器學習方法。決策樹經(jīng)過訓練之后，看起來像是以樹狀形式排列的一系列if-then語句。一旦我們有了決策樹，只要沿著樹的路徑一直向下，正確回答每一個問題，最終就會得到答案。沿著最終的葉節(jié)點向上回溯，就會得到一個有關最終分類結果的推理過程。
決策樹：
- class decisionnode:
- def __init__(self,col=-1,value=None,results=None,tb=None,fb=None):
- self.col=col #待檢驗的判斷條件
- self.value=value #對應于為了使結果為true，當前列必須匹配的值
- self.results=results #針對當前分支的結果
- self.tb=tb #結果為true時，樹上相對于當前節(jié)點的子樹上的節(jié)點
- self.fb=fb #結果為false時，樹上相對于當前節(jié)點的子樹上的節(jié)點
下面利用分類回歸樹的算法。為了構造決策樹，算法首先創(chuàng)建一個根節(jié)點，然后評估表中的所有觀測變量，從中選出最合適的變量對數(shù)據(jù)進行拆分。為了選擇合適的變量，我們需要一種方法來衡量數(shù)據(jù)集合中各種因素的混合情況。對于混雜程度的測度，有幾種度量方式可供選擇：
基尼不純度：將來自集合中的某種結果隨機應用于集合中某一數(shù)據(jù)項的預期誤差率。
維基上的公式是這樣：
下面是《集體智慧編程》中的python實現(xiàn)：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 |
def uniquecounts(rows): results={} for row in rows: # The result is the last column r=row[len(row)-1] if r not in results: results[r]=0 results[r]+=1 return results
def giniimpurity(rows): total=len(rows) counts=uniquecounts(rows) imp=0 for k1 in counts: p1=float(counts[k1])/total #imp+=p1*p1 for k2 in counts: if k1==k2: continue p2=float(counts[k2])/total imp+=p1*p2 return imp#1-imp |
每一結果出現(xiàn)次數(shù)除以集合總行數(shù)來計算相應概率，然后把所有這些概率值的乘積累加起來。這樣得到某一行數(shù)據(jù)被隨機分配到錯誤結果的總概率。（顯然直接按照公式的算法（注釋中）效率更高。）這一概率越高，說明對數(shù)據(jù)的拆分越不理想。
熵：代表集合的無序程度。信息論熵的概念在吳軍的《數(shù)學之美》中有很好的解釋：
我們來看一個例子，馬上要舉行世界杯賽了。大家都很關心誰會是冠軍。假如我錯過了看世界杯，賽后我問一個知道比賽結果的觀 眾“哪支球隊是冠軍”？ 他不愿意直接告訴我， 而要讓我猜，并且我每猜一次，他要收一元錢才肯告訴我是否猜對了，那么我需要付給他多少錢才能知道誰是冠軍呢? 我可以把球隊編上號，從 1 到 32， 然后提問： “冠軍的球隊在 1-16 號中嗎?” 假如他告訴我猜對了， 我會接著問： “冠軍在 1-8 號中嗎?” 假如他告訴我猜錯了， 我自然知道冠軍隊在 9-16 中。 這樣只需要五次， 我就能知道哪支球隊是冠軍。所以，誰是世界杯冠軍這條消息的信息量只值五塊錢。 當然，香農(nóng)不是用錢，而是用 “比特”（bit）這個概念來度量信息量。 一個比特是一位二進制數(shù)，計算機中的一個字節(jié)是八個比特。在上面的例子中，這條消息的信息量是五比特。（如果有朝一日有六十四個隊進入決賽階段的比賽，那 么“誰世界杯冠軍”的信息量就是六比特，因為我們要多猜一次。） 讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn), 信息量的比特數(shù)和所有可能情況的對數(shù)函數(shù) log 有關。 (log32=5, log64=6。） 有些讀者此時可能會發(fā)現(xiàn)我們實際上可能不需要猜五次就能猜出誰是冠軍，因為象巴西、德國、意 大利這樣的球隊得冠軍的可能性比日本、美國、韓國等隊大的多。因此，我們第一次猜測時不需要把 32 個球隊等分成兩個組，而可以把少數(shù)幾個最可能的球隊分成一組，把其它隊分成另一組。然后我們猜冠軍球隊是否在那幾只熱門隊中。我們重復這樣的過程，根據(jù)奪 冠概率對剩下的候選球隊分組，直到找到冠軍隊。這樣，我們也許三次或四次就猜出結果。因此，當每個球隊奪冠的可能性（概率）不等時，“誰世界杯冠軍”的信 息量的信息量比五比特少。香農(nóng)指出，它的準確信息量應該是
= -（p1*log p1 + p2 * log p2 + ．．． ＋p32 *log p32)， 其 中，p1，p2 ， ．．．，p32 分別是這 32 個球隊奪冠的概率。香農(nóng)把它稱為“信息熵” (Entropy)，一般用符號 H 表示，單位是比特。有興趣的讀者可以推算一下當 32 個球隊奪冠概率相同時，對應的信息熵等于五比特。有數(shù)學基礎的讀者還可以證明上面公式的值不可能大于五。對于任意一個隨機變量 X（比如得冠軍的球隊），它的熵定義如下：
《集》中的實現(xiàn)：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
def entropy(rows): from math import log log2=lambda x:log(x)/log(2) results=uniquecounts(rows) # Now calculate the entropy ent=0.0 for r in results.keys(): p=float(results[r])/len(rows) ent=ent-p*log2(p) return ent |
熵和基尼不純度之間的主要區(qū)別在于，熵達到峰值的過程要相對慢一些。因此，熵對于混亂集合的判罰要更重一些。
我們的算法首先求出整個群組的熵，然后嘗試利用每個屬性的可能取值對群組進行拆分，并求出兩個新群組的熵。算法會計算相應的信息增益。信息增益是指當前熵與兩個新群組經(jīng)加權平均后的熵之間的差值。算法會對每個屬性計算相應的信息增益，然后從中選出信息增益最大的屬性。通過計算每個新生節(jié)點的最佳拆分屬性，對分支的拆分過程和樹的構造過程會不斷持續(xù)下去。當拆分某個節(jié)點所得的信息增益不大于0的時候，對分支的拆分才會停止：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
def buildtree(rows,scoref=entropy): if len(rows)==0: return decisionnode() current_score=scoref(rows)
# Set up some variables to track the best criteria best_gain=0.0 best_criteria=None best_sets=None
column_count=len(rows[0])-1 for col in range(0,column_count): # Generate the list of different values in # this column column_values={} for row in rows: column_values[row[col]]=1 # Now try dividing the rows up for each value # in this column for value in column_values.keys(): (set1,set2)=divideset(rows,col,value)
# Information gain p=float(len(set1))/len(rows) gain=current_score-p*scoref(set1)-(1-p)*scoref(set2) if gain>best_gain and len(set1)>0 and len(set2)>0: best_gain=gain best_criteria=(col,value) best_sets=(set1,set2) # Create the sub branches if best_gain>0: trueBranch=buildtree(best_sets[0]) falseBranch=buildtree(best_sets[1]) return decisionnode(col=best_criteria[0],value=best_criteria[1], tb=trueBranch,fb=falseBranch) else: return decisionnode(results=uniquecounts(rows)) |
函數(shù)首先接受一個由數(shù)據(jù)行構成的列表作為參數(shù)。它遍歷了數(shù)據(jù)集中的每一列，針對各列查找每一種可能的取值，并將數(shù)據(jù)集拆分成兩個新的子集。通過將每個子集的熵乘以子集中所含數(shù)據(jù)項在元數(shù)據(jù)集中所占的比重，函數(shù)求出了每一對新生子集的甲醛平均熵，并記錄下熵最低的那一對子集。如果由熵值最低的一對子集求得的加權平均熵比當前集合的當前集合的熵要大，則拆分結束了，針對各種可能結果的計數(shù)所得將會被保存起來。否則，算法會在新生成的子集繼續(xù)調用buildtree函數(shù)，并把調用所得的結果添加到樹上。我們把針對每個子集的調用結果，分別附加到節(jié)點的True分支和False分支上，最終整棵樹就這樣構造出來了。
我們可以把它打印出來：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
def printtree(tree,indent=''): # Is this a leaf node? if tree.results!=None: print str(tree.results) else: # Print the criteria print str(tree.col)+':'+str(tree.value)+'? '
# Print the branches print indent+'T->', printtree(tree.tb,indent+' ') print indent+'F->', printtree(tree.fb,indent+' ') |
現(xiàn)在到我們使用決策樹的時候了。接受新的觀測數(shù)據(jù)作為參數(shù)，然后根據(jù)決策樹對其分類：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
def classify(observation,tree): if tree.results!=None: return tree.results else: v=observation[tree.col] branch=None if isinstance(v,int) or isinstance(v,float): if v>=tree.value: branch=tree.tb else: branch=tree.fb else: if v==tree.value: branch=tree.tb else: branch=tree.fb return classify(observation,branch) |
該函數(shù)采用與printtree相同的方式對樹進行遍歷。每次調用后，函數(shù)會根據(jù)調用結果來判斷是否到達分支的末端。如果尚未到達末端，它會對觀測數(shù)據(jù)評估，以確認列數(shù)據(jù)是否與參考值匹配。如果匹配，則會在True分支調用classify，不匹配則在False分支調用classify。
上面方法訓練決策樹會有一個問題：
過度擬合：它可能會變得過于針對訓練數(shù)據(jù)，其熵值與真實情況相比可能會有所降低。剪枝的過程就是對具有相同父節(jié)點的一組節(jié)點進行檢查，判斷如果將其合并，熵的增加量是否會小于某個指定的閾值。如果確實如此，則這些葉節(jié)點會被合并成一個單一的節(jié)點，合并后的新節(jié)點包含了所有可能的結果值。這種做法有助于過度避免過度擬合的情況，使得決策樹做出的預測結果，不至于比從數(shù)據(jù)集中得到的實際結論還要特殊：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
def prune(tree,mingain): # 如果分支不是葉節(jié)點，則對其進行剪枝操作 if tree.tb.results==None: prune(tree.tb,mingain) if tree.fb.results==None: prune(tree.fb,mingain)
# 如果兩個分支都是葉節(jié)點，則判斷它們是否需要合并 if tree.tb.results!=None and tree.fb.results!=None: # 構造合并后的數(shù)據(jù)集 tb,fb=[],[] for v,c in tree.tb.results.items(): tb+=[[v]]*c for v,c in tree.fb.results.items(): fb+=[[v]]*c
# 檢查熵的減少情況 delta=entropy(tb+fb)-(entropy(tb)+entropy(fb)/2)
if delta<mingain: # 合并分支 tree.tb,tree.fb=None,None tree.results=uniquecounts(tb+fb) |
當我們在根節(jié)點調用上述函數(shù)時，算法將沿著樹的所有路徑向下遍歷到只包含葉節(jié)點的節(jié)點處。函數(shù)會將兩個葉節(jié)點中的結果值合起來形成一個新的列表，同時還會對熵進行測試。如果熵的變化小于mingain參數(shù)指定的值，則葉節(jié)點也可能成為刪除對象，以及與其它節(jié)點的合并對象。
如果我們?nèi)笔Я四承?shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)是確定分支走向所必需的，那么我們可以選擇兩個分支都走。在一棵基本的決策樹中，所有節(jié)點都隱含有一個值為1的權重，即觀測數(shù)據(jù)項是否屬于某個特定分類的概率具有百分之百的影響。而如果要走多個分支的話，那么我們可以給每個分支賦以一個權重，其值等于所有位于該分支的其它數(shù)據(jù)行所占的比重：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
def mdclassify(observation,tree): if tree.results!=None: return tree.results else: v=observation[tree.col] if v==None: tr,fr=mdclassify(observation,tree.tb),mdclassify(observation,tree.fb) tcount=sum(tr.values()) fcount=sum(fr.values()) tw=float(tcount)/(tcount+fcount) fw=float(fcount)/(tcount+fcount) result={} for k,v in tr.items(): result[k]=v*tw for k,v in fr.items(): result[k]=v*fw return result else: if isinstance(v,int) or isinstance(v,float): if v>=tree.value: branch=tree.tb else: branch=tree.fb else: if v==tree.value: branch=tree.tb else: branch=tree.fb return mdclassify(observation,branch) |
mdclassify與classify相比，唯一的區(qū)別在于末尾處：如果發(fā)現(xiàn)有重要數(shù)據(jù)缺失，則每個分支的對應結果值都會被計算一遍，并且最終的結果值會乘以它們各自的權重。
對與數(shù)值型問題，我們可以使用方差作為評價函數(shù)來取代熵或基尼不純度。偏低的方差代表數(shù)字彼此都非常接近，而偏高的方差則意味著數(shù)字分散得很開。這樣，選擇節(jié)點判斷條件的依據(jù)就變成了拆分后令數(shù)字較大者位于樹的一側，數(shù)字較小者位于樹的另一側。
