近期，一個(gè)數(shù)十年來未解決的數(shù)學(xué)難題首次取得了進(jìn)展。

推動(dòng)這項(xiàng)進(jìn)展的是來自加州大學(xué)洛杉磯分校的研究生 James Leng 和麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)研究生 Ashwin Sah、哥倫比亞大學(xué)助理教授 Mehtaab Sawhney。其中James Leng 師從著名數(shù)學(xué)家陶哲軒，Ashwin Sah 師從離散數(shù)學(xué)大牛趙宇飛。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2402.17995

要了解這項(xiàng)研究取得的突破，需要從算術(shù)級(jí)數(shù)說起。

等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和稱為一個(gè)等差級(jí)數(shù)，也稱為算術(shù)級(jí)數(shù)。1936 年，數(shù)學(xué)家 Paul Erd?s 和 Pál Turán 猜想：如果一個(gè)集合由整數(shù)的非零分?jǐn)?shù)組成（即使是 0.00000001%），那么它一定包含任意長的算術(shù)級(jí)數(shù)。唯一可以避免算術(shù)級(jí)數(shù)的集合是那些包含整數(shù)「可忽略不計(jì)」部分的集合。例如，集合 {2, 4, 8, 16, …}，其中每個(gè)數(shù)字都是前一個(gè)數(shù)字的兩倍，它沿著數(shù)軸分散，沒有級(jí)數(shù)。

1975 年，數(shù)學(xué)家 Endre Szemerédi 證明了這個(gè)猜想。他的工作催生了數(shù)學(xué)家至今仍在探索的多種研究方向。

數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢迶?shù)集（從 1 到某個(gè)數(shù) N 之間的所有整數(shù)）的情況下建立了 Szemerédi 的結(jié)果。在不可避免地包含一個(gè)被禁止的級(jí)數(shù)之前，集合中可以使用的部分占初始池的多少？隨著 N 的變化，這個(gè)占比會(huì)如何變化？

例如，令 N 為 20，那么可以寫下這 20 個(gè)數(shù)字中的多少個(gè)，同時(shí)仍然避免長度為 5 個(gè)或更多數(shù)字的級(jí)數(shù)？事實(shí)證明，答案是初始池的 16% 到 80%。

Szemerédi 是第一個(gè)證明隨著 N 的增長，這個(gè)占比必須縮小到零的人，后來數(shù)學(xué)家們一直試圖量化該情況發(fā)生的速度。

去年，兩位計(jì)算機(jī)科學(xué)家的突破性工作幾乎解決了三項(xiàng)級(jí)數(shù)的問題，例如 {6, 11, 16}。但當(dāng)你試圖避免四項(xiàng)或更多項(xiàng)的算術(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，問題就變得更加困難。這是因?yàn)檩^長的級(jí)數(shù)反映了經(jīng)典數(shù)學(xué)方法難以揭示的潛在結(jié)構(gòu)。

三項(xiàng)算術(shù)級(jí)數(shù)中的數(shù)字 x、y 和 z 始終滿足簡單方程 x – 2y + z = 0（以級(jí)數(shù) {10, 20, 30} 為例：10 – 2*(20) + 30 = 0），證明一個(gè)集合是否包含滿足這種條件的數(shù)字相對(duì)容易。而四項(xiàng)級(jí)數(shù)中的數(shù)字還必須滿足更復(fù)雜的方程 x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0，具有五項(xiàng)或更多項(xiàng)的級(jí)數(shù)必須滿足更復(fù)雜的方程。這意味著包含此類級(jí)數(shù)的集合會(huì)表現(xiàn)出更微妙的模式。數(shù)學(xué)家也更難證明這種模式是否存在。

20 世紀(jì) 90 年代末，數(shù)學(xué)家 Timothy Gowers 提出了一種克服這一障礙的理論。后來他被授予菲爾茲獎(jiǎng)，這是數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)，部分原因是因?yàn)檫@項(xiàng)工作。2001 年，他將自己的方法應(yīng)用于 Szemerédi 定理，證明了最大集合大小的更好界限，避免了任何給定長度的算術(shù)級(jí)數(shù)。

2022 年，當(dāng)時(shí)正讀加州大學(xué)洛杉磯分校研究生二年級(jí)的 James Leng 開始理解 Gowers 的理論。他沒有考慮 Szemerédi 定理。相反，他希望回答與 Gowers 的方法相關(guān)的問題。

然而，努力探索了一年多，他一無所獲。

一直在思考相關(guān)問題的 Sah 和 Sawhney 了解了 Leng 的工作，他們很感興趣，Sawhney 甚至說道：「我很驚訝竟然可以這樣思考」。

Sah 和 Sawhney 意識(shí)到 Leng 的研究可能有助于他們?cè)?Szemerédi 定理上取得進(jìn)一步進(jìn)展。幾個(gè)月之內(nèi)，三位年輕的數(shù)學(xué)家就想出了如何在沒有五項(xiàng)級(jí)數(shù)的情況下獲得更好的集合大小上限。然后，他們將工作擴(kuò)展到任意長度的級(jí)數(shù)，這標(biāo)志著自 Gowers 證明以來 23 年來該問題的首次取得進(jìn)展。

令表示，沒有 k 項(xiàng)算術(shù)級(jí)數(shù)的最大子集的大小。Leng、Sah 和 Sawhney 證明，對(duì)于 k ≥ 5，存在 c_k > 0 使得。

研究團(tuán)隊(duì)

論文一作 James Leng 是加州大學(xué)洛杉磯分校 (UCLA) 的數(shù)學(xué)研究生，本科畢業(yè)于加州大學(xué)伯克利分校。他師從著名數(shù)學(xué)家陶哲軒。

James Leng 的研究興趣包括算術(shù)組合學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)和傅里葉分析等等。他的研究還曾得到 NSF 研究生獎(jiǎng)學(xué)金的支持。

James Leng

Ashwin Sah 從小就喜歡數(shù)學(xué)，他在競賽中接觸到了高等數(shù)學(xué)并表現(xiàn)優(yōu)異。2016 年夏天，16 歲的 Sah 奪得國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽（IMO）的金牌，次年他進(jìn)入 MIT 求學(xué)。

Ashwin Sah

在 MIT 讀書期間，有兩個(gè)人對(duì) Sah 的數(shù)學(xué)發(fā)展起到重要作用。第一個(gè)是離散數(shù)學(xué)大牛趙宇飛（Yufei Zhao）教授，他也是 Sah 的研究生導(dǎo)師。

第二個(gè)就是 Mehtaab Sawhney，他們?cè)谡n堂上相遇并成為朋友。后來，二人一起做研究，共同探討離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的多個(gè)主題，如圖論、概率論和隨機(jī)矩陣的屬性。2017 年底，Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 在（MIT）讀本科時(shí)相識(shí)。從那時(shí)起，兩人一起編寫了令人難以置信的 57 個(gè)數(shù)學(xué)證明，其中許多在各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney 現(xiàn)在是哥倫比亞大學(xué)助理教授。他的研究興趣包括組合學(xué)、概率和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)等等。