如何用TensorFlow生成令人驚艷的分形圖案
今天來介紹一個(gè)小項(xiàng)目：在TensorFlow中生成分形圖案。分形本身只是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，與機(jī)器學(xué)習(xí)并無太大關(guān)系，但是通過分形的生成，我們可以了解怎么在TensorFlow中進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，以及如何進(jìn)行基本的流程控制，是學(xué)習(xí)TensorFlow的一個(gè)非常好的練手項(xiàng)目。
在開始之前，需要說明的是，TensorFlow官方也提供了一個(gè)生成分形圖案的教程(地址： www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的圖像實(shí)在是太丑了，而且只能生成一種圖案，我對(duì)官方的代碼做了一些改進(jìn)，并且加入了多種類型的分形，此外，不僅可以生成圖像，還可以制作gif動(dòng)畫，代碼已經(jīng)放到了Github上：hzy46/tensorflow-fractal-playground，主要的程序只有50行，歡迎大家參考。
Mandelbrot集合
Mandelbrot集合是分形中最經(jīng)典的一個(gè)例子?？紤]迭代公式z_{n+1}=z_{n}^2 + c(z和c都是復(fù)數(shù))。當(dāng)z_0為0時(shí)，得到的值可以組成一個(gè)數(shù)列，依次為c, c^2+c,(c^2+c)^2+c……。當(dāng)該數(shù)列發(fā)散到無窮時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就屬于Mandelbrot集合。
如c=0 時(shí)，顯然數(shù)列永遠(yuǎn)是0，并不發(fā)散，因此0不屬于Mandelbrot集合。
又如c=3i 時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列為3i, -9+3i, 63-51i, 1431-6477j…. ，數(shù)字越來越龐大，因此3i就屬于Mandelbrot集合。
在二維平面上，將所有不屬于Mandelbrot集合的點(diǎn)標(biāo)記為黑色，將所有屬于Mandelbrot集合的點(diǎn)按照其發(fā)散速度賦予不同的顏色，就可以得到Mandelbrot的經(jīng)典圖像：
上面這張圖完全是使用TensorFlow進(jìn)行計(jì)算的，類似的圖大家應(yīng)該在網(wǎng)上也見過好多了，在TensorFlow中，我們定義下面的計(jì)算步驟：
- xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64))
- zs = tf.Variable(xs)
- ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session():
- tf.global_variables_initializer().run()
- zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs)
- not_diverged = tf.abs(zs_) < R
- step = tf.group(
- zs.assign(zs_),
- ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32))
- for i in range(ITER_NUM): step.run()
- final_step = ns.eval()
- final_z = zs_.eval()
zs就對(duì)應(yīng)我們之前迭代公式的z，而xs就對(duì)應(yīng)迭代公式中的c。為了方便起見，只要計(jì)算時(shí)數(shù)值的絕對(duì)值大于一個(gè)事先指定的值R，就認(rèn)為其發(fā)散。每次計(jì)算使用tf.where只對(duì)還未發(fā)散的值進(jìn)行計(jì)算。結(jié)合ns和zs_就可以計(jì)算顏色，得到經(jīng)典的Mandelbrot圖像。
Julia集合
Julia集合和Mandelbrot集合差不多，但這次我們固定c，轉(zhuǎn)而計(jì)算發(fā)散的z的值。即c是固定的常數(shù)(可以任取)，數(shù)列變成z,z^2+c,(z^2+c)^2 +c,…..。如果該數(shù)列發(fā)散，對(duì)應(yīng)的z就屬于Julia集合。對(duì)此，我們只要在原來的程序中修改兩行內(nèi)容，就可以生成Julia集合：
- xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype))
- zs = tf.Variable(Z)
我們?cè)趂ill_value=c處指定了Julia集合中的c值，只要使用不同的c值，就可以生成完全不同的Julia集合!
默認(rèn)：c = -0.835 – 0.2321i ：
將c值變?yōu)閏 = -0.8 * 1j ，并調(diào)整顏色(調(diào)整方法參考Github頁面的說明)：
選用c=0.285 + 0.01i ，圖案又變得完全不同：
生成Julia集合的動(dòng)畫
在Julia集合中，每次都對(duì)c的值進(jìn)行微小的改變，并將依次生成圖片制作為gif，就可以生成如下所示的動(dòng)畫，對(duì)應(yīng)的代碼為julia_gif.py：
這里由于上傳gif有大小限制的關(guān)系，只展示了一個(gè)小尺寸的動(dòng)畫圖像。程序中提供了一個(gè)width參數(shù)，可以修改它以生成更大尺寸，質(zhì)量更高的動(dòng)畫圖像。
探索Mandelbrot集合
(注意：下面的圖片可能對(duì)密集恐懼癥患者不太友好。。。因此慎重翻頁。。)
在前面生成的Mandelbrot集合中，我們可以將圖像放大，選取某些區(qū)域進(jìn)行生成，就可以得到格式各樣造型迥異的分形圖案，對(duì)應(yīng)的程序?yàn)閙andelbrot_area.py。
在Mandelbrot集合中，有很多地方圖案比較奇特，如下圖中的9個(gè)位置。
其中編號(hào)為2的地方被稱為“Elephant Valley”，因?yàn)榇颂幍膱D案與大象很像，直接運(yùn)行mandelbrot_area.py就可以得到該區(qū)域的圖像：
編號(hào)為3的地方被稱為“Triple Spiral Valley”(三重螺旋)，在mandelbrot_area.py修改一下坐標(biāo)位置為(ratio調(diào)整的是顏色)：
- start_x = -0.090 # x range
- end_x = -0.086
- start_y = 0.654 # y range
- end_y = 0.657
- width = 1000
- ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6
就可以得到該處的圖案：
***編號(hào)為1的地方被稱為“Seahorse Valley”(海馬山谷)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為：
- start_x = -0.750 # x range
- end_x = -0.747
- start_y = 0.099 # y range
- end_y = 0.102
- width = 1000
- ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3
圖像如下，確實(shí)和海馬有一點(diǎn)神似：
生成更多的圖案
項(xiàng)目提供了兩個(gè)jupyter notebook：Mandelbrot.ipynb和Julia.ipynb可以對(duì)Mandelbrot集合、Julia集合做更方便的探索。其中，Mandelbrot集的更多坐標(biāo)位置可以參考Quick Guide to the Mandelbrot Set，Julia集中更多有趣的c值可以參考Julia set – Wikipedia。網(wǎng)上類似的資源還有很多。
***再安利一下項(xiàng)目地址：hzy46/tensorflow-fractal-playground。如果代碼有什么問題可以直接發(fā)在評(píng)論里或者在Github上提出issue：)
