黎曼猜想是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的未解決問題，與素?cái)?shù)分布的精確性質(zhì)有關(guān)（素?cái)?shù)是那些只能被 1 和自身整除的數(shù)字，它們?cè)跀?shù)論中扮演著基礎(chǔ)性的角色）。

在當(dāng)今的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，已有超過一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。也就是說，黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明，這一千多個(gè)命題將被確立為定理，對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響；而如果黎曼猜想被證明是錯(cuò)誤的，那么這些命題中的一部分也將隨之失去其有效性。

新的突破來自 MIT 數(shù)學(xué)教授 Larry Guth 和牛津大學(xué)數(shù)學(xué)研究所教授、菲爾茲獎(jiǎng)得主 James Maynard 的一篇論文。推薦該論文的數(shù)學(xué)家陶哲軒表示，他們對(duì)黎曼 zeta 函數(shù)零點(diǎn)的經(jīng)典 1940 年 Ingham 界限進(jìn)行了首次實(shí)質(zhì)性改進(jìn)（更廣泛地說，是控制各種狄利克雷級(jí)數(shù)的大值）。此前，誕生已超過 80 年的 Ingham 界限由于缺乏改進(jìn)，限制了數(shù)學(xué)家在解析數(shù)論中做很多事情。

不過，陶哲軒也表示，盡管這是一個(gè)顯著突破，但距離完全解決黎曼猜想還有很大距離，因此應(yīng)理性看待。

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想或黎曼假設(shè)（Riemann Hypothesis）由德國數(shù)學(xué)家 Bernhard Riemann 于 1859 年提出。這個(gè)猜想與素?cái)?shù)的分布密切相關(guān)，其核心內(nèi)容涉及黎曼 ζ 函數(shù)（Riemann Zeta Function）的非平凡零點(diǎn)。 

圖源：facts.net/

黎曼猜想的內(nèi)容無法用完全初等的數(shù)學(xué)來描述。粗略地說， 它是針對(duì)一個(gè)被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的復(fù)變量函數(shù) (即變量與函數(shù)值都可以在復(fù)數(shù)域中取值的函數(shù)) 的猜想。黎曼 ζ 函數(shù)跟許多其它函數(shù)一樣， 在某些點(diǎn)上的取值為零， 那些點(diǎn)被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。在那些零點(diǎn)中， 有一部分特別重要的被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。黎曼猜想所猜測的是那些非平凡零點(diǎn)全都分布在一條被稱為 「臨界線」的特殊直線上（引自科普作家盧昌海博客）。

黎曼 ζ 函數(shù)定義為：  

黎曼猜想認(rèn)為，所有 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都為 1/2。這意味著，如果 ζ(s)=0 且 s 是非平凡零點(diǎn)（即 s 不是負(fù)偶數(shù)），那么 s 的實(shí)部應(yīng)為 1/2。

黎曼猜想是當(dāng)今世界上最重要、最期待解決的數(shù)學(xué)難題。若猜想成立，則可以精確描述素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布情況，并在解決數(shù)論、復(fù)分析和其他數(shù)學(xué)分支中具有廣泛的應(yīng)用和影響。

迄今為止，距離黎曼猜想提出已經(jīng)過去了 165 年。關(guān)于嘗試證明黎曼猜想的研究出現(xiàn)了很多，但均無疾而終。

關(guān)于解決黎曼猜想的嘗試

自黎曼猜想提出以來，很多數(shù)學(xué)家便開始了探索證明之旅。

1896 年，法國數(shù)學(xué)家雅克?阿達(dá)馬和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分別獨(dú)立地證明了在直線上沒有零點(diǎn)。連同了黎曼對(duì)于不非凡零點(diǎn)已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點(diǎn)一定處于區(qū)域上。這是素?cái)?shù)定理第一個(gè)完整證明中很關(guān)鍵的一步。

1900 年，德國數(shù)學(xué)家、現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父之一大衛(wèi)?希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的 23 條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第 8 號(hào)問題。同時(shí)黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個(gè)被收入克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年大獎(jiǎng)難題。

1914 年，英國數(shù)學(xué)家高德菲?哈羅德?哈代證明了有無限個(gè)零點(diǎn)在直線  上。后來哈代與英國數(shù)學(xué)家約翰?恩瑟?李特爾伍德在 1921 年及塞爾伯格在 1942 年的工作（臨界線定理）也就是計(jì)算零點(diǎn)在臨界線  上的平均密度。

直到最近幾年，對(duì)黎曼猜想的證明嘗試往往也會(huì)引起轟動(dòng)。

2018 年 9 月，一場在海德堡盛況空前的演講引爆了數(shù)學(xué)圈，89 歲的阿蒂亞爵士對(duì)黎曼猜想的證明吸引了全球關(guān)注。在萬眾矚目之下，阿蒂亞爵士用 45 分鐘的時(shí)間向全世界展示對(duì)這個(gè)有著一百五十多年歷史的數(shù)學(xué)猜想的證明。

不過阿蒂亞爵士的證明只有以下一頁 PPT。這樣的證明，似乎無法讓人信服。當(dāng)被問及是否解決了黎曼猜想時(shí)，他回應(yīng)稱，「這是由你的邏輯決定的。原始的黎曼猜想我是證明了，除非你是那種不接受反證法的數(shù)學(xué)家。」他也補(bǔ)充說，其證明沒有解決所有問題，后續(xù)還有很多問題，自己只是走了第一步（第一步就是解決方案）。

遺憾的是，阿蒂亞爵士已經(jīng)于 2019 年 1 月去世了。

如今，又有人向黎曼猜想發(fā)起了挑戰(zhàn)。

Guth 和 Maynard 做了什么

對(duì)于 Guth 和 Maynard 的新突破，知名數(shù)學(xué)家陶哲軒評(píng)價(jià)道：「Guth 和 Maynard 在研究黎曼猜想方面取得了重要進(jìn)展，盡管離解決這一歷史悠久的數(shù)學(xué)問題還有很長的路要走 ?！?/span>

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2405.20552

從陶哲軒的推文中我們了解到，該研究首次對(duì)數(shù)學(xué)家 Albert Ingham 在 1940 年左右關(guān)于黎曼 ζ 函數(shù)零點(diǎn)（以及更廣泛地控制各種 Dirichlet 級(jí)數(shù)的大值）的經(jīng)典界限做出了實(shí)質(zhì)性改進(jìn)。  

1940 年，數(shù)學(xué)家 Albert Ingham 提出了一個(gè)描述這些零點(diǎn)的界限，這個(gè)界限對(duì)于當(dāng)時(shí)的理論研究構(gòu)成了基礎(chǔ)。然而，直到 Guth 和 Maynard 的工作之前，這個(gè)界限幾乎未被改進(jìn)過。Guth 和 Maynard 的研究不僅改進(jìn)了 Ingham 的這個(gè)界限，而且他們的方法為處理 Dirichlet 級(jí)數(shù)的大值提供了新的工具和視角，這些級(jí)數(shù)在很多數(shù)論和分析問題中都非常重要。

本文證明了 Dirichlet 多項(xiàng)式大值頻率的新界限。這為長度為 N 的 Dirichlet 多項(xiàng)式提供了改進(jìn)的估計(jì)，其取值大小接近 。此外，該研究推導(dǎo)出一個(gè)零點(diǎn)密度估計(jì)以及關(guān)于長度為 的短間隔內(nèi)素?cái)?shù)的漸近式。 

對(duì)于這項(xiàng)研究，陶哲軒本人從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行了一些說明。設(shè)??(σ,??) 表示黎曼 ζ 函數(shù)在實(shí)部至少為 σ 且虛部最大為 T 的零點(diǎn)數(shù)量。黎曼猜想告訴我們?nèi)魏?σ>1/2 的情況下，N (σ，??) 會(huì)消失，不過現(xiàn)在還無法證明這個(gè)假設(shè)。但作為次優(yōu)選擇，數(shù)學(xué)家們可以證明零點(diǎn)密度估計(jì)，這是關(guān)于 ??(σ,??)  的非平凡（non-trivial）上界。

事實(shí)證明， σ=3/4 是一個(gè)關(guān)鍵值。1940 年，Ingham 得出了??(3/4,??)???(3/5+??(1)) 的界限。

在接下來的八十年中，對(duì)這個(gè)界限的改進(jìn)只是 ??(1) 誤差的微小精煉。這限制了研究者在解析數(shù)論中進(jìn)行更深入的研究：例如，為了得到一個(gè)在幾乎所有形如 (??,??+??^??) 的短區(qū)間內(nèi)的良好素?cái)?shù)定理，人們長期以來一直受限于??>1/6 的范圍，主要障礙是缺乏對(duì) Ingham 界限的改進(jìn)。

Guth 和 Maynard 最終改進(jìn)了 Ingham 邊界，從 3/5=0.6 提高到 13/25=0.52。這在解析數(shù)論中產(chǎn)生了許多相應(yīng)的改進(jìn)，例如，研究者可以在幾乎所有短區(qū)間內(nèi)證明素?cái)?shù)定理的范圍，現(xiàn)在從 θ>1/6=0.166… 到 θ>2/15=0.133…

作者介紹

Larry Guth 自 2019 年 7 月起擔(dān)任 MIT Claude E. Shannon 數(shù)學(xué)教授，并于 2021 年當(dāng)選 MacVicar Fellow。

他于 2005 年在 Tom Mrowka 的指導(dǎo)下獲得 MIT 博士學(xué)位。此后在斯坦福大學(xué)擔(dān)任博士后，在多倫多大學(xué)擔(dān)任初級(jí)教職并在 2011 年被任命為 Courant Institute 教授。此后他于 2012 年加入 MIT 數(shù)學(xué)系擔(dān)任教授。

Guth 的研究興趣是度量幾何、諧波分析和極值組合。其中度量幾何是指研究涉及長度、面積和體積的不等式，一些主要的例子有等周不等式和收縮不等式。收縮不等式是 Guth 工作的一個(gè)重點(diǎn)， 另一個(gè)重點(diǎn)是尋找?guī)缀尾坏仁胶屯負(fù)渲g的聯(lián)系。

最近，Guth 從事諧波分析和組合學(xué)的研究。很多工作與 Kakeya 問題有關(guān)，這是歐幾里得幾何中的一個(gè)未解決問題，與傅里葉分析中的限制型估計(jì)和極值組合學(xué)中關(guān)于線發(fā)生率的估計(jì)有關(guān)。

圖源：MIT

 James Maynard

James Maynard 生于 1987 年，是一位英國數(shù)學(xué)家，研究領(lǐng)域?yàn)榻馕鰯?shù)論，特別是素?cái)?shù)理論。

數(shù)論中一些最著名的問題與素?cái)?shù)的分布有關(guān)。雖然素?cái)?shù)的大規(guī)模分布遵循數(shù)論定理（更準(zhǔn)確的說是黎曼猜想），但很多自然問題需要處理短（或稀疏）尺度。

James Maynard 在 2013 年取得了關(guān)于孿生素?cái)?shù)猜想的重要成果。他證明了存在無窮多對(duì)質(zhì)數(shù)，其間隔小于 600，這一結(jié)果比張益唐的 7000 萬間隔要小，盡管他的論文發(fā)表時(shí)間比張益唐晚半年，但他的成果在數(shù)論專家中獲得了高度評(píng)價(jià)。

陶哲軒評(píng)價(jià)稱：「說實(shí)話，他的描述方式實(shí)際上比我的更干凈…… 事實(shí)證明他的說法還略強(qiáng)?！?/span>

Maynard 的方法既優(yōu)雅又強(qiáng)大，以一種令人震驚的方式突破了篩分理論的界限。并且在一個(gè)看似相反的方向上，他繼續(xù)證明，有時(shí)素?cái)?shù)比平均值稀疏得多，這是一個(gè)著名的 Erd?s 問題，數(shù)十年來沒有取得任何實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。

Maynard 還在丟番圖逼近領(lǐng)域做了基礎(chǔ)性工作，他與蒙特利爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授 Koukoulopoulos 解決了 Duffin–Schaeffer 猜想。該猜想于 1941 年提出，可以被認(rèn)為是 Khintchine 定理的最終泛化，描述了一個(gè)典型的實(shí)數(shù)如何被有理數(shù)逼近。

2022 年，Maynard 因在解析數(shù)論方面的貢獻(xiàn)榮獲菲爾茲獎(jiǎng)。菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最負(fù)盛名的獎(jiǎng)項(xiàng)，通常被視為數(shù)學(xué)的諾貝爾獎(jiǎng)。James Maynard 因在解析數(shù)論方面的貢獻(xiàn)而獲此殊榮，這些貢獻(xiàn)已經(jīng)在理解素?cái)?shù)的結(jié)構(gòu)和丟番圖逼近方面取得了重大進(jìn)展。

2023 年，他又獲得了數(shù)學(xué)新視野獎(jiǎng)。

期待兩位數(shù)學(xué)家在黎曼猜想等世界難題上取得更多進(jìn)展。