黎曼猜想，竟被Grok 3「證明」了？

為此，xAI暫停了Grok 3的訓練來驗證它的證明，如果結果是正確的，將會完全終止模型的訓練。

xAI工程師Hieu Pham在社交媒體的最新「爆料」，成為AI圈最火爆的話題。

要知道，黎曼猜想是千禧年七大數(shù)學難題之一，被譽為「猜想界的皇冠」。

2000年，黎曼猜想被美國克雷數(shù)學研究所（Clay Mathematics Institute of Cambridge，CMI）指定為「七大千禧年難題之一」

由于信息量太大，網(wǎng)友們直接被整懵了，分不清這是真的還是在玩?！?/span>

幾個小時之后，在Pham另一個帖子中，證明了這只是自己的調(diào)侃。

惡搞的起因是，一位網(wǎng)友Andrew Curran最先「爆料」，傳言稱Grok3在訓練時發(fā)生了災難性事件。

明眼的網(wǎng)友很快便質(zhì)疑道：LLM訓練怎么會出現(xiàn)災難性事件？

即便是出現(xiàn)loss激增，也只需要回到上一個Checkpoint，調(diào)整一下，就可以接著訓了。

除非是服務器全燒了，數(shù)據(jù)全都不剩了……

眼瞧著消息越傳越廣，xAI聯(lián)創(chuàng)Greg Yang坐不住了。

對此，他用諷刺的語氣調(diào)侃道：「對對對，Grok 3訓著訓著突然開始攻擊辦公室的保安了?！?/span>

另一位研究人員Heinrich Kuttler也接梗道：「對對對，情況非常糟糕！我們后來用nan（Not a Number，非數(shù)）把所有壞的權重都替換了一遍，才恢復?！?/span>

網(wǎng)友見狀，也跟著玩起了梗。

要攻克黎曼猜想，還差些什么？

言歸正傳，讓我們來仔細看一下，目前人類離攻克黎曼猜想還差幾步。

如今，「黎曼猜想」就像是一座巍峨的高峰，165年來從未有人成功攀上。

它就像大海中的燈塔，為數(shù)學領域的發(fā)展指明方向：很多數(shù)論和復變函數(shù)領域的工作都基于黎曼猜想為真這個前提，因此一旦證明了黎曼猜想，許多其他工作也會得到完整的證明。

黎曼猜想起源于德國數(shù)學家高斯，他給出了一個公式，能夠近似地預測出任意數(shù)字的素數(shù)個數(shù)。

在1859年，德國數(shù)學家波恩哈德·黎曼改進了高斯的公式，用涉及復變量函數(shù)演算的方法，得出一個原創(chuàng)公式。

這就是赫赫有名的「黎曼猜想」。

根據(jù)公式，能夠畫出無窮多個點。黎曼猜測，這些點有一定的排列規(guī)律，一部分在一條橫線上，另一部分則在一條豎線上，所有點都在兩條直線上排列，無一例外。

黎曼ζ函數(shù)可視化

理論上，無法證明是否所有的點都在這兩條線上，但是，只要有一個點不在，就能推翻黎曼猜想！

現(xiàn)在，數(shù)學家們已經(jīng)用計算機驗證了最初的15億個點，全部符合黎曼猜想。

2022年，張益唐發(fā)表111頁論文，宣布本質(zhì)上已證明朗道-西格爾零點問題——廣義黎曼猜想的一種特殊且弱得多的形式。

雖然是一個弱一點的形式，但本質(zhì)上已經(jīng)是解決了朗道—西格爾零點問題。

用他的話說就是，關于零點猜想問題，「大海里的針我沒撈到, 但海底地貌我探得差不多了」。

論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2211.02515

2024年，陶哲軒力推MIT數(shù)學教授Larry Guth和牛津大學菲爾茲獎得主James Maynard的一篇新論文，認為兩人在證明黎曼猜想方面取得了重大突破。

過程中，他們犧牲了一枚棄子，情況雖然變得更棘手，卻反而離答案更近了。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552

當然，盡管我們離完全解決這一猜想還很遙遠。

AI的數(shù)學能力，到底什么水平？

這么說起來，目前的AI是否真的有證明黎曼猜想的能力呢？

我們可以來看看，爆火全網(wǎng)的AI證明工具AlphaProof，是如何做出IMO 2024的三道題的。

從某種角度來說，IMO數(shù)學競賽題跟「猜想界的皇冠」黎曼猜想距離有多遠，那離AI證明黎曼猜想也就有多遠。

谷歌DeepMind研究人員，AlphaProof負責人Rishi Mehta最新博客中，介紹了AlphaProof在IMO中的最新表現(xiàn)。

4個月前，谷歌DeepMind團隊發(fā)布了兩個數(shù)學推理新模型AlphaProof和AlphaGeometry 2。

前者在破解IMO 2024六道競賽試題中，做對了其中4道，而且每道題拿下了滿分，相當于銀牌選手水平（28分）。

而在最新進展文章中，Mehta揭示了AlphaProof在IMO 2024解題中最酷的想法。

在證明過程中，AlphaProof會使用到Lean 生成證明，并且每個Lean證明由一系列策略組成。

因此，Mehta將挑選出對應于這些想法的策略，針對AlphaProof解決的第 1、2和6題進行分析。

問題 1

問題

確定所有實數(shù)α，使得對于每一個正整數(shù)n，整數(shù)?α?+?2α?+?+?nα?是n的倍數(shù)。（注意，?z?表示小于或等于z的最大整數(shù)。例如，??π?=?4 和?2?=?2.9?=2。）

解答

答案是所有偶整數(shù)。

需要注意的是，AlphaProof解決這些問題的方式是，提出許多解答候選者，嘗試證明和反駁每一個，最終僅為正確答案找到證明。

這里看到的證明是，證明答案是偶整數(shù)集的那個。

證明偶整數(shù)滿足給定性質(zhì)顯而易見，而這個證明的難點在于，證明除了偶整數(shù)之外沒有其他α能夠滿足它。

AlphaProof以一種有趣（盡管復雜）的方式做到這一點：

它首先設定一個整數(shù)?，使得 2?=?α?+?2α?。這是成立的，因為通過將n=2代入給定性質(zhì)，便可知道右側是偶數(shù)。

existsλx L=>(L 2 two_pos).rec λl Y=>?_

L 2是在n=2的情況下使用給定性質(zhì)。此外，AlphaProof經(jīng)常將幾個策略組合在一行中。一個更易理解的版本是：

constructor· intro x Lobtain ?l, Y? := L 2 (by exact two_pos)

注意，我們還將α重命名為x。接下來，它聲稱（并繼續(xù)證明）對于所有自然數(shù) n，?(n+1)α?=?α?+2n(???α?) ……（1）.

suffices: ? (n : ?),?(n+1)*x? =? x?+2 * ↑ (n : ?) * (l-(?(x)?))

從中，它能夠得到α=2(???α?)。

use(l-?x?)*2

這必須是一個偶整數(shù)（因為它是一個整數(shù)乘以 2）。

它證明這些事情的方式涉及一些相當復雜的簡化。但設置（1）中的聲明是使其余證明成立的令人印象深刻的一步。

Mehta稱，對我來說，這一聲明的動機相當不直觀，而事實上一切都能奏效幾乎是神奇的。

AlphaProof的完整解決方案如下：

問題 2

問題

找到所有滿足條件的正整數(shù)對(a,b)，使得存在正整數(shù)g和N，使得gcd(an+b,bn+a)=g對于所有整數(shù)n≥N成立。

解答

AlphaProof正確給出 (1,1) 是唯一的解。

為了證明沒有其他解可以成立，它要求我們考慮數(shù)ab+1。它聲稱（并隨后證明）ab+1必須整除g。

suffices:b.1*b.2+1∣Y

需要注意的是，AlphaProof決定將對 (a,b) 重命名為b，以便它必須將元素引用為b.1和b.2。出于某種原因，它還選擇將變量g重命名為 Y。

現(xiàn)在，選擇n=N?(ab+1)，可以得到(ab+1)∣(aN?(ab+1)+b) 和 (ab+1)∣(bN?(ab+1)+a)。

由于ab+1與a和b互質(zhì)，因此可以應用歐拉定理，即

a?(ab+1)≡1(modab+1)

b?(ab+1)≡1(modab+1)

所以有ab+1∣1+b和ab+1∣1+a，由此可以得出a=b=1。

這一策略緊密地遵循了人類對此問題的證明。選擇考慮ab+1是構建證明的巧妙想法。

AlphaProof 的完整解決方案如下：

問題 6

問題

設Q是所有有理數(shù)的集合。一個函數(shù)f:Q→Q被稱為aquaesulian函數(shù)，如果對于每個x,y∈Q，滿足以下性質(zhì)：f(x+f(y))=f(x)+y或f(f(x)+y)=x+f(y)。

證明存在一個整數(shù)c，使得對于任何aquaesulian函數(shù)f，形式為f(r)+f(?r)的有理數(shù)最多有c個不同的值，并找出c的最小可能值。

解答

AlphaProof求解答案為c=2，證明過程分為兩部分。

首先，它通過證明f(r)+f(?r)只能是0或某個單一的其他值來證明c≤2。這部分證明相當復雜，并巧妙地利用了給定的aquaesulian性質(zhì)。

完成這一步后，c可以是1或2。

為了證明 c=2，AlphaProof提出了一個aquaesulian函數(shù) f(x)=?x+2?x?，使得 f(r)+f(?r)取兩個不同的值。

specialize V $ λ N=>-N+2 *Int.ceil N

然后它展示了f(?1)+f(1)=0和f(1/2)+f(?1/2)=2，這給出了需要的兩個不同的值。

use Finset.one_lt_card.2$ by exists@0,V.1.mem_toFinset.2 (by exists-1),2,V.1.mem_toFinset.2 (by exists 1/2)

再次，很多內(nèi)容被壓縮到一行中，但通過exists -1和 exists 1/2展示了兩個不同的值。

這是一個值得注意的函數(shù)構造，而且相當難以找到！在509名參與者中只有5人解決了 P6，值得注意的是Tim Gowers在評審這個解決方案時也嘗試了一下，但沒有找到一個能給出兩個不同值的函數(shù)。

畢竟，IMO 2024第六題被稱為「終極boss」，可不是那么輕易就解決掉的。

AlphaProof的完整解決方案如下：

AI距離千禧年難題，還有多遠？

關于AI究竟能做什么程度的數(shù)學題，網(wǎng)友們也就此展開了討論。

很多人認為，數(shù)學將是AI最先突破的領域之一，因為存在一個可用的既便宜又快速的反饋循環(huán)。

數(shù)學具有這樣的特性：你可以以很少的成本，100%去驗證你所做的事是否正確。

而相對于Lean之類的數(shù)學證明工具來說，AI驗證實驗的成本（時間、精力、金錢、安全）都要高出許多數(shù)量級。

有網(wǎng)友腦洞大開預測道：數(shù)學前沿運動的加速，值得人類建更多發(fā)電站！

不過，有一名數(shù)學家卻在評論區(qū)現(xiàn)身說法，認為并不值得用AI這么做。

在他看來，計算時間/成本與問題復雜性之間的權衡，值得嚴肅考慮。

理論上講，用形式語言找到證明是一件很輕松的事，因為只需一直搜索可能的證明，直到找到所需陳述結尾的證明就可以了。

計算的并行化程度如何，硬件能力有多大，AI工具對于數(shù)學問題的優(yōu)化程度如何，都會決定AI用多長時間把證明做出來。

但要說專門建數(shù)據(jù)中心和發(fā)電站，把大量能源用于做數(shù)學題，他覺得沒有必要——因為這并不是為了數(shù)學界的利益，而是硅谷大廠們自己的愿景。

不過如果進一步設想，現(xiàn)在的Alphaproof如果變成具有天文數(shù)字計算資源的定理證明器，我們或許有一天就可以證明「P/NP問題」。

因為，任何可證明的定理，都可以通過耐心地使用窮舉法，列舉所有可能的證明來找到。

如果存在一個有限的、格式良好的公式，該公式具有該定理作為結果，那么該定理就可以根據(jù)定義證明。

而如果說LLM有什么用處，那就是尋找出令人驚訝的聯(lián)系，以人類搜索之外的方式，應用現(xiàn)有工具。

AI通過幫助人類解決引理、檢查錯誤、形式化證明，來加速數(shù)學研究，在肉眼可見的未來幾年內(nèi)，即將成為現(xiàn)實。

而在去年，微軟亞洲研究院、北大、北航等機構的研究人員，就已經(jīng)通過97個回合的「蘇格拉底式」嚴格推理，成功讓GPT-4得出了「P≠NP」的結論。

而這97輪對話，可以說構建出了一個極難的NP完全問題，其中一些實例在時間復雜度低于O(2^n)（即窮舉搜索）的情況下是不可解的，也就是說，證明結論為P≠NP。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2309.05689

當然，這個證明過程并不嚴謹，作者用一個假設（假定任意CSP問題的精確算法都有一個等價的分治算法），繞過了P≠NP問題的難點。

其實，像Christian Szegedy這樣的AI專家已經(jīng)做過此類預測：到2026年底，AI將成為「超人數(shù)學家」，解決出黎曼猜想等問題。

離AI解決P/NP問題、黎曼猜想這樣的的千禧年難題，還會有多遠呢？

馬斯克曾許諾，用10萬塊H100訓練的Grok 3將在年底發(fā)布，應該會令人驚嘆。

而如今，這個規(guī)模已經(jīng)擴展到了20萬臺，再給一點時間，說不定Grok 3真能出奇跡。