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閑不多說(shuō)。接下來(lái)，咱們立刻進(jìn)入本文章的主題，排序算法。

眾所周知，快速排序算法是排序算法中的重頭戲。

因此，本文就從快速排序開始。

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一、快速排序算法的基本特性

時(shí)間復(fù)雜度：O（n*lgn）

最壞：O（n^2）

空間復(fù)雜度：O（n*lgn）

不穩(wěn)定。

快速排序是一種排序算法，對(duì)包含n個(gè)數(shù)的輸入數(shù)組，平均時(shí)間為O（nlgn），最壞情況是O（n^2）。

通常是用于排序的***選擇。因?yàn)?，基于比較的排序，最快也只能達(dá)到O（nlgn）。

二、快速排序算法的描述

算法導(dǎo)論，第7章

快速排序時(shí)基于分治模式處理的，

對(duì)一個(gè)典型子數(shù)組A[p...r]排序的分治過(guò)程為三個(gè)步驟：

1.分解：

A[p..r]被劃分為倆個(gè)（可能空）的子數(shù)組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，使得

A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]

2.解決：通過(guò)遞歸調(diào)用快速排序，對(duì)子數(shù)組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。

3.合并。

三、快速排序算法

版本一：

QUICKSORT(A, p, r)

 

if p < r 
   then q ← PARTITION(A, p, r)   //關(guān)鍵 
        QUICKSORT(A, p, q - 1) 
        QUICKSORT(A, q + 1, r) 

數(shù)組劃分

快速排序算法的關(guān)鍵是PARTITION過(guò)程，它對(duì)A[p..r]進(jìn)行就地重排：

 

PARTITION(A, p, r) 
  x ← A[r] 
  i ← p - 1 
  for j ← p to r - 1 
       do if A[j] ≤ x 
             then i ← i + 1 
                  exchange A[i] <-> A[j] 
  exchange A[i + 1] <-> A[r] 
  return i + 1 

ok，咱們來(lái)舉一個(gè)具體而完整的例子。

來(lái)對(duì)以下數(shù)組，進(jìn)行快速排序，

  2   8   7   1   3   5   6   4(主元)

一、

i p/j

  2   8   7   1   3   5   6   4(主元)

j指的2<=4，于是i++，i也指到2，2和2互換，原數(shù)組不變。

j后移，直到指向1..

二、

              j（指向1）<=4，于是i++

i指向了8，所以8與1交換。

數(shù)組變成了：

       i          j

  2   1   7   8   3   5   6   4

三、j后移，指向了3,3<=4，于是i++

i這是指向了7，于是7與3交換。

數(shù)組變成了：

             i         j

  2   1   3   8   7   5   6   4

四、j繼續(xù)后移，發(fā)現(xiàn)沒有再比4小的數(shù)，所以，執(zhí)行到了***一步，

即上述PARTITION(A, p, r)代碼部分的 第7行。

因此，i后移一個(gè)單位，指向了8

                 i               j

  2   1   3   8   7   5   6   4

A[i + 1] <-> A[r]，即8與4交換，所以，數(shù)組最終變成了如下形式，

  2   1   3   4   7   5   6   8

ok，快速排序***趟完成。

4把整個(gè)數(shù)組分成了倆部分，2 1 3,7 5 6 8，再遞歸對(duì)這倆部分分別快速排序。

i p/j

  2   1   3(主元)

2與2互換，不變，然后又是1與1互換，還是不變，***，3與3互換，不變，

最終，3把2 1 3，分成了倆部分，2 1，和3.

再對(duì)2 1，遞歸排序，最終結(jié)果成為了1 2 3.

7 5 6 8(主元)，7、5、6、都比8小，所以***趟，還是7 5 6 8，

不過(guò)，此刻8把7 5 6 8，分成了  7 5 6，和8.[7 5 6->5 7 6->5 6 7]

再對(duì)7 5 6，遞歸排序，最終結(jié)果變成5 6 7 8。

ok，所有過(guò)程，全部分析完成。

***，看下我畫的圖：

快速排序算法版本二

不過(guò)，這個(gè)版本不再選取（如上***版本的）數(shù)組的***一個(gè)元素為主元，

而是選擇，數(shù)組中的***個(gè)元素為主元。

 

/**************************************************/ 
/*  函數(shù)功能：快速排序算法                        */ 
/*  函數(shù)參數(shù)：結(jié)構(gòu)類型table的指針變量tab          */ 
/*            整型變量left和right左右邊界的下標(biāo)   */ 
/*  函數(shù)返回值：空                                */ 
/*  文件名：quicsort.c  函數(shù)名：quicksort ()      */ 
/**************************************************/ 
void quicksort(table *tab,int left,int right) 
{ 
  int i,j; 
  if(left<right) 
  { 
    i=left;j=right; 
    tab->r[0]=tab->r[i]; //準(zhǔn)備以本次最左邊的元素值為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，先保存其值 
    do 
    { 
      while(tab->r[j].key>tab->r[0].key&&i<j) 
        j--;        //從右向左找第1個(gè)小于標(biāo)準(zhǔn)值的位置j 
      if(i<j)                               //找到了，位置為j 
      { 
        tab->r[i].key=tab->r[j].key;i++; 
      }           //將第j個(gè)元素置于左端并重置i 
      while(tab->r[i].key<tab->r[0].key&&i<j) 
        i++;      //從左向右找第1個(gè)大于標(biāo)準(zhǔn)值的位置i 
      if(i<j)                       //找到了，位置為i 
      { 
        tab->r[j].key=tab->r[i].key;j--; 
      }           //將第i個(gè)元素置于右端并重置j 
    }while(i!=j); 
    tab->r[i]=tab->r[0];         //將標(biāo)準(zhǔn)值放入它的最終位置,本次劃分結(jié)束 
    quicksort(tab,left,i-1);     //對(duì)標(biāo)準(zhǔn)值左半部遞歸調(diào)用本函數(shù) 
    quicksort(tab,i+1,right);    //對(duì)標(biāo)準(zhǔn)值右半部遞歸調(diào)用本函數(shù) 
  } 
} 

----------------

ok，咱們，還是以上述相同的數(shù)組，應(yīng)用此快排算法的版本二，來(lái)演示此排序過(guò)程：

這次，以數(shù)組中的***個(gè)元素2為主元。

  2(主)  8  7  1  3  5  6  4

請(qǐng)細(xì)看：

  2  8  7  1  3  5  6  4

  i->                     <-j

   (找大)               (找小)

一、j

j找***個(gè)小于2的元素1,1賦給(覆蓋重置)i所指元素2

得到：

  1  8  7     3  5  6  4

      i       j     

二、i

i找到***個(gè)大于2的元素8,8賦給(覆蓋重置)j所指元素(NULL<-8)

  1     7  8  3  5  6  4

      i   <-j

三、j

j繼續(xù)左移，在與i碰頭之前，沒有找到比2小的元素，結(jié)束。

***，主元2補(bǔ)上。

***趟快排結(jié)束之后，數(shù)組變成：

  1  2  7  8  3  5  6  4

第二趟，

        7  8  3  5  6  4

        i->             <-j

         (找大)        (找小)

一、j

j找到4，比主元7小，4賦給7所處位置

得到：

        4  8  3  5  6  

        i->                j

二、i

i找比7大的***個(gè)元素8,8覆蓋j所指元素(NULL)

        4     3  5  6  8

            i          j

        4  6  3  5     8

            i->       j

                 i與j碰頭，結(jié)束。

第三趟：

        4  6  3  5  7  8

......

以下，分析原理，一致，略過(guò)。

***的結(jié)果，如下圖所示：

  1  2  3  4  5  6  7  8

相信，經(jīng)過(guò)以上內(nèi)容的具體分析，你一定明了了。

***，貼一下我畫的關(guān)于這個(gè)排序過(guò)程的圖： 

完。一月五日補(bǔ)充。

OK,上述倆種算法，明白一種即可。

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五、快速排序的最壞情況和最快情況。

最壞情況發(fā)生在劃分過(guò)程產(chǎn)生的倆個(gè)區(qū)域分別包含n-1個(gè)元素和一個(gè)0元素的時(shí)候，

即假設(shè)算法每一次遞歸調(diào)用過(guò)程中都出現(xiàn)了，這種劃分不對(duì)稱。那么劃分的代價(jià)為O（n），

因?yàn)閷?duì)一個(gè)大小為0的數(shù)組遞歸調(diào)用后，返回T（0）=O（1）。

估算法的運(yùn)行時(shí)間可以遞歸的表示為：

    T（n）=T（n-1）+T（0）+O（n)=T(n-1)+O(n).

可以證明為T（n）=O（n^2）。

因此，如果在算法的每一層遞歸上，劃分都是***程度不對(duì)稱的，那么算法的運(yùn)行時(shí)間就是O（n^2）。

亦即，快速排序算法的最壞情況并不比插入排序的更好。

此外，當(dāng)數(shù)組完全排好序之后，快速排序的運(yùn)行時(shí)間為O（n^2）。

而在同樣情況下，插入排序的運(yùn)行時(shí)間為O（n）。

//注，請(qǐng)注意理解這句話。我們說(shuō)一個(gè)排序的時(shí)間復(fù)雜度，是僅僅針對(duì)一個(gè)元素的。

//意思是，把一個(gè)元素進(jìn)行插入排序，即把它插入到有序的序列里，花的時(shí)間為n。

再來(lái)證明，最快情況下，即PARTITION可能做的最平衡的劃分中，得到的每個(gè)子問題都不能大于n/2.

因?yàn)槠渲幸粋€(gè)子問題的大小為|_n/2_|。另一個(gè)子問題的大小為|-n/2-|-1.

在這種情況下，快速排序的速度要快得多。為，

      T(n)<=2T（n/2）+O（n）.可以證得，T（n）=O（nlgn）。

直觀上，看，快速排序就是一顆遞歸數(shù)，其中，PARTITION總是產(chǎn)生9:1的劃分，

總的運(yùn)行時(shí)間為O（nlgn）。各結(jié)點(diǎn)中示出了子問題的規(guī)模。每一層的代價(jià)在右邊顯示。

每一層包含一個(gè)常數(shù)c。

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請(qǐng)各位自行，思考以下這個(gè)版本，對(duì)應(yīng)于上文哪個(gè)版本?

 

   HOARE-PARTITION(A, p, r) 
x ← A[p] 
i ← p - 1 
j ← r + 1 
while TRUE 
    do repeat j ← j - 1 
         until A[j] ≤ x 
       repeat i ← i + 1 
         until A[i] ≥ x 
       if i < j 
          then exchange A[i] ↔ A[j] 
          else return j 

我常常思考，為什么有的人當(dāng)時(shí)明明讀懂明白了一個(gè)算法，

而一段時(shí)間過(guò)后，它又對(duì)此算法完全陌生而不了解了列?

我想，究其根本，還是沒有徹底明白此快速排序算法的原理，與來(lái)龍去脈...

那作何改進(jìn)列，只能找發(fā)明那個(gè)算法的原作者了，從原作者身上，再多挖掘點(diǎn)有用的東西出來(lái)。

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***，再給出一個(gè)快速排序算法的簡(jiǎn)潔示例：

Quicksort函數(shù)

 

void quicksort(int l, int u) 
{   int i, m; 
    if (l >= u) return; 
    swap(l, randint(l, u)); 
    m = l; 
    for (i = l+1; i <= u; i++) 
        if (x[i] < x[l]) 
            swap(++m, i); 
    swap(l, m); 
    quicksort(l, m-1); 
    quicksort(m+1, u); 
} 

如果函數(shù)的調(diào)用形式是quicksort(0, n-1)，那么這段代碼將對(duì)一個(gè)全局?jǐn)?shù)組x[n]進(jìn)行排序。

函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)分別是將要進(jìn)行排序的子數(shù)組的下標(biāo)：l是較低的下標(biāo)，而u是較高的下標(biāo)。

函數(shù)調(diào)用swap(i,j)將會(huì)交換x[i]與x[j]這兩個(gè)元素。

***次交換操作將會(huì)按照均勻分布的方式在l和u之間隨機(jī)地選擇一個(gè)劃分元素。

作者：July