用AI研究數(shù)學領域，最近又有重大發(fā)現(xiàn)了。

這次數(shù)學家們用AI發(fā)現(xiàn)的，是橢圓曲線中的murmuration（椋鳥群飛）現(xiàn)象。

他們發(fā)現(xiàn)，如果以正確的方式觀察，在橢圓曲線中會出現(xiàn)像飛行中的椋鳥群一般的圖案。

現(xiàn)在，murmuration相關研究已經(jīng)轟動了數(shù)學圈，每周都有相關新研究問世。

令人不可思議的是，這個發(fā)現(xiàn)是由數(shù)個偶然組成的——

橢圓曲線的數(shù)據(jù)，恰巧按照conductor來排序；一個經(jīng)驗不足的本科生，恰巧沒有處理某個數(shù)值，讓曲線的震蕩極為明顯；按照conductor預排序的數(shù)據(jù)集，恰巧被人提前做了出來……

任何一個要素的變動，都會導致人類與這一重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)失之交臂，或許再晚上幾十年……

并且，被陶哲軒認證的說法再次被證實：數(shù)學家們要做好準備了，AI將在十年內(nèi)，趕上甚至超過最優(yōu)秀的人類數(shù)學家！

七大千禧年難題之一

橢圓曲線，一直是現(xiàn)代數(shù)學中最迷人的對象之一。

它看似簡單，卻是把高中數(shù)學連接向深奧的數(shù)學研究的一條快速通道。

它是1990年代Andrew Wiles證明費馬大定理過程中的核心，還是現(xiàn)代密碼學的關鍵工具。

在2000年，克萊數(shù)學研究所將橢圓曲線統(tǒng)計特性的一個猜想，列為七大「千禧年問題」之一，懸賞100萬美元的獎金。

在1960年代，這一猜想被數(shù)學家Bryan Birch和Peter Swinnerton-Dyer提出，至今尚未得到證明。

因此，深入探索橢圓曲線，已經(jīng)成為了數(shù)學領域的一項重要的高風險任務。

果然，有人想到了用AI向橢圓曲線難題發(fā)起了沖擊。

在2022年，數(shù)學家利用統(tǒng)計技術和AI，竟然在橢圓曲線上發(fā)現(xiàn)了一些出乎意料的全新特性！

他們發(fā)現(xiàn)：如果以正確的方式觀察，橢圓曲線就能「像椋鳥成群結隊一樣飛翔」。

任教于普林斯頓大學和高級研究院的數(shù)學家Peter Sarnak表示：「機器學習總會給我們帶來一些意料之外的驚喜！」

橢圓曲線上為什么會出現(xiàn)這些特性呢？剛發(fā)現(xiàn)時，許多數(shù)學家感到非常困惑。

近期的一些研究發(fā)現(xiàn)，這些類似椋鳥群飛翔時不斷變化的形狀（murmuration），并不僅僅是2022年研究中的特例，而是橢圓曲線普遍的共性。

神奇的橢圓曲線

要弄明白這些模式究竟是什么，我們首先得對橢圓曲線及其分類有所了解。

橢圓曲線是通過一個變量（通常用y表示）的平方與另一個變量（通常用x表示）的三次方之間的關系來定義的：y^2=x^3+Ax+B，這里的A和B是滿足幾個簡單條件的一對數(shù)值。

橢圓曲線方程定義了一條可以在平面上繪制的曲線，如下所示。

雖然看起來很普通，但對于數(shù)論學者來說，橢圓曲線卻是非常強大的工具。

這是因為，數(shù)論學者需要在整數(shù)中尋找規(guī)律。他們不喜歡讓變量x和y所有數(shù)字中取值，而是希望將它們限制在特定的數(shù)系中，也即在給定的數(shù)系上定義一個曲線。

而僅限于有理數(shù)的橢圓曲線，在數(shù)論的研究中格外有用。

普林斯頓數(shù)學家Sarnak說，「實數(shù)或復數(shù)域上的橢圓曲線非常單調(diào)，真正有深度的，是定義在有理數(shù)域上的橢圓曲線。」

下面這個例子，可以證明這一點。

如果我們在橢圓曲線上任意兩個有理點之間畫一條直線，那么這條線再次與曲線相交的位置，也會是有理點。

利用這個性質(zhì)，我們可以在橢圓曲線上定義一種「加法」運算，如下圖所示。

在點P和點Q之間畫一條直線，這條直線將與曲線相交于第三點R。（如果這條直線不與曲線相交呢？數(shù)學家們就會巧妙地添加一個「無窮遠處的點」。）

接下來，就是見證奇跡的時刻——R沿x軸的鏡像點，就是P+Q的和！

結合這種加法運算，曲線的所有解，就形成了一種稱為「群」的數(shù)學對象。

而數(shù)學家正是借助這種方式，來定義曲線的「秩」。

曲線的秩反映了它擁有的有理數(shù)解的數(shù)量：秩為0的曲線只有有限個解，而那些秩較高的曲線，則有無限個解。

而這些解之間的加法運算關系，就是用秩來描述的。

秩的概念不是那么容易理解。數(shù)學家并不總是有辦法計算出秩的數(shù)值，也不能確定它的最大值能達到多大。（目前已知的某個特定曲線的最大精確秩是20。）

而外觀相似的曲線，也可能擁有完全不同的秩。

此外，橢圓曲線還與質(zhì)數(shù)（只能被1和自身整除的數(shù)）有著緊密的聯(lián)系。

因此，數(shù)學家還特意研究了在有限域上的曲線。

有限域是一種圍繞每個質(zhì)數(shù)定義的循環(huán)算術系統(tǒng)。

我們可以把有限域想象成一個時鐘，其「小時數(shù)」就等同于該質(zhì)數(shù)：到達這個質(zhì)數(shù)時如果你繼續(xù)往后數(shù)，數(shù)字就會從0開始。

例如，在質(zhì)數(shù)7構成的有限域中，5加2的結果是0，5加3的結果是1。

每個橢圓曲線，都有一個稱為a_p的數(shù)列，這個序列反映了由質(zhì)數(shù)p定義的有限域內(nèi)橢圓曲線的解的數(shù)量。

如果a_p的值較小，曲線的解就更多；反之，a_p的值較大，則解的數(shù)量更少。

盡管計算曲線的秩相當復雜，但是找出a_p序列卻容易得多。

基于一臺非常早期的計算機上計算出的成果，數(shù)學家Birch和Swinnerton-Dyer提出了一個猜想。

他們認為，橢圓曲線的秩與a_p序列之間存在特定的關系。

誰要是能證明他們的猜想是正確的，不僅能贏得一百萬美元的獎金，還將在數(shù)學史上青史留名。

AI有了驚人發(fā)現(xiàn)

然后，我們就來到了這位華人研究員的故事。

在2020年，英國皇家學會倫敦數(shù)學科學研究所的研究員Yang-Hui He（何楊輝），決定借助AI來挑戰(zhàn)橢圓曲線問題。

何教授本科學的是物理，然后在MIT取得了數(shù)學物理博士學位。

但隨著時間的推移，他對數(shù)論的興趣與日俱增，并且開始考慮用AI來探索數(shù)字中的未知規(guī)律。

此前，他就已經(jīng)開始利用機器學習，對弦論中廣泛使用的Calabi-Yau流形進行分類了。

論文地址：https://arxiv.org/abs/1812.02893

但隨后，他就感覺到了強烈的受挫。

在2020年8月，何楊輝在諾丁漢大學的一場在線講座中，表達了自己對于用AI發(fā)現(xiàn)數(shù)學新知識的悲觀看法。

當時，他是這么說的：「我沒有任何進展，因為我不是這一領域的專家。我甚至都沒有找到正確的方法。」

當時的聽眾之一、威斯敏斯特大學的數(shù)學家Thomas Oliver回憶道，他之所以認為數(shù)論很難，是因為無法簡單地把機器學習應用在數(shù)論研究中。

由左至右：Kyu-Hwan Lee，Thomas Oliver，何楊輝

后來，Thomas Oliver便叫上康涅狄格大學的數(shù)學家Kyu-Hwan Lee一同，與何楊輝展開了更深度的合作。

「我們最初的目的，只是想了解一下機器學習是什么，而不是真的去深入研究數(shù)學，」Oliver說?！傅芸欤覀儼l(fā)現(xiàn)機器學習可以幫我們理解許多問題?！?/span>

Oliver和Lee建議，大家可以用AI研究L函數(shù)，即通過序列a_p與橢圓曲線密切相關的無窮級數(shù)。

為此，他們利用橢圓曲線及其相關L函數(shù)的在線數(shù)據(jù)庫（LMFDB），訓練了一個極其學習分類器。

這個數(shù)據(jù)庫收錄了超過300萬條有理數(shù)范圍內(nèi)的橢圓曲線及其相關的L函數(shù)。

2020年10月，他們發(fā)表了一篇論文，通過分析L函數(shù)的信息，來預測橢圓曲線的特定性質(zhì)。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2010.01213

11月，他們再次發(fā)表論文，利用機器學習對數(shù)論中其他對象進行了分類。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2011.08958

到了12月，他們已經(jīng)能夠準確預測橢圓曲線的等級。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2012.04084

但即便如此，三人都搞不明白，為什么機器學習算法會如此有效。

本科生接手研究

Lee把揭開這一謎團的任務，交給自己的本科生Alexey Pozdnyakov。

康涅狄格大學的本科生Alexey Pozdnyakov是世界上第一個觀察到這種模式的人

Pozdnyakov是這樣入手的。

LMFDB通過一個叫做conductor的量，來對橢圓曲線進行分類，這個量概括了曲線在某些質(zhì)數(shù)上表現(xiàn)不佳的信息。

于是，Pozdnyakov嘗試同時研究大量具有相似conductor值的曲線，比如conductor值為7,500到10,000之間的所有曲線。

總的來說，這項研究涵蓋了大約10,000條橢圓曲線。其中，有大約一半的秩為0，另一半的秩為1（更高秩的曲線極其罕見）。

接著，Pozdnyakov分別計算了秩為0和秩為1的曲線的a_p值的平均數(shù)，并將這些數(shù)據(jù)繪制成圖。

結果顯示，這兩組數(shù)據(jù)形成了兩個截然不同、清晰可辨的波。

而這，就是機器學習能夠準確預測特定曲線等級的原因。

最初，Pozdnyakov只是很高興自己完成了導師交代的任務。

Kyu-Hwan教授立刻敏銳地意識到，這其中絕對有不尋常的發(fā)現(xiàn)！

當Lee教授和Oliver教授知道后，他們也非常驚喜。

Pozdnyakov向他們展示了上面的那張圖，他們立刻聯(lián)想到了鳥群在空中飛行時形成的圖案。

Kyu-Hwan教授隨后查到，這種現(xiàn)象叫做murmuration。

何教授隨后提議，將論文命名為「橢圓曲線的murmuration」。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2204.10140

論文引起強烈反響

2022年4月，他們將論文上傳，分享給一些數(shù)學家。

大家忐忑地想，或許這個所謂的發(fā)現(xiàn)早就為人熟知，畢竟曲線實在太明顯了。

然而，出乎他們意料的是，論文一經(jīng)發(fā)布，立刻引起了數(shù)學界的轟動。

MIT科學家Andrew Sutherland對此尤為感興趣。

Andrew Sutherland

作為LMFDB的管理編輯之一，Sutherland發(fā)現(xiàn)，原有的300萬條橢圓曲線對于他的研究目標來說，是遠遠不夠的。

他希望通過研究更大范圍的conductor，來檢驗所謂的「murmuration」是否具有普遍性。

因此，他從另一個擁有約1.5億條橢圓曲線的龐大數(shù)據(jù)庫中提取了數(shù)據(jù)。但他對此仍然不滿足，于是又從另一個包含3億條橢圓曲線的數(shù)據(jù)庫中再次提取數(shù)據(jù)。

但是這些還不夠！

最后，Sutherland的數(shù)據(jù)集，包含了超過10億的橢圓曲線。通過這個數(shù)據(jù)集，繪制出了非常高清的圖像。

他發(fā)現(xiàn)，無論是是15000條橢圓曲線，還是100萬條，這種「murmuration」始終都會顯現(xiàn)。

更令人驚訝的是，即使在橢圓曲線涵蓋的質(zhì)數(shù)范圍越來越大時，這種圖形的形狀依然保持不變，這種現(xiàn)象被稱為「尺度不變性」。

Sutherland還發(fā)現(xiàn)，這種「murmuration」不僅存在于橢圓曲線中，也會出現(xiàn)在更一般的L函數(shù)中。

他將這些發(fā)現(xiàn)發(fā)送給了滑鐵盧大學的Michael Rubinstein教授和Sarnak教授。

他對此百思不得其解：「如果這背后有一個已知的原因，我相信你們一定能告訴我」。

然而，他們對此也一無所知。

新公式誕生，數(shù)學圈被引爆

2023年8月，何楊輝、Lee和Oliver在布朗大學的計算與實驗數(shù)學研究所（ICERM）舉辦了一場專門探討murmuration的研討會，并吸引了包括Sarnak和Rubinstein在內(nèi)的眾多學者參與。

會上，Sarnak的學生Nina Zubrilina介紹了自己在模形式中，針對murmuration的研究成果。模形式是一種特殊的復函數(shù)，它們與橢圓曲線相似，都有對應的L函數(shù)。

Zubrilina發(fā)現(xiàn)，在conductor較大的模形式中，murmuration呈現(xiàn)出一種趨向于集中成一條清晰的曲線，而非分散的模式。

隨后，她在2023年發(fā)表的一篇論文中，證明了這種murmuration遵循一個明確的公式。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2310.07681

Sarnak對此評價道：「Nina的重大貢獻在于她提出了一個『Zubrilina murmuration密度公式』。她運用了高深的數(shù)學知識，證明了一個與數(shù)據(jù)完美吻合的精確公式?！?/span>

盡管這個公式相當復雜，但Sarnak認為它是一種重要的新型函數(shù)，甚至可以和定義微分方程解的艾里函數(shù)相媲美——后者定義了在物理學中各種情況下使用的微分方程的解，從光學到量子力學。

而Zubrilina公式的提出，直接引爆了這個領域，現(xiàn)在幾乎每周都有相關的新論文發(fā)布。

Sarnak解釋說，這些研究主要是采用Zubrilina的方法，進一步探討murmuration的不同方面。

Jonathan Bober、Andrew Booker和Min Lee來自布里斯托大學，他們與ICERM的David Lowry-Duda合作，在一篇10月份的論文中證明了模形式存在一種不同的murmuration。

此外，Kyu-Hwan Lee、Oliver和Pozdnyakov還證明了在被稱為狄利克雷特征的對象中存在murmuration，這些對象與L函數(shù)有著密切的聯(lián)系。

數(shù)學的重大發(fā)現(xiàn)，有很多「偶然」

如今回想起來，對于這一發(fā)現(xiàn)背后所需的重大運氣，Sutherland仍然會不住感慨。

如果當初，橢圓曲線的數(shù)據(jù)沒有按照conductor來排序，那么murmuration可能就不會被發(fā)現(xiàn)。

「他們很幸運地使用了LMFDB中已經(jīng)按conductor預排序的數(shù)據(jù)，這是關聯(lián)橢圓曲線和對應模形式的關鍵，但這并不是顯而易見的……兩個方程式看似相似的曲線，其conductor卻可能大相徑庭?！?/span>

例如，方程y^2=x^3–11x+6的conductor是17，而將減號改為加號后，y^2=x^3+11x+6的conductor則為100,736。

不僅如此，murmuration的發(fā)現(xiàn)，也在一定程度上多虧了本科生Pozdnyakov的經(jīng)驗不足。

「如果沒有他，我們可能不會發(fā)現(xiàn)這一點，」Oliver說，「因為專家通常會把a_p的絕對值歸一化為1。但他沒有這樣做……因此，振蕩才變得非常明顯?！?/span>

Oliver指出，AI算法用于按等級排序橢圓曲線的統(tǒng)計模式，存在于一個具有數(shù)百維的參數(shù)空間中——這對人類來說太復雜了，難以在腦海中排序，更不用說可視化了。

雖然是機器學習首先發(fā)現(xiàn)了這些隱藏的振蕩，但數(shù)學家們直到后來才明白，這些振蕩實際上就是murmuration。

Yang-Hui He 何楊輝

何楊輝是一位杰出的數(shù)學物理學家，目前是倫敦數(shù)學科學研究所的研究員，以及牛津大學默頓學院的導師。

與此同時，何教授還在倫敦大學城市學院擔任數(shù)學客座教授，在南開大學擔任長江學著講座教授，并且還是STEMM全球科學協(xié)會主席。

何教授的研究工作橫跨量子場理論、弦理論、代數(shù)幾何和數(shù)論等多個領域，并深入探索AI和機器學習在這些問題中的應用，是利用AI進行純數(shù)學研究的領域先驅(qū)之一。

目前，何教授已發(fā)表超過200篇科學論文，并定期舉行公開講座。此外，他還積極參與科普活動，擔任BMUCO顧問和One Garden研究員，致力于將科學知識普及給更廣泛的公眾。

何楊輝在1975年9月出生于中國蕪湖，在中國和澳大利亞度過了他的小學時光，隨后在澳大利亞和加拿大完成了高中學業(yè)。

1996年，何楊輝以最高榮譽（summa cum laude，同時獲得Allen Shenstone獎和Kusaka Memorial獎）從普林斯頓大學獲得物理學學士學位，并同時取得了應用數(shù)學和工程物理的雙重證書。

緊接著，他在1997年以優(yōu)異的成績從劍橋大學獲得了碩士學位，并在2002年在麻省理工學院理論物理中心完成了他的博士學位研究（獲得了美國國家科學基金會獎學金和麻省理工學院總統(tǒng)獎）。

完成在賓夕法尼亞大學的博士后工作后，何楊輝加入牛津大學，擔任FitzJames研究員和英國STFC高級研究員。