遞歸確實是一種較為抽象的數(shù)學邏輯，可以簡單的理解為「程序調(diào)用自身的算法」。

維基百科對遞歸的解釋是：

遞歸(英語：Recursion)，又譯為遞回，在數(shù)學與計算機科學中，是指在函數(shù)的定義中使用函數(shù)自身的方法。遞歸一詞還較常用于描述以自相似方法重復事物的過程。

例如，當兩面鏡子相互之間近似平行時，鏡中嵌套的圖像是以無限遞歸的形式出現(xiàn)的。也可以理解為自我復制的過程。

"遞"是傳遞的意思，"歸"是歸還的意思，先把一個方法一層層傳遞下去，然后傳遞到最后一層再把結(jié)果歸還回來。

比方說我排隊做核酸檢測，前面有100個人，我想問下醫(yī)務人員幾點下班，于是問了我前面那兄弟，他又問了他前面的人，一個個傳遞下去，最終傳遞到了醫(yī)務人員那里，回話說下午六點下班。這句話又往回傳，最終到了我這里，我知道了醫(yī)務人員六點下班。

這個過程就是一個遞歸過程，如果說"傳話"本身是一種方法，那這整個傳話過程就是在調(diào)用自身方法，最終獲得了結(jié)果。

這和循環(huán)不一樣，循環(huán)相當于給所有人都所有人都戴了耳機，然后有"中介"挨個去問你知道醫(yī)務人員幾點下班嗎，等問到醫(yī)務人員的時候，得到答案，“中介”告訴我六點下班。

實質(zhì)上，遞歸就是把一個大問題不斷拆解，像剝洋蔥一樣，最終拆解到最小層面，會返回解題結(jié)果。

用Python舉一個最簡單的遞歸函數(shù)例子，講一講什么是遞歸的應用。

我們經(jīng)常會看到函數(shù)會調(diào)用自身來實現(xiàn)循環(huán)操作，比如求階乘的函數(shù)。

整數(shù)n的階乘即n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。

如下面5行Python代碼，就能實現(xiàn)階乘的計算。

def fact(n):
    ''' n表示要求的數(shù)的階乘 '''
    if n==1:
        return n 
    n = n*fact(n-1)
    return n  
print(factorial(5))

很多人可能困惑這里面的計算邏輯，為什么fact函數(shù)中調(diào)用了自身，最終能得到結(jié)果。

我們可以按照數(shù)學邏輯進行推演：

整數(shù)n的階乘是：fact(n) = n*(n-1)*...*3*2*1。

整數(shù)n-1的階乘是：fact(n-1) = (n-1)*(n-2)*...*3*2*1。

所以可以推斷 fact(n) = n*fact(n-1)。

這里是不是一種 fact方法可以為每個數(shù)所調(diào)用，最終調(diào)用到了n=1的時候，就返回結(jié)果n的階乘。

大家看上圖，遞歸函數(shù)會一層層往下調(diào)用，最終到n=1的時候，往上返回結(jié)果。

這就是遞歸的全過程，如果我們給遞歸下一個準確的定義，可以概括為以下3點：

1、至少有一個明確的遞歸結(jié)束條件。

2、給出遞歸終止時的處理辦法。

3、每次進入更深一層遞歸時，問題規(guī)模(計算量)相比上次遞歸都應有所減少。

以上面代碼為例：

def factorial(n):
    ''' n表示要求的數(shù)的階乘 '''
    if n==1: # 1、明確遞歸終止條件；
        return n # 2、遞歸終止時的處理辦法
    n = n*factorial(n-1) # 遞去
    return n  # 歸來

除了常見的階乘案例，還有斐波那契數(shù)列，也是遞歸的經(jīng)典用法。

斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...

這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和。

它以如下被以遞推的方法定義：F(0)=0，F(xiàn)(1)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n≥ 2，n∈ N*)。

在Python中，我們可以使用遞歸函數(shù)的方式去實現(xiàn)斐波那契數(shù)列：

# 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，試判斷數(shù)列第12個數(shù)是哪個？
def fab(n):
    ''' n為斐波那契數(shù)列 '''
    if n <= 2:
        v = 1
        return v 
    v = fab(n-1)+fab(n-2) 
    return v  

print(fab(12)) 

使用數(shù)學方法進行推導：

• fab(0) = 0(初始值)。
• fab(1) = 1(初始值)。
• 對所有大于1的整數(shù)n：fab(n) = fab(n-1)+ fab(n-2)(遞歸定義)。

其實以上兩個遞歸的案例都可以用數(shù)學歸納法來解釋，就是高中數(shù)學學的知識。

一般地，證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，有如下步驟：

(1)證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況。

(2)假設(shè)當n=k(k≥n0，k為自然數(shù))時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

綜合(1)(2)，對一切自然數(shù)n(≥n0)，命題P(n)都成立。

除了數(shù)學的解釋，之前也看到有人對遞歸更加形象的解釋：

1、我們已經(jīng)完成了嗎?如果完成了，返回結(jié)果。如果沒有這樣的終止條件，遞歸將會永遠地繼續(xù)下去。

2、如果沒有，則簡化問題，解決較容易的問題，并將結(jié)果組裝成原始問題的解決辦法。然后返回該解決辦法。

哈哈,到這里大家是不是對遞歸有了一個更加深刻的認識。

如果還不清楚，沒關(guān)系，這里還有更多的遞歸案例，用Python來實現(xiàn)，可以說非常簡潔。

「最大公因數(shù)：」

def gcd(m, n):
    if n == 0:
        return m
    else:
        return gcd(n, m%n)

「從 1 到 n 的數(shù)字之和：」

def sumnums(n):
    if n == 1:
        return 1
    return n + sumnums(n - 1)

print(sumnums(3))

「字符串倒序：」

def reverse(string):
    if len(string) == 0:
        return string
    else:
        return reverse(string[1:]) + string[0]

reverseme = '我是帥哥'
print(reverse(reverseme))

「漢諾塔問題：」

def towerOfHanoi(numrings, from_pole, to_pole, aux_pole):
    if numrings == 1:
        print('Move ring 1 from', from_pole, 'pole to', to_pole, 'pole')
        return
    towerOfHanoi(numrings - 1, from_pole, aux_pole, to_pole)
    print('Move ring', numrings, 'from', from_pole, 'pole to', to_pole, 'pole')
    towerOfHanoi(numrings - 1, aux_pole, to_pole, from_pole)
numrings = 2
towerOfHanoi(numrings, 'Left', 'Right', 'Middle')

「二分法找有序列表指定值：」

data = [1,3,6,13,56,123,345,1024,3223,6688]
def dichotomy(min,max,d,n):
    '''
    min表示有序列表頭部索引
    max表示有序列表尾部索引
    d表示有序列表
    n表示需要尋找的元素
    '''
    mid = (min+max)//2
    if mid==0:
        return 'None'
    elif d[mid]<n:
        print('向右側(cè)找！')
        return dichotomy(mid,max,d,n)
    elif d[mid]>n:
        print('向左側(cè)找！')
        return dichotomy(min,mid,d,n)
    else:
        print('找到了%s'%d[mid])
        return 
res = dichotomy(0,len(data),data,222)
print(res)

有位大佬說過：To Iterate is Human, to Recurse, Divine。

中文譯為：人理解迭代，神理解遞歸。

可見遞歸是非常神奇的算法，它的神奇之處在于它允許用戶用有限的語句描述無限的對象。

當然人無完人，遞歸也是有缺點的，它一般效率較低，且會導致調(diào)用棧溢出。

因為遞歸不斷調(diào)用自身函數(shù)，且產(chǎn)生大量變量，而?？臻g的容量是有限的，循環(huán)太多就會效率低下，甚至導致調(diào)用棧溢出。